Série d'exercices : Suites numériques - Ts

Classe: 
Terminale

Raisonnement par récurrence

Exercice 1

Démontrer par récurrence les propriétés suivantes :

1) 12+22+32++n2=n(n+1)(2n+1)6

2) 13+23+33++n3=n2(n+1)24

3)Sn=13+33+53++(2n1)3(nN). Sn=2n4n2.

4) n4, 2n45) n4, 2nn!

6) n5, 3n>n37) n7, 3n<n!

7) On note f(n) la dérivée n^{ième} de la fonction f.

a) \sin^{(n)}x=\sin\left(x+\dfrac{n\pi}{2}\right)\quad \text{b) }\cos^{(n)}x=\cos\left(x+\dfrac{n\pi}{2}\right)

c) \text{si }f\ :\ x\mapsto x\mathrm{e}^{x}\;,\text{ alors }f^{(n)}x=\mathrm{e}^{x}(x+n)

d) \text{si }f\ :\ x\mapsto\dfrac{1}{x}\;,\text{ alors }f^{(n)}x=(-1)^{n}\dfrac{n!}{x^{n+1}}

e) \text{si }g\ :\ x\mapsto x\mathrm{e}^{x}\;,\text{ alors }f^{(n)}x=(-1)^{n}\dfrac{(n+1!}{x^{n+2}}
 
8) Pour tout entier naturel n\;,\ 3^{2n}-2^{n} est divisible par 7.

9) Pour tout entier naturel n\;,\ 3^{2n+1}+2^{n+2} est divisible par 7.

10) Pour tout entier naturel non nul n\;,\ 3^{2n}+2^{6n-5} est divisible par 11.

11) Pour tout entier naturel non nul, 3\times 5^{2n-2}+2^{3n-2} est divisible par 17.

12) Pour tout entier naturel n\;,\ 5^{2n}-3^{n} est divisible par 22.

13) Soit S_{n}=1^{3}+3^{3}+5^{3}+\cdots+(2n-1)^{3}(n\in\mathbb{N}^{\ast}).
 
Montrer que S_{n}=2n^{4}-n_{2}.

Suites du type U_{n}=f(n)

Exercice 2

Soit la fonction f et la suite (u_{n}) définie pour tout n par :
 
u_{n}=f(n).

Prouver les propriétés suivantes :

1) Si la fonction f est croissante sur \mathbb{R}, alors la suite (u_{n}) est croissante.

2) Si la fonction f est bornée sur \mathbb{R}, alors la suite (u_{n}) est bornée.

3) Si la fonction f est périodique de période P entière, alors la suite (u_{n}) est périodique de période P.

Suites du type U_{n+1}=f(u_{n})

Exercice 3

Soit la fonction f et la suite (u_{n}) définie par la donnée de u_{0}\text{ et }u_{n+1}=f(u_{n}).

Prouver les propriétés suivantes :

1) Si la fonction f est croissante sur \mathbb{R} ,alors :

a) si u_{0}\leq u_{1}\;,\ (u_{1}=f(u_{0})) , la suite (u_{n}) est croissante.

b) si u_{0}\leq u_{1} , la suite (u_{n}) est décroissante.

2) Y a-t-il des énoncés analogues aux précédents si la suite (u_{n}) est décroissante ?

3) Si la fonction f est bornée sur alors la suite (u_{n}) est bornée.

Suites monotones

Exercice 4

Étudier le sens de variation des suites définies sur \mathbb{N}^{\ast} ci-après ; on pourra, selon le cas , soit raisonner par récurrence, soit étudier le signe de u_{n+1}-u_{n} , soit étudier le signe de 1-\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}} (suites à termes strictement positifs), soit étudier la fonction f telle que u_{n}=f(n) :

a) u_{n}=\dfrac{n}{n+1}\quad \text{b) }u_{n}=\dfrac{\mathrm{e}^{n}}{n}!\quad \text{c) }u_{n}=\dfrac{3n-1}{2n-1}

d) u_{n}=\sqrt[n]{n}\quad \text{e) }u_{n}=n^{2}-2^{n}

f) u_{n}=n-\ln(1+n)\quad \text{g) }u_{n}=\dfrac{1\times 3\times\cdots\times(2n-1)}{2\times 4\times\cdots\times 2n}

h) u_{n}=1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}-\cdots+\dfrac{1}{2n-1}-\dfrac{1}{2n}.

Exercice 5

La suite u est définie par :
\left\lbrace\begin{array}{lcl} u_{0} &=& -2 \\ \\ u_{n+1} &=& \dfrac{9}{6-u_{n}}\end{array}\right.
 
1) Démontrer par récurrence que : pour tout nombre entier naturel n\;,\ u_{0}<3.

2) Étudier le sens de variation de la suite u.

Exercice 6

La suite u est définie par :
\left\lbrace\begin{array}{lcl} u_{0} &=& -2 \\ \\ u_{n+1} &=& 1+\dfrac{1}{u_{n}}\end{array}\right.

1) Démontrer par récurrence que la suite u est minorée par \dfrac{3}{2} et majorée par 2.

Suites arithmétiques Suites géométriques

Exercice 7

Soit (u_{n}) une suite arithmétique de raison r=6 et de premier terme u_{1}=1.
 
