Série d'exercices : Dénombrement - Ts

Ensembles et cardinaux

Exercice 1

On considère deux parties $A\text{ et }B$ d'un ensemble fini $E.$ Compléter les tableaux suivants :

a) $\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline E&A&B&A\cap B&A\cup B \\ \hline 18&8&6&2& \\ \hline \end{array}\qquad\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline& & & \\ \overline{A}&\overline{B}&\overline{A\cap B}&\overline{A\cup B} \\ \hline & & & \\ \hline \end{array}$

Exercice 2

On donne le diagramme ci-dessous

Donner la liste des éléments de chacun des ensembles suivants :

$A\;;\ B\;;\ A\cap B\;;\ A\cup B\;;\ A/B\;;\ B/A\;;\ E$

$E/(A\cup B)\;;\ E(A\cap B)$

Exercice 3

On désigne par $E$ l'ensemble des nombres entiers naturels plus petits que 16, par $I$

l'ensemble des nombres impairs de $E$ , par $P$

l'ensemble des nombres pairs de $E$ et par $M_{3}$

l'ensemble des nombres de $E$ multiples de 3.

Représenter les ensembles $E\;,\ I\;,\ P\;,\ M_{3}$ par un même diagramme ; y faire figurer tous les éléments de $E.$

Exercice 4

Deux ensembles $A\text{ et }B$ sont tels que :

$\text{card}\;A=24\;;\text{ card}(A\cup B)=46$

$\text{card}(A\cap B)=8.$

Calculer $\text{card}\;B.$

Exercice 5

Deux ensembles $A\text{ et }B$ sont tels que :

$\text{card}\;A=1521\;;\text{ card}\;B=798$

$\text{card}(A\cup B)=2319$

Calculer $\text{card}(A\cap B)\text{ et }\text{card}\;B/A$

Exercice 6

Dans un groupe de 20 camarades, 12 jouent au football et 11 jouent au basket.

4 jouent à la fois au football et au basket.

Dénombrer les élèves qui :

a) jouent seulement au football.

b) ne jouent ni au football ni au basket.

Exercice 7

Une station de radio diffuse les mêmes publicités à 15 heures et à 16 heures.

D'après un sondage, on sait qu'il y a 21400 auditeurs à 15 heures et 24800 à 16 heures.

Combien de personnes ont entendu ces publicités :

a) si l'on suppose que les personnes qui ont écouté la radio à 15 heures ne l'écoutent plus à 16 heures ?

b) si l'on suppose que 4600 auditeurs écoutent à 15 heures et à 16 heures.

Exercice 8

On considère un jeu classique de 32 cartes.

On rappelle que celles-ci peuvent être de 4 couleurs (cœur, pique, trèfle, carreau) comportant chacune 8 valeurs $(7\;,\ 8\;,\ 9\;,\ 10$, Valet, Dame, Roi, 1 ou as).

Soit $A$ l'ensemble des piques du jeu, $B$ l'ensemble des cartes rouges et $C$ l'ensemble des figures.

1) Déterminer les cardinaux de $A\;;\ B\;;\ A\cap B\;;\ A\cap C ;\;B\cap C\;;\ A\cup B\;;\ A\cup C\text{ et }B\cup C.$

2) Déterminer le cardinal de l'ensemble $H$ des cartes qui ne sont ni pique ni figure.

Exercice 9

Parmi 40 secrétaires : 8 parlent le russe, 15 l'anglais et 8 l'espagnol.

5 parlent le russe et l'anglais.

2 parlent le russe et l'espagnol.

2 parlent les trois langues.

1) Combien de secrétaires parlent au moins une des trois langues ?

2) Combien de secrétaires ne connaissent aucune de ces trois langues ?

N.B.

$On\ pourra\ s'aider\ d'un\ diagramme.$

Exercice 10

18 personnes étaient présentes lors d'un accrochage entre un car rapide et un taxi.

La police les a toutes retrouvées.
 
Elle leur a demandé de répondre soit par oui, soit par non, à chacune des questions suivantes :

« Le car rapide roulait-il à gauche ? »

« Avez-vous vu le chauffeur du car rapide s'enfuir ? »

10 personnes ont répondu oui à la première question.

6 personnes ont répondu non à la deuxième question.