Calculer n pour que u_{1}+u_{2}+\cdots+u_{n}=280.
 
Calculer u_{n} pour la valeur trouvée de n.

Exercice 8

Montrer que si x^{2}\;,\ y^{2}\;,\ z^{2} sont trois termes consécutifs d'une suite arithmétique, il en est de même pour \dfrac{x}{y+z}\;,\ \dfrac{y}{z+x}\;,\text{ et }\dfrac{z}{x+y}.

Exercice 9

Calculer trois termes consécutifs x\;,\ y\;,\ z d'une suite géométrique sachant que x+y+z=312\text{ et }z-x=192.

Exercice 10

Calculer trois termes consécutifs x\;,\ y\;,\ z d'une suite arithmétique sachant que x+y+z=312\text{ et }x^{2}+y^{2}+z^{2}=22869.

Exercice 11

On considère les suites géométriques de premier terme u_{1}(u_{1}\neq 0) telles que :
 
u_{2}+u_{3}=2u_{1}.

Calculer la raison de chacune de ces suites.

Donner l'expression de la somme des n premiers termes.

Application : u_{1}=4\;,\ n=10.

Exercice 12

Montrer que, si 3 nombres a\;,\ b\;,\ c sont trois termes consécutifs d'une suite géométrique, ils vérifient la relation :
(a+b+c)(a-b+c)=a^{2}+b^{2}+c^{2}.

Application : Trouver 3 nombres en progression géométrique connaissant leur somme 57 et la somme de leurs carrés 1197.

Exercice 13

Déterminer les 3 premiers termes d'une suite géométrique décroissante, sachant que la somme de ces trois termes est égale à 7 et que le rapport du troisième terme au premier est égal à \dfrac{1}{4}.

Calculer la somme des 10 premiers termes de cette suite.

Exercice 14

Trois nombres distincts a\;,\ b\text{ et }c sont tels que dans l'ordre a\;,\ b\;,\ c ils sont 3 premiers termes d'une suite arithmétique et dans l'ordre b\;,\ a\;,\ c ils sont 3 premiers termes d'une suite géométrique.

1) Trouver ces trois nombres sachant que : a\times b\times c=27.

On prolonge la suite géométrique, déterminer le rang du premier terme supérieur à 10 000.

2) Trouver ces trois nombres sachant que :
 
a+b+c=24.

Exercice 15

Les cinq termes u_{1}\;,\ u_{2}\;,\ u_{3}\;,\ u_{4}\;,\ u_{5} d'une suite géométrique sont strictement positifs.
 
Soit x la raison de cette suite.
 
On pose u_{3}=a.

1) Exprimer à l'aide de a\text{ et }x les sommes :
 
S=u_{1}+u_{5}\text{ et }s=u_{2}+u_{4}.

Montrer que s^{2}=aS+2a^{2}.

2) Calculer a\text{ et }x sachant que s=34\text{ et }S=\dfrac{257}{2}.

Exercice 16

1) Déterminer 3 termes consécutifs a\;,\ b\;,\ c d'une suite arithmétique sachant que :
a+b+c=\dfrac{17}{2}\quad 5a-6b+c=-\dfrac{10}{3}

Quelle est la raison de cette suite ?

2) Soit (v_{n}) la suite géométrique de premier terme v_{1}=\pi et de raison \dfrac{5}{6}.

a) Calculer le dixième terme v_{10} de cette suite.

b) Calculer S_{n}=v_{1}+v_{2}+\cdots+v_{n} en fonction de n.

Exercice 17

Soit (u_{n}) une suite arithmétique croissante telle que :
\left\lbrace\begin{array}{lcl} u_{1}+u_{2}+u_{3} &=& 9 \\ u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+u_{3}^{2} &=& 35\end{array} \right.
 
1) Calculer le premier terme u_{0} et la raison r de cette suite, puis exprimer le terme général u_{n} en fonction de n.

2) Soit (v_{n}) la suite définie par :
 
v_{n}=2^{u_{n}}.

a) Montrer que (v_{n}) est une suite géométrique pour laquelle on déterminera v_{0} et la raison.

b) Calculer P_{n}=v_{0}\times v_{1}\times\cdots\times v_{n}.

Exercice 18

on considère deux suites numériques définies par :
u_{n}=\dfrac{3^{n}-6n+4}{3}\text{ et }v_{n}=\dfrac{3^{n}+6n-4}{3} pour tout n\in\mathbb{N}

1) Soit a_{n}=u_{n}-v_{n}.

Montrer que la suite de terme général a_{n} est une suite arithmétique.
 
Calculer a_{0}+a_{1}+\cdots+a_{10}.

2) Soit b_{n}=u_{n}+v_{n}.

Montrer que la suite de terme général b_{n} est une suite géométrique.
 
Calculer b_{0}+b_{1}+\cdots b_{10}.

3) En déduire les sommes :

u_{0}+u_{1}+\cdots u_{10}\text{ et }v_{0}+v_{1}+\cdots v_{10}.

Exercice 19

Une source sonore émet un son dont l'intensité est de 1000 décibels.
 
Une plaque d'isolation phonique absorbe 45\% de l'intensité du son.
 
Soit f(n) l'intensité du son, mesurée en décibels, après la traversée de n plaques du type précédent [donc f(0)=1000\;;\ f(1) est l'intensité du son mesurée en décibels après la traversée d'une plaque, etc...].

1) Calculer f(1)\;,\ f(2)\text{ et }f(3).

2) Calculer f(n+1) en fonction de f(n).
 
Reconnaître la suite n\mapsto f(n).

3) La suite est-elle croissante ? décroissante ?

4) Déterminer le nombre minimal de plaques que doit traverser le son pour que son intensité soit inférieure ou égale au dixième de sa valeur initiale.

Exercice 20

Une banque propose à ses clients deux contrats de placement sur un compte bloqué.

(c'est-à-dire sans retrait possible d'argent pendant la durée du contrat) avec intérêts cumulés annuellement.

Selon ces contrats la somme s enregistrée sur le compte rapporte :

8\% par an si 1 000 000\leq S<5 000 000 (contrat C1), t\% par an (où t\geq 10, est à négocier à l'ouverture du compte) si S\geq 5 000 000 (contrat C2).

1) Un client P_{1} a déposé 1 000 000 F le 1^{\text{er}} Janvier 2007.
 
on désigne par S(n) la somme figurant au compte de ce client au 1^{\text{er}} janvier de l'année 2007+n.

a) Calculer S(1)\text{ et }S(2).

b) Calculer S(n+1)-S(n) en fonction de S(n).

En déduire l'expression de S(n) en fonction de n.

c) A partir de quelle année p_{1} aura-t-il doublé son dépôt initial ?

2) Un client P_{2} dispose au 1^{\text{er}} Janvier 2007 d'une somme de 5 000 000 F il aura besoin de 7 500 000 F le 1^{\text{er}} Janvier 2010.
 
Pour cela, il négocie un contrat C2 sur la base d'un taux annuel de t\%.

On désigne par V(n) le montant du compte de P_{2}\text{ au }1^{\text{er}} Janvier de l'année 2007+n.

a) Calculer V(n+1)-V(n) en fonction de V(n)\text{ et de }t.

En déduire l'expression de V(n) en fonction de n\text{ et }t.

b) Quel est le plus petit entier t permettant à P_{2} de réaliser son projet ?

Exercice 21

Le 1^{\text{er}} Janvier 2008, M.X a placé 3000 000 F à intérêts composés, au taux de 9\% (un capital est placé à intérêts composés lorsque les intérêts produits à la fin de chaque année sont ajoutés au capital).

On notera C_{n} le capital produit au 1^{\text{er}} Janvier de l'année (2008+n).

1) Calculer C_{1}. Établir la relation entre C_{n}\text{ et }C_{n+1} ; en déduire C_{n} en fonction de n.

2) Au 1^{\text{er}} Janvier 2019, M.X aura besoin d'une somme de 9000 000 F pour acheter une maison.
 
Le capital qu'il possédera sera-t-il suffisant pour subvenir à cette dépense ? Sinon, combien devra-t-il emprunter ?

3) A quel taux aurait-il dû placer son capital le 1^{\text{er}} Janvier 2008 pour disposer des 9000 000 F au 1^{\text{er}} Janvier 2019 ?

Exercice 22

La raréfaction d'une matière première oblige un pays à envisager d'en diminuer la consommation de 8\% par an.

celle-ci était, en 2006, 100 (en millions de tonnes).

1) Calculer la consommation en 2007 (c'est-à-dire au bout d'un an) et en 2008 (c'est-à-dire au bout de deux ans).

Exprimer en fonction de n, la consommation au bout de n années (soit en l'an 2006+n).

2) En quelle année la consommation sera-t-elle, pour la première fois, inférieure à 1 (en millions de tonnes) ?

3) Quel doit être le pourcentage de diminution imposée pour atteindre une consommation annuelle égale en 1 en 20 ans ?

Exercice 23

Soit (u_{n}) la suite définie sur \mathbb{N} par :
\left\lbrace\begin{array}{lcl} u_{0} &=& 2 \\ u_{n}-2u_{n+1} &=& 2n+3\end{array} \right.
 
1) Calculer u_{1}\;,\ u_{2}\text{ et }u_{3}.

Soit (v_{n}) la suite définie sur \mathbb{N}\text{ par }:\ v_{n}=u_{n}+2n-1.

Montrer que (v_{n}) est une suite géométrique dont on donnera la raison et le premier terme.

3) En déduire l'expression du terme général de (v_{n})\text{ et }(u_{n}) en fonction de n.

4) Calculer en fonction de n :
S_{n}=\sum_{k=0}^{n}v_{k}\text{ puis }S'_{n}=\sum_{k=0}^{n}u_{k}.

Exercice 24

Soit (u_{n}) une suite géométrique telle que :
 
243u_{7}=32u_{2}\quad(u_{2}\neq 0).

1) Calculer sa raison q.

2) Sachant de plus que S_{n}=u_{0}+u_{1}+\cdots+u_{n} tend vers 3^{11} lorsque n tend vers l'infini, calculer u_{0}.

3) On se propose maintenant de calculer, en fonction de n, le produit :
P_{n}=u_{0}u_{1}\cdots u_{n-1}u_{n}.

a) n\text{ et }p étant deux entiers naturels quelconques tels que p\leq n, montrer que u_{p}.u_{n-p} ne dépend que de n.

b) Calculer P_{n}^{2} en fonction de n, en utilisant la propriété établie à la question précédente et la valeur de u_{0} calculer au 2).