5 personnes ont répondu non aux deux questions.

Combien de personnes ont répondu oui aux deux questions ?

Exercice 11

Un certain produit se vend en liquide ou en poudre.

Un sondage fait ressortir les faits suivants :le tiers des personnes interrogées utilisent pas la poudre ;les deux septièmes des personnes interrogées n'utilisent pas le liquide ;427 personnes utilisent le liquide et la poudre ;le cinquième des personnes interrogées n'utilisent pas du tout le produit ;

Combien de personnes ont été interrogées au cours de ce sondage ?

Principes additif et multiplicatif

Exercice 12

La figure ci-dessous représente quatre villes

$A\;,\ B\;,\ C\text{ et }D$ ainsi que les routes les reliant :

1) De combien de façons peut-on aller de $A\text{ à }D$ en passant par $B\text{ et }C$ ?

2) Combien de circuits $ABCDCBA$ y a-t-il ?

3) Combien de circuits $ABCDCBA$

n'empruntent jamais deux fois la même route entre deux villes ?

Exercice 13

Sur la figure ci-dessous, combien y a-t-il de façons d'aller de $A\text{ vers }C$ en passant par chaque point au plus une fois ?

Exercice 14

Combien de mots de 4 lettres peut-on former avec un alphabet de 26 lettres :

1) en admettant une répétition des lettres ?

2) sans lettre « double » ?

Exercice 15

Combien peut-on former de codes comportant 3 lettres distinctes suivies de deux chiffres distincts ?

Exemple : BAC 06

Exercice 16

On dispose de 5 couleurs pour colorier un drapeau constitué de 6 bandes verticales, deux bandes voisines ne pouvant recevoir la même couleur.

Dénombrer les coloriages possibles.

Exercice 17

De combien de façons peut-on placer 3 pions numérotés $1\;,\ 2\text{ et }3$ sur un damier carré comportant 6 lignes et 6 colonnes, sachant qu'il y a au plus un jeton sur chaque ligne et sur chaque colonne ?

Exercice 18

Un coffre-fort accepte comme combinaison toute suite de trois lettres et de quatre chiffres compris entre 0 et 9.
 
Sachant qu'il faut 10 secondes pour essayer une combinaison, combien faut-il de temps pour les essayer toutes ?

Exercice 19

Un homme d'affaires doit se rendre dans quatre villes $A\;,\ B\;,\ C\text{ et }D.$

Combien de voyages différents peut-il réaliser sachant que :

a) il peut commencer et finir par la ville qu'il veut ?

b) il doit commencer par $D.$

c) il doit commencer par $D$ et finir par $A$ ?

Exercice 20

Un élève répond à un questionnaire à choix multiples (Q.C.M.) dans lequel il y a quatre réponses proposées par question (désignées par $A\;,\ B\;,\ C\;,\ D).$

1) Combien y a-t-il de manières différentes de répondre si le Q.C.M. comporte 10 questions ?

2) Par jeu,il décide de répondre $A$ à toutes les questions paires ; combien y a-t-il de réponses possibles pour cet élève en respectant ce critère ?

Exercice 21

Un fabriquant de chaussures réalise trois modèles différents.
 
De plus, il peut faire chacun d'eux en trois couleurs et en quatre tailles différentes.

Combien de paires de chaussures distinctes peut-t-il proposer à sa clientèle ?

P-Listes, arrangements et permutations

Exercice 22

Dans une salle de classe, il y a 30 places.

De combien de façons différentes 26 élèves peuvent-ils s'installer pour un cours ?

Donner, avec deux chiffres significatifs, une valeur approchée du nombre trouvé.

Exercice 23

Combien peut-on écrire de mots de six lettres distinctes avec les lettres du mot NOMBRE ?

Exercice 24

On appelle mot une suite de trois points et de cinq traits.

Par exemple . --- . . ---

Combien de tels mots peut-on écrire ?

Exercice 25

Une course comporte seize chevaux.

1) Combien peut-on jouer de tiercés possibles ?

2) On joue le cheval $n^{\circ}10$ à l'une des trois places.

Combien peut-on jouer de tiercés où figure ce cheval ?