Exercice 25

On considère la suite (u_{n}) définie par :
\left\lbrace\begin{array}{lcl} u_{0} &=& -2 \\ \\ 3u_{n+1}+2u_{n} &=& -\dfrac{5n+7}{(n+1)(n+2)}\;;\ n\in\mathbb{N} \end{array} \right.

1) Calculer ,u_{1}\;,\ u_{2}\text{ et }u_{3}.

2) Soit (w_{n})\ :\ w_{n}=u_{n}+\dfrac{1}{n+1}.

Montrer que (w_{n}) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison ; vérifier que l'on a w_{3}=\dfrac{8}{27}.

3) Exprimer w_{n} en fonction de n, puis u_{n} en fonction de n.

4) Démontrer que pour tout n\text{ de }\mathbb{N}\ :\ |u_{n}|<\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n}+\dfrac{1}{n+1}.

En déduire que u_{n} est convergente et déterminer sa limite.

Exercice 26

Une personne loue une maison à partir du 1^{\text{er}} janvier 2006.
 
Elle a le choix entre deux formules de contrat.
 
Dans les deux cas, le loyer initial est de 120 000 F et le locataire s'engage à occuper la maison pendant neuf années complètes.

1) Contrat n^{\circ}1

Le locataire accepte une augmentation annuelle de 5\% du loyer de l'année précédente.

a) Calculer le loyer u_{1} payé lors de la deuxième année.

b) Exprimer u_{n} (loyer payé lors de la (n+1)^{ième} année en fonction de n. Calculer u_{8}.

c) Calculer la somme payée à l'issue des neuf années de contrat.

2) Contrat n^{\circ}2

Le locataire accepte une augmentation annuelle forfaitaire de 1500 F du loyer de l'année précédente.

a) Calculer le loyer v_{1} payé lors de la deuxième année.

b) Exprimer v_{n} (loyer payé lors de la (n+1)^{ième} année en fonction de n.
 
Calculer v_{8}.

c) Calculer la somme payée à l'issue des neuf années de contrat.

Quel est le contrat le plus avantageux pour le locataire ?

Exercice 27

1) Le 1^{\text{er}} janvier 2000, le prix d'un objet est P0.
 
L'inflation est de 3\% par an à partir de 2000.

Calculer le prix P_{1} de cet objet au bout d'un an, P_{2} au bout de 2 ans, P_{n} au bout de n années.

2) Au bout de combien d'années le prix de l'objet aura-t-il été multiplié par 2 ?

Le temps nécessaire dépend-il du prix initial ?

3) Dans cette question, on suppose que l'inflation est de 3\% une année, -3\% l'année suivante (il y a désinflation), le cycle se reproduisant par période de 2 ans (3\% en 2000, -3\% en 2001, 3\% en 2002, -3\% en 2003, etc...).

Quel est le prix de l'objet en fonction de P0 au bout de 2 ans ? au bout de 4 ans ? au bout de 2n années ?

Calculs de limites

Exercice 28

Étudier le comportement de la suite de terme général u_{n} quand n tend vers +\infty.

1)\ u_{n}=\dfrac{5n+1}{2n+3}\qquad 2)\ u_{n}=\dfrac{7n-1}{3n-1}

3)\ u_{n}=\dfrac{5n^{2}+3n+1}{n^{2}+n+1}\qquad 4)\ u_{n}=\dfrac{-2n^{2}+3n+1}{3n^{2}-n+7}

5)\ u_{n}=\dfrac{2n+1}{3n^{2}+2n+1}\qquad 6)\ u_{n}=\dfrac{5n^{2}+3}{2n+1}

7)\ u_{n}=\dfrac{4n+(-1)^{n}}{3n+2}\qquad 8)\ u_{n}=\dfrac{2n^{2}+(-1)^{n}\cdot n+1}{n^{3}+1}

9)\ u_{n}=2n+1-\sqrt{n^{2}+n+1}\qquad 10)\ u_{n}=n+3-\sqrt{n^{2}-n+1}

11)\ u_{n}=\sqrt{2n^{2}+n+1}-\sqrt{2n^{2}+5}\qquad 12)\ u_{n}=\dfrac{1}{\sqrt{n^{2}-n+1}-\sqrt{n^{2}+n+1}}

13)\ u_{n}=\dfrac{\sqrt{n^{2}+n}-\sqrt{n^{2}+1}}{\sqrt{n+1}}\qquad 14)\ u_{n}=\dfrac{n+1}{\sqrt{n+2}}-\dfrac{n+1}{\sqrt{n+2}}

15)\ u_{n}=\dfrac{n-\sqrt{n^{2}+1}}{\sqrt{n^{2}+n+3}}\qquad 16)\ u_{n}=\dfrac{10^{n}-1}{10^{n}+3}

17)\ u_{n}=\dfrac{5^{n}+3^{n+1}}{5^{n}+2}\qquad 18)\ u_{n}=\ln\dfrac{n^{2}+5n+1}{2n+1}

19)\ u_{n}=\dfrac{\ln 4n}{\ln 3n}\qquad 20)\ u_{n}=\dfrac{\ln n^{2}}{\left(\ln n\right)^{2}}

21)\ u_{n}=\dfrac{\mathrm{e}^{n+1}}{n}\qquad 22)\ u_{n}=\dfrac{\mathrm{e}^{n}}{n^{2}+2n+3}

23)\ u_{n}=n\left(\mathrm{e}^{\dfrac{1}{n}-1}\right)\qquad 24)\ u_{n}=n\ln\left(1+\dfrac{1}{n}\right)

25)\ u_{n}=\sqrt{n}\ln\left(\dfrac{\mathrm{e}^{2}}{\sqrt{n}}\right)\qquad 26)\ u_{n}=n^{2}\mathrm{e}^{-2n+1}

27)\ u_{n}=\dfrac{3n+\sin n}{2n+\cos n}\qquad 28)\ u_{n}=\dfrac{1-\cos\dfrac{1}{n}}{n\sin\dfrac{1}{n}}

29)\ u_{n}=\dfrac{3^{n}+n^{2}}{2^{n}+5}\qquad 30)\ u_{n}\dfrac{2^{n}+n+1}{4^{n}+5}\qquad 31)\ u_{n}=\dfrac{3^{n}+n^{10}}{2^{2n}+n^{10}}
 

Exercice 29

On considère la suite (u_{n}) définie sur \mathbb{N}\text{ par }u_{n}=\sqrt{n+5}-\sqrt{n+3}.

1) Calculer les 5 premiers termes de cette suite.

2) Montrer que pour tout n, on peut écrire :
 
u_{n}=\dfrac{2}{\sqrt{n+5}+\sqrt{n+3}}.

3) En déduire que l'on peut majorer u_{n} par une suite (v_{n}) de la forme v_{n}=\dfrac{k}{\sqrt{n}}.

4) Déterminer la limite de (u_{n}) quand n tend vers +\infty.

Exercice 30

Soit la suite (u_{n}) définie sur \mathbb{N} par :
 
u_{n}=an^{2}-4n-1.

1) Déterminer a pour que (u_{n}) soit strictement croissante sur \mathbb{N}.

2) Déterminer a pour que (u_{n}) soit strictement croissante à partir de n_{0}=2.

3) Déterminer a pour que (u_{n}) soit strictement décroissante sur \mathbb{N}.

4) Établir dans chacun des cas le comportement de (u_{n}) lorsque n tend vers +\infty.

Exercice 31

Soit la suite (u_{n}) définie sur \mathbb{N}^{\ast}\text{ par : }u_{n}=n\cos\dfrac{1}{n}.

1) Calculer , u_{0}\;,\ u_{1}\;,\ u_{2}\;,\ u_{3}\;,\ u_{4}.

2) Soit n un entier multiple de 8. Simplifier l'écriture de u_{n}, puis calculer u_{n+1}\;,\ u_{n+2}\;,\ u_{n+3}\;,\ u_{n+4}\;,\ u_{n+5}\;,\ u_{n+6}\;,\ u_{n+7}\;,\ u_{n+8}. (u_{n}) est-elle monotone ?

3) Montrer que (u_{n})\text{ tend vers }+\infty quand n tend vers +\infty.

Exercice 32

On donne la suite (u_{n}\in\mathbb{N}^{\ast} définie par : \forall n\in\mathbb{N}^{\ast}\ :\ u_{n}= \dfrac{\sin n}{n}.

Montrer que \forall n\in\mathbb{N}^{\ast}\;,\ 0\leq|u_{n}|\leq\dfrac{1}{n}.

En déduire que la suite (u_{n}) converge et donner sa limite.

Somme des termes d'une suite

Exercice 33

1) Soit la suite (u_{n}) définie sur \mathbb{N}^{\ast}\text{ par }u_{n}=\dfrac{1}{n(n+1)}.

a) Calculer \lim_{n\rightarrow +\infty}u_{n}.

b) Déterminer deux nombres réels a\text{ et }b tels que :
 
u_{n}=\dfrac{a}{n}+\dfrac{b}{n+1}.

c) En déduire une expression simple de S_{n}=u_{1}+u_{2}+\cdots+u_{n}.
 
(On pourra commencer par calculer les sommes S_{2}=u_{1}+u_{2}\;,\ S_{3}=u_{1}+u_{2}+u_{3}\text{ et }S_{4}=u_{1}+u_{2}+u_{3}+u_{4}).

d) Calculer \lim_{n\rightarrow +\infty}S_{n}.

2) Soit (v_{n}n\in\mathbb{N}^{\ast} la suite définie par, \forall n\in\mathbb{N}^{\ast}\ :\ v_{n}=\dfrac{1}{1^{2}}+\dfrac{1}{2^{2}}+\cdots+\dfrac{1}{n^{2}}.

a) Montrer que la suite (v_{n}) est croissante.

b) Comparer v_{n}\text{ et }u_{n}.

c) En déduire que la suite (v_{n}) est convergente.
 
(On ne cherchera pas sa limite qui est \dfrac{\pi^{2}}{6}).

Exercice 34

Soit la suite (u_{n}) définie sur \mathbb{N}^{\ast}\text{ par : }u_{n}=\ln\left(\dfrac{n}{n+1}\right).

1) Calculer \lim_{n\rightarrow +\infty}u_{n}.
 