Exercice 26

On donne un système de trois inéquations du premier degré à deux inconnues en faisant suivre :

$ax+by+c\;,\ a'x+b'y+c\;,\ a''x+b''y+c''$ de l'un des signes $<0\;,\ >0\;,\ \leq 0\;,\ \geq 0.$

Combien peut-on former de tels systèmes ?

Exercice 27

1) Sans répétition, combien de nombres de trois chiffres peut-on former à l'aide des 6 chiffres $2\;,\ 3\;,\ 5\;,\ 6\;,\ 7\;,\ 9$ ?

2) Combien de ces nombres sont :

a) pairs ? b) inférieurs à 500 ? c) impairs ? d) multiples de 5 ?

Exercice 28

Combien y a-t-il de mots de 5 lettres prises parmi ${A\;,\ B\;,\ C\;;\cdots.\;,\ X\;,\ Y\;, \ Z}$ qui finissent par une voyelle ? par deux voyelles distinctes ?

Exercice 29

1) Combien de nombres inférieurs à 2000 peut-on fabriquer avec les chiffres $1\;,\ 2\;,\ 4\text{ et }7$ :

a) si aucun chiffre ne peut être répété ?

b) si les répétitions sont autorisées ?

2) Combien de ces nombres sont pairs ? impairs ?

Exercice 30

Soit $A$ l'ensemble des 9 chiffres autres que 0 et $p$ un entier naturel non nul.

1) Combien peut-on former de nombres de $p$ chiffres pris dans $A$ ?

2) Parmi les nombres ainsi formés, combien y en a-t-il qui :

a) finissent par 2 ? b) sont pairs ?

c) contiennent un seul chiffre 2 ?

d) contiennent au moins un chiffre 2 ?

e) contiennent des chiffres tous distincts ?

N.B

$\text{Pour e) }on\ discutera\ suivant\ les\ valeurs\ de\ p.$

Exercice 31

On jette trois dés $A\;,\ B\;,\ C$ ayant chacun six faces.
 
Les faces de chaque dé sont numérotées de 1 à 6.
 
Dénombrer tous les résultats :

a) possibles

b) où les trois faces sont identiques
 
c) où les trois faces sont différentes deux à deux
 
d) ne comportant aucun chiffre 1
 
e) comportant au moins un chiffre 1
 
f) comportant exactement un chiffre 1
 
g) comportant exactement deux chiffres 1.

h) Indiquer les liens entre les questions d), e), f), g) et une autre question concernant le chiffre 1 qui n'a pas été posée.

Exercice 32

Tirages avec ou sans remise

Une urne contient 5 boules vertes, 6 boules jaunes et 7 boules rouges.

1) On tire successivement avec remise 3 boules.
 
Dénombrer les résultats :

a) possibles
 
b) tricolores
 
c) unicolores
 
d) contenant 2 jaunes suivies d'une rouge
 
e) contenant 2 jaunes et une rouge.

2) Reprendre les questions précédentes dans le cas de tirages successifs sans remise.

Exercice 33

Huit coureurs, 3 Sénégalais et 5 étrangers participent à une course et sont classés de 1 à 8.

1) Quel est le nombre d'arrivées possibles ?

2) Quel est le nombre d'arrivées lorsque la course est gagnée par un Sénégalais ?

3) Quel est le nombre de possibilités pour qu'il y ait un Sénégalais et un seul parmi les trois premiers coureurs ?

Exercice 34

Les numéros d'un réseau téléphonique sont tous formés de 7 chiffres choisis parmi les chiffres :

$0\;,\ 1\;,\ 2\;,\ 3\;,\ 4\;,\ 5\;,\ 6\;,\ 7\;,\ 8\;,\ 9.$

Exemples de numéros théoriquement acceptés : 000 00 00 ; 961 52 87 ; 022 23 33 ; etc...

Calculer le cardinal des ensembles suivants :

$\Omega$ : la capacité théorique du réseau.

$A$ : ensemble des numéros composés de 7 chiffres distincts.

$B$ : ensemble des numéros composés de 7 chiffres identiques.

$C$ : ensemble des numéros ne contenant aucun chiffre 0.

$D$ : ensemble des numéros contenant exactement un 0.

$E$ : ensemble des numéros contenant au moins un 0.

$F$ : ensemble des numéros contenant au plus un 0.

$G$ : ensemble des numéros contenant au moins deux 0.

$H$ : ensemble des numéros pairs, chaque numéro étant strictement inférieur à 7000000.

$I$ : ensemble des numéros commençant par un chiffre pair et finissant par un chiffre impair strictement inférieur à 7.

Exercice 35

On lance trois fois de suite un dé cubique dont les faces sont numérotées de 1 à 6.
 
Les résultats sont alors les triplets $(a\;,\ b\;,\ c)\;,\text{ où }a\;,\ b\text{ et }c$ sont des entiers de 1 à 6.

1) Dénombrer tous les résultats possibles.

2) Dénombrer les triplets $(a\;,\ b\;,\ c)$ tels que :

$\text{a) }a=b=c\;;\qquad \text{b) }a\neq b\text{ et }a\neq c$
 
$\text{c) }a\leq b\text{ et }b=c\;;\qquad \text{d) }a<b.$

3) Dénombrer les triplets $(a\;,\ b\;,\ c)$ tels que :

$\text{a) }a=1\text{ et }b\leq c\qquad \text{b) }a=2\text{ et }2\leq b\leq c$

$\text{c) }a\leq b\leq c.$

Exercice 36

Une classe de 30 élèves, 18 filles et 12 garçons, doit élire un comité comprenant un président, un trésorier et un secrétaire (sachant qu'il n y a ni cumul ni discrimination

1) Combien de comités peut-on ainsi constituer ?

2) Quel est le nombre de comités comprenant l'élève $X$ ?  

3) Quel est le nombre de comités pour lesquels le président est une fille et le secrétaire un garçon ?

4) Sachant que le président est un garçon, le secrétaire une fille, et que Mr X ne veut pas faire partie du même comité que Melle Y, quel est le nombre de comités possibles ?

Exercice 37

Soit le nombre 1234. On utilise les quatre chiffres de ce nombre et, en les permutant au hasard, on obtient un nombre de quatre chiffres.
 
On dit qu'il y a coïncidence chaque fois qu'un chiffre retrouve sa place initiale.

Ainsi, par exemple :

si on compose le nombre 4213 il y a une coïncidence car le chiffre 2 a retrouvé sa place ; si on compose le nombre 1324 il y a deux coïncidences ; si on compose le nombre 1234 il y a quatre coïncidences, etc.

1) Combien de nombres peut-on obtenir ?

2) a) Existe-t-il des nombres présentant exactement trois coïncidences ?

b) Combien de nombres présentent exactement deux coïncidences ?

3) Dresser la liste des nombres qui présentent exactement une coïncidence.

En déduire combien de nombres ne présentent aucune coïncidence.

Exercice 38

On tire successivement 5 cartes dans un jeu de 32 cartes, en remettant à chaque fois la carte tirée dans le jeu, après avoir noté la couleur de cette carte.

On obtient ainsi une suite ordonnée de 5 cartes, non nécessairement distinctes.

1) Dénombrer tous les tirages possibles.

2) Dénombrer les tirages composés de :

a) 5 cartes de même couleur

b) 4 cœurs et un pique

c) 2 couleurs, dont l'une revient quatre fois

d) exactement 4 trèfles et un roi.

Exercice 39

D'un jeu de 32 cartes, on tire successivement une première carte, puis une deuxième et une troisième, sans remettre dans le jeu les cartes tirées.

1) Dénombrer tous les tirages possibles.

2) Dénombrer les tirages tels que :

a) les trois cartes tirées soient des piques ;

b) la $2^{e}$ carte tirée soit un pique ;

c) la $2^{e}$ carte tirée soit un roi et la $3^{e}$ un as ;

d) la $2^{e}$ carte tirée soit un roi et la $3^{e}$ un pique

e) les $1^{e}\text{ et }3^{e}$ cartes tirées soient des piques et la $2^{e}$ un roi.

Exercice 40

On constitue une grille de « Loto Sportif » en cochant l'une des 3 cases
$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline 1 & \text{N} & 2 \\ \hline \end{array}$$
pour chacun des 13 matches sélectionnés.

1) Dénombrer toutes les grilles possibles.

2) Une grille gagnante ayant été déterminée, dénombrer parmi toutes les grilles possibles, celles contenant $n$ résultats justes pour $n=10\;,\ n=11\text{ et }n=12.$

Combinaisons

Exercice 41

Lors d'un recrutement, un chef d'entreprise doit choisir 4 personnes parmi 20 candidats (13 femmes et 7 hommes).