2) Démontrer que la suite (u_{n}) est strictement croissante

3) Soit S_{n}=u_{1}+u_{2}+\cdots+u_{n}.
 
Démontrer que S_{n}=-\ln(n+1).

4) En déduire \lim_{n\rightarrow +\infty}S_{n}.

Utilisation de suites auxiliaires

Exercice 35

Soit la suite (u_{n}) définie sur \mathbb{N}\text{ par : }u_{0}=2\text{ et }u_{n+1}=3u_{n}+2.

On considère la suite (s_{n}) définie sur \mathbb{N}\text{ par : }s_{n}=u_{n}+1.

1) Démontrer que (s_{n}) est tune suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.

2) Exprimer s_{n}, puis u_{n} en fonction de n.

3) Calculer \lim_{n\rightarrow +\infty}u_{n}.
 

Exercice 36

Une suite (U_{n}) est définie par son premier terme U_{1}=\dfrac{2}{7} et par la relation :
 
U_{n+1}=\dfrac{U_{n}}{3-U_{n}}
 
(on admettra que quel que soit n\in\mathbb{N}^{\ast}\;,\ U_{n}\neq 0\text{ et }U_{n}\neq 3).

1) Calculer U_{2}\text{ et }U_{3}.

2) Soit (V_{n}) la suite définie par :
 
V_{n}=\dfrac{1}{U_{n}}.
 
Calculer V_{1}.

Montrer que pour tout n\in\mathbb{N}^{+}\;,\ V_{n+1}=3V_{n}-\dfrac{1}{2}.

3) Soit (W_{n}) la suite définie par :
 
W_{n}=V_{n}-\dfrac{1}{2}.

Déterminer W_{n+1}\text{ en fonction de }W_{n} et calculer le premier terme W_{n}.
 
Quelle est la nature de la suite (W_{n}) ?
 
Calculer le terme W_{n} en fonction de n.

4) En déduire l'expression générale de U_{n} en fonction de n.

Exercice 37

Soit la suite (u_{n}) définie sur \mathbb{R}^{\ast}\text{ par : }u_{n+1}=a u_{n}+b.

1) Soit a=1\text{ et }b=0.

a) Quelle est dans ce cas la nature de la suite (u_{n}) ?

b) Exprimer alors u_{n} en fonction de n et calculer \lim_{n\rightarrow +\infty}u_{n}.

2) Soit a\neq 1\text{ et }b=0.

a) Quelle est dans ce cas la nature de la suite (u_{n}) ?

b) Exprimer alors u_{n} en fonction de n.

3) Soit a\neq 1\text{ et }b\neq 0.

a) Si on pose v_{n}=u_{n}+\alpha, démontrer qu'il existe une valeur de \alpha pour laquelle la suite  (v_{n}) est géométrique de raison a.

b) En déduire l'expression de v_{n} puis de u_{n} en fonction de n.

c) Déterminer la limite de (v_{n}) puis celle de (u_{n}) dans le cas où |a|<a.

4) Appliquer la méthode de la question 3) au calcul de la limite des suites (u_{n}) définies sur \mathbb{N} ci-après.

a)\ u_{0}=1\text{ et }u_{n+1}=2u_{n}-\dfrac{3}{2}

b)\ u_{0}=0\text{ et }u_{n+1}=-\dfrac{u_{n}}{2}+1

c)\ u_{0}=-1\text{ et }u_{n+1}=\dfrac{1}{3}u_{n}+2

Exercice 38

Soit la suite (u_{n}) définie sur \mathbb{N}^{\ast}\text{ par : }u_{1}=3\text{ et }u_{n+1}=u_{n}-n.

On considère la suite (u_{n}) définie sur \mathbb{N}^{\ast}\text{ par : }v_{n}=u_{n+1}-u_{n}.\quad(1)

1) Exprimer en fonction de n.

2) En déduire S_{n}=v_{1}+v_{2}+\cdots+v_{n}.

3) Utiliser la relation (1) pour trouver une autre expression de S_{n}.

En déduire en fonction de n.

4) Calculer \lim_{n\rightarrow +\infty}u_{n}.

Exercice 39

Soit la suite (u_{n}) définie sur \mathbb{N}^{\ast}\text{ par : }u_{0}=0\text{ et }u_{n+1}=u_{n}+\dfrac{1}{2^{n}}.

On considère la suite (v_{n}) définie sur \mathbb{N}^{\ast}\text{ par : }v_{n}=u_{n+1}-u_{n}.\quad(1)

1) Démontrer que (v_{n}) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.

2) En déduire S_{n}=v_{1}+v_{2}+\cdots+v_{n}.

3) Utiliser la relation (1) pour trouver une autre expression de S_{n}.

En déduire en fonction de n.

4) Calculer \lim_{n\rightarrow +\infty}u_{n}.

Exercice 40

1) Soit n un entier naturel. Résoudre dans \mathbb{R} l'équation d'inconnue x :
 
\ln(7^{n}x)=2n.

2) On considère la suite (v_{n}) définie par :
 
\ln(7^{n}v_{n})=2n.

a) Calculer v_{0}\text{ et }v_{1}.

b) Démontrer que la suite (v_{n}) est géométrique et déterminer sa raison.

3) La suite (v_{n}) admet-elle une limite ?