1) Dénombrer les choix possibles de ce recrutement.

2) Dénombrer les choix de recrutement, si le chef d'entreprise désire embaucher :

a) trois femmes et un homme ;

b) deux femmes et deux hommes ;

c) au moins une femme ;

d) au moins une femme et au moins un homme.

Exercice 42

On extrait simultanément 5 cartes d'un jeu de 32 cartes ;on obtient ainsi une main de 5 cartes.

1) Dénombrer les tirages possibles.

2) Retrouver parmi les réponses proposées, celles correspondant au nombre de mains :

a) contenant au moins un as ;

b) contenant trois trèfles et deux piques ;

c) ne contenant que des cœurs ou des carreaux ;

d) contenant exactement un as ;

e) ne contenant que des cœurs ou ne contenant que des carreaux.

$1)\ C_{4}^{1}`\times C_{31}^{4}\quad 2)\ (C_{8}^{5})^{2}$

$4)\ C_{16}^{5}\quad 4)\ 2\times C_{8}^{5}$

$5)\ C_{8}^{3}\times C_{8}^{2}\quad 6)\ C_{32}^{5}-C_{28}^{5}$

$7)\ C_{4}^{1}\times C_{28}^{4}$

(N.B. Deux parmi ces sept réponses sont fausses et correspondent à des erreurs souvent commises ; à méditer !)

Exercice 43

Coumba et Amadou font partie d'une assemblée de 17 hommes et 12 femmes.

Cette assemblée doit choisir six de ses membres pour constituer un comité.

1) Dénombrer les choix possibles pour constituer ce comité.

2) Dénombrer les comités :

a) contenant Coumba et Amadou ;

b) ne contenant ni Coumba ni Amadou ;

c) contenant Coumba ou Amadou (de deux façons).

3) Dénombrer les comités :

a) contenant deux femmes et quatre hommes ;

b) contenant au moins deux hommes ;

c) contenant au plus deux femmes ;

d) contenant au moins une femme et au moins un homme.

Exercice 44

Au jeu de poker, chaque joueur dispose d'une main de 5 cartes, distribuées d'un jeu de 32 cartes (4 couleurs : trèfle, pique, cœur et carreau, et pour chaque couleur, 8 valeurs de l'as au sept).

1) Dénombrer les mains de 5 cartes possibles.

2) Dénombrer les mains de 5 cartes contenant :

a) un carré (quatre cartes de même valeur) ;

b) deux paires ;

c) un full (trois cartes de même valeur et deux autres de même valeur ; par exemple : 3 rois et 2 as) ;

d) exactement une paire (deux carte de même valeur) ;

e) un brelan (trois cartes de même valeur, sans full ni carré) ;

f) une quinte (cinq cartes de même couleur, se suivant dans l'ordre des valeurs ; par exemple : 9, 10, valet, dame et roi de pique).

Exercice 45

Au Loto, une grille simple est un choix de 6 numéros parmi ${1\;,\ 2\;,\cdots\;,\ 48\;,\ 49}.$

1) Quel est le nombre total de grilles que l'on peut jouer ?

2) Une grille gagnante ayant été déterminée, calculer, parmi toutes les grilles possibles, le nombre d'entre elles comportant exactement $n$ bons numéros pour $n=5\;,\ n=4\;,\text{ puis }n=3.$

Exercice 46

Dans un sac, se trouvent cinq jetons verts numérotées de 1 à 5 et quatre jetons rouges numérotées de 1 à 4.

On tire simultanément trois jetons du sac .Combien y a-t-il de tirages :

a) possibles ?

b) ne contenant que des jetons verts ?

c) ne contenant aucun jeton vert ?

d) contenant au plus deux jetons verts ?

Exercice 47

On a un jeu de 32 cartes. On en prend huit, ce qui constitue une main.

Dénombrer les mains qui contiennent :

a) Exactement un as

b) Exactement deux as
 
c) Aucun as d) Au moins un as

e) 2 cœurs et 3 piques
 
f) 2 cœurs, 3 piques et un trèfle
 
g) 2 cœurs et 1 as

h) 2 cœurs et 2 dames

Exercice 48

Un marchand de timbres constitue des pochettes de quatre timbres qu'il tire au hasard d'un paquet contenant 10 timbres sénégalais, 20 timbres mauritaniens et 15 timbres gambiens.

De combien de façons peut-il constituer des pochettes :

1) qui contiennent quatre timbres d'un même pays ?

2) qui contiennent des timbres des trois pays ?

3) qui contiennent des timbres de deux pays seulement ?

Exercice 49

Un bana-bana présente en vrac un lot de 13 paires de chaussures.
 
Les chaussures ne se différencient que par leurs pointures ou par le fait qu'elles sont soit du pied droit soit du pied gauche.

Parmi les 13 paires, il y a 4 paires de la pointure 40, 6 paires de la pointure 41 et 3 paires de la pointure 42.

Un client choisit au hasard 2 chaussures dans le tas des 26 chaussures.

1) Combien y a-t-il de possibilités pour que les deux chaussures soient de pointures différentes ?

2) Combien y a-t-il de possibilités pour que les deux chaussures soient de la même pointure ?

3) Combien y a-t-il de possibilités pour que les deux chaussures soient du même pied ?

4) Combien y a-t-il de possibilités pour que les deux chaussures soient de pieds différents ?

Exercice 50

Un jury est composé de 7 membres tirés au sort parmi 12 hommes et 9 femmes.

1) Combien de jurys peut-on former ayant 3 femmes et 4 hommes ?

2) Combien de jurys peut-on former ayant au moins une femme ?

3) Combien de jurys peut-on former sachant que Mademoiselle $X$ refuse de siéger avec Monsieur $Y$ ?

Exercice 51

Onze livres sont à ranger sur sept étagères vides.
 
Dénombrer les rangements tels que :

a) au moins deux étagères soient vides ;

b) exactement deux étagères soient vides ;

b) exactement trois étagères contiennent deux livres ;

d) au plus deux étagères soient vides.

(Attention : exercice difficile !)

Calculs sur les nombres $C_{n}^{p}\text{ et }A_{n}^{p}$

Exercice 52

1) Démontrer que, pour tous entiers naturels $n\text{ et }p$ tels que $1\leq p\leq n$ , on a :
$$p\;C_{n}^{p}=n\;C_{n-1}^{p-1}$$
2) En déduire que, pour tout entier naturel $n\geq 1$, on a :
$$C_{n}^{1}+2C_{n}^{2}+3C_{n}^{3}+\cdots+n\;C_{n}^{n}=n 2^{n-1}$$

Exercice 53

Soit $x$ un réel et $n$ un entier naturel non nul.

1) Écrire le développement de $(1+x)^{n}$par la formule du binôme.

2) En choisissant $x$ convenablement, démontrer que :

$\text{a) }C_{n}^{0}+2 C_{n}^{1}+2^{2}C_{n}^{2}+\cdots+2^{p}C_{n}^{p}+\cdots+2^{n}C_{n}^{n}=3^{n}$

$\text{b) }C_{n}^{0}-C_{n}^{1}+C_{n}^{2}+\cdots+(-1)^{p}C_{n}^{p}+\cdots+(-1)^{n}C_{n}^{n}=0$

Exercice 54

1) Développer par la formule du binôme :

$\text{a) }\left(4x+\dfrac{1}{2}y\right)^{4}\qquad \text{b) }\left(x-\dfrac{1}{x}\right)^{5}$

$\text{c) }\left(x^{2}+\dfrac{1}{x}\right)^{6}\qquad \text{d) }(x^{2}-1)^{2n}$

2) Trouver le terme constant dans le développement de :

$\text{a) }\left(x-\dfrac{2}{x}\right)^{2}\quad \text{b) }\left(2x+\dfrac{1}{x^{2}}\right)^{3}\quad \text{c) }\left(x^{2}-\dfrac{1}{x}\right)^{3n}$
 
3) Trouver le coefficient des termes donnés dans le développement des expressions suivantes :