4) Déterminer un entier n_{0} tel que, pour tout n>n_{0}\;,\ v_{n}>100.

Exercice 41

Soit la suite (u_{n}) définie sur \mathbb{N} par :
\left\lbrace\begin{array}{lcl} u_{0}=1 &\text{et}& u_{1}=7 \\ \\ u_{n+2} &=& \dfrac{1}{2}(u_{n+1}+u_{n}) \end{array} \right.
 
1) Démontrer que la suite (v_{n}) définie sur \mathbb{N}^{\ast}\text{ par : }v_{n}=u_{n}-u_{n-1} est géométrique convergente

2) Calculer S_{n}=v_{1}+v_{2}+\cdots+v_{n}.

En déduire \lim_{n\rightarrow +\infty}u_{n}.

Exercice 42   

1) On considère la suite (u_{n}) définie sur \mathbb{N}\text{ par : }u_{0}=\mathrm{e}^{3}\text{ et }u_{n+1}=\sqrt[\mathrm{e}]{u_{n}}.

2) Calculer u_{1}\;,\ u_{2}\;,\ u_{3}\text{ et }u_{4}.

On pose v_{n}=\ln u_{n}-2.

a) Démontrer que la suite (v_{n}) est géométrique.
 
Préciser sa raison et calculer v_{0}.

b) En déduire v_{n}, puis u_{n} en fonction de n.

Calculer la limite des suites (v_{n})\text{ et }(u_{n}).

Exercice 43

Soit la suite à termes positifs (u_{n}) définie sur \mathbb{N}^{\ast}\text{ par }u_{1}=1\text{ et }(u_{n+1})^{2}=4u_{n}.

1) Calculer u_{2}\;,\ u_{3}\;,\ u_{4}\text{ et }u_{5} (donner les résultats sous la forme 2^{n}).

2) On considère la suite (v_{n}) définie sur \mathbb{N}^{\ast}\text{ par : }v_{n}=\ln u_{n}-\ln 4.

3) a) Calculer v_{1}.

b) Exprimer v_{n}, puis u_{n} en fonction de n.

c) Calculer u_{n}.

4) Pour quelles valeurs de n a-t-on u_{n}>3.96 ?

Exercice 44

Soit la suite (u_{n}) définie sur \mathbb{N}^{\ast} par :
\left\lbrace\begin{array}{lcl} u_{1} &=& -1 \\ \\ u_{n+1} &=& \dfrac{n}{2(n+1)}u_{n}+\dfrac{3(n+2)}{2(n+1} \end{array} \right.
 
1) Démontrer, en raisonnant par récurrence, que la suite (u_{n}) est majorée par 3.

2) Étudier le sens de variation de la suite (u_{n})

3) On considère la suite (v_{n}) définie sur \mathbb{N}^{\ast}\text{ par : }v_{n}=n(3-u_{n}).

a) Démontrer que cette suite est géométrique.
 
Préciser sa raison et calculer v_{1}.

b) Exprimer v_{n}\text{ puis }u_{n}\text{ en fonction de }n.

c) Calculer \lim_{n\rightarrow +\infty}v_{n}\text{ puis }\lim_{n\rightarrow +\infty}u_{n}.


Exercice 45

1) Soit (u_{n}) la suite définie par u_{0} fixé et pour tout n\in\mathbb{N}\;,\ u_{n+1}=1.05 u_{n}+1000.

Soit (v_{n}) la suite définie par v_{n}=u_{n}+20 000.

a) Démontrer que (v_{n}) est une suite géométrique. Préciser la raison.

b) Calculer v_{n}\text{ en fonction de }v_{0}\text{ et }n.

En déduire u_{n} en fonction de u_{0}\text{ et }n.

c) Soit S_{n}=u_{0}+u_{1}+\cdots+u_{n}.
 
Calculer S_{n}.

2) Au 1^{\text{er}} Janvier 2003, la population d'un ville était de 20 000 habitants.
 
Chaque année, la population augmente de 5\% et, de plus, 1000 personnes viennent s'y établir définitivement.

a) Préciser la population au 1^{\text{er}} Janvier 2008.

b) L'ensemble des élèves de l'enseignement primaire représente 20\% de la population.
 
A raison d'un instituteur pour 40 élèves, préciser le nombre d'instituteurs au 1^{\text{er}} Janvier 2008.

c) Chaque élève coûte à l'État 10 000 francs par an.
 
Déterminer la dépense effectuée par l'État du 1^{\text{er}} Janvier 2003 au 1^{\text{er}} Janvier 2008.

Suites définies par une relation u_{n+1}=f(u_{n})

Exercice 46

Soit (u_{n}) la suite définie par :
 
u_{n+1}=\sqrt{6+u_{n}}.

1) Calculer u_{1}\;,\ u_{2}\;,\ u_{3}.

2) Montrer que (u_{n}) est croissante et majorée par 3.
 
Que peut-on en conclure ?

3) Montrer que pour tout n entier, 3-u_{n+1}\leq\dfrac{1}{3}(3-u_{n}).

En déduire la limite l\text{ de }u_{n}.

Exercice 47

Une suite (u_{n}) est définie sur \mathbb{N}^{\ast} par son premier terme u_{1} et la relation de récurrence
u_{n+1}=\dfrac{u_{n}+6}{u_{n}+2}.