$\text{a) }(1-2x)^{12}\;;\ x^{3}\;;\ x^{7}$

$\text{b) }\left(3+\dfrac{1}{2}x\right)^{9}\;;\ x^{5}$

$\text{c) }\left(x^{2}+\dfrac{1}{x}\right)^{10}\;;\ x^{11}\;,\ \dfrac{1}{x}$

$\text{d) }(3x-y)^{7}\;;\ x^{4}y^{3}$

Exercice 55

1) Montrer que, pour $n\text{ et }p$ entiers naturels, avec $p\leq n-2$ , on a :
$$C_{n}^{p}+2 C_{n}^{p+1}+C_{n}^{p+2}=C_{n+2}^{p+2}$$
2) Montrer que, pour $n\text{ et }p$ entiers naturels, avec $p\leq n-3$ , on a :
$$C_{n}^{p}+3C_{n}^{p+1}+3 C_{n}^{p+2}+C_{n}^{p+3}=C_{n+3}^{p+3}$$

3) Montrer que, pour $n\text{ et }k$ entiers naturels, on a :
$$C_{n}^{n}+C_{n+1}^{n}+C_{n+2}^{n}+\cdots+C_{n+k}^{n}=C_{n+k+1}^{n+1}$$

Exercice 57

On considère la fonction numérique $f$ définie par :
 
$f(x)=(1+x)^{n}\;,\text{ où }n$ est un entier naturel.

1) En utilisant la dérivée de $f$, calculer

$S_{1}=C_{n}^{1}+2C_{n}^{2}+3C_{n}^{3}\cdots+k C_{n}^{k}+\cdots+n C_{n}^{n}.$

2) Calculer

$S_{2}=2.1C_{n}^{2}+3.2C_{n}^{3}+\cdots+k(k-1) C_{n}^{k}+\cdots+n(n-1)C_{n}^{n}.$

Exercice 58

Montrer que pour tout entier naturel $n$, tout entier naturel $k$ inférieur ou égal à $n$, et tout couple de réels $p\text{ et }q$ vérifiant $p+q=1$, on a :

$$\sum_{k=1}^{n}k C_{n}^{k}p^{k}q^{n-k}=np$$ et

$$\sum_{k=1}^{n}k^{2}C_{n}^{k}p^{k}q^{n-k}=n^{2}p^{2}+n p q$$

Exercice 59

Simplifier les expressions suivantes :

$\dfrac{n !}{(-1)!}\;,\ \dfrac{(n+1)!}{n!}\;,\ \dfrac{n!}{(n-2)!}\;,\ \dfrac{(n+1)!}{(n-3)!}$

$\dfrac{(n+1)!}{(n-2)!}+\dfrac{n!}{(n-1)!}\;,\ \dfrac{(n-1)!}{n!}-\dfrac{n}{(n+1)!}$

Exercice 60

Démontrer la formule suivante :

$A_{n}^{p}=A_{n-1}^{p}+p A_{n-1}^{p-1}$

En déduire la construction d'un triangle analogue au triangle de PASCAL dans lequel on fera apparaître les valeurs de $A_{n}^{p}$ pour $1\leq n\leq 8.$

Exercice 61

Trouver une relation simple entre $C_{n+1}^{p}\text{ et }C_{n}^{p-1}.$

En déduire la somme $S(n)=\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k+1}C_{n}^{k}.$

Exercice 62

Démontrer les relations :

$A_{n}^{p}=n A_{n-1}^{p-1}\text{ et }A_{n+1}^{p}=(n+1)A_{n}^{p-1}.$

Exercice 63

Résoudre les équations :

$1)\ C_{n}^{3}+C_{n}^{2}=3n(n-1)$

$2)\ 2C_{n}^{2}+6C_{n}^{3}=9 n.$

$3)\ C_{2n}^{1}+C_{2n}^{2}+C_{2n}^{3}=387 n $

Exercice 64

On pose :

$I=1\times 3\times 5\times\cdots\times(2n+1)$

et $P=2\times 4\times 6\times\cdots\times 2 n.$

Montrer que $\dfrac{P}{I}$ est de la forme $2^{g(n)}\times\dfrac{(n!)^{2}}{(2n+1)!}\text{ où }g$ est une fonction de $n$ à déterminer.

Exercice 65

1) Trouver le plus petit entier naturel $p$ tel que $A_{n}^{p}>100 C_{n}^{p}.$

2) Montrer que, quel que soit le réel $x$, il existe des entiers $n\text{ et }p$ tels que $A_{n}^{p}>x C_{n}^{p}$