1) Démontrer qu'il existe deux valeurs a\text{ et }b\text{ de }u_{1}(a<b) pour lesquelles la suite est constante.

2) On suppose dans toute la suite que u_{1}>0.

Démontrer que la suite est strictement positive.

3) a) Démontrer que si u_{1}\neq b, alors pour tout entier naturel n non nul, u_{n}\neq b.

Dans ces conditions, Calculer \dfrac{u_{n+1}-a}{u_{n+1}-b}\text{ en fonction de }\dfrac{u_{n}-a}{u_{n}-b}.
 
En déduire que la suite (v_{n}) définie sur \mathbb{N}^{\ast}\text{ par }v_{n}=\dfrac{u_{n}-a}{u_{n}-b} est géométrique.

c) Calculer \lim_{n\rightarrow +\infty}|v_{n}|\text{ et en déduire }\lim_{n\rightarrow +\infty}u_{n}.

Exercice 48

1) Soit la suite (u_{n}) définie sur \mathbb{N} par la donnée de u_{0} et la relation :
 
u_{n+1}=\dfrac{1}{n}.

a) Déterminer u_{n} dans les cas :
 
u_{0}=0\;;\ u_{0}=32.

b) Démontrer que, pour tout entier naturel n\;,\ u_{n+1}\neq\dfrac{1}{2}.

1 c) Établir, pour tout entier naturel n l'égalité :
 
u_{n+1}=\dfrac{1}{2}\left[1-\dfrac{1}{u_{n}-\dfrac{1}{2}}\right].

2) On définit la suite (v_{n})\text{ sur }\mathbb{N}^{\ast} a :

v_{n}=u_{n}-\dfrac{1}{2}.

a) Démontrer que pour tout entier naturel n\;,\ v_{n+1}=-\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{v_{n}}.

b) Si u_{0}=-\dfrac{1}{2}\;,\text{ calculer }v_{0} et donner l'expression de v_{n} puis celle de u_{n} en fonction de n.

Vérifier que dans ce cas, les suites (v_{n})\text{ et }(u_{n}) sont périodiques.

Exercice 49

Soit f l'application de \mathbb{R}\text{ vers }\mathbb{R} telle que f(x)=\pi+2\dfrac{1}{2}\sin x.

1) Montrer que pour tout couple (a\;,\ b) de nombres réels :
|f(a)-f(b)|\leq\dfrac{1}{2}|a-b|\quad \text{ et que }f(\pi)=\pi.

2) Soit (u_{n}) la suite définie par u_{0}(u_{0}\in\mathbb{R})\text{ et }u_{n+1}=f(u_{n}).

Montrer que pour tout entier naturel non nul :
 
|u_{n}-\pi|\leq\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n}|u_{0}-\pi|.

En déduire la convergence de (u_{n}).

Exercice 50

Soit (u_{n}) la suite définie par :

u_{0}\in\left[0\;,\ \dfrac{1}{2}\right]\text{ et }\forall n\in\mathbb{N}\;,\ u_{n+1}=u_{n}^{2}+\dfrac{u^{n}}{2}.

1) Montrer que :

\forall n\in\mathbb{N}\;,\ u_{n}\in\left[0\;,\ \dfrac{1}{2}\right].

2) Construire la courbe représentative de la fonction f définie sur \mathbb{R\;+}\text{ par }f(x)=x^{2}+\dfrac{x}{2} ainsi que la droite \Delta d'équation y=x, dans un repère orthonormé (O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j}).

Représenter sur l'axe Ox les premiers termes de la suite (u_{n}) dans le cas où u_{0}=\dfrac{1}{2}.

3) Étudier les variations de (u_{n}).

Étudier la convergence de la suite (u_{n}).

Exercice 51

Soit la suite définie par :
 
u_{0}=1\text{ et }\forall n\in\mathbb{N}\;,\ u_{n+1}=\ln(1+u_{n}).

1) Montrer que u_{n} existe pour tout n et que tous les termes sont positifs.

2) Étudier et représenter graphiquement dans un repère orthonormé (O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j}) la fonction f définie par f(x)=\ln(1+x).

Tracer dans ce même repère la droite \Delta d'équation y=x.

Déterminer les points d'intersection de la courbe représentative de f\text{ et de }\Delta.

3) Représenter sur l'axe Ox les premiers termes de la suite.

Étudier les variations de (u_{n}\,n\in\mathbb{N}.

4) Étudier la convergence de la suite (u_{n})\,n\in\mathbb{N} et déterminer sa limite si elle existe.

Suites vérifiant U_{n+2}=a U_{n+1}+b U_{n}

Exercice 52

Soit S l'ensemble des suite (u_{n})n\in\mathbb{N} possédant la propriété suivante : pour tout entier naturel n,
u_{n+2}=\dfrac{3}{35}u_{n+1}+\dfrac{2}{35}u_{n}.

1) Existe-t-il dans S des suites constantes (à l'exception de la suite nulle) ?

2) Existe-t-il dans S des suites arithmétiques (à l'exception de la suite nulle) ?

3) Existe-t-il dans S des suites géométriques, de premier terme non nul, de raison non nulle ?

4) Montrer que les suites (u_{n})n\in\mathbb{N} de terme général :
u_{n}=\alpha\cdot\left(\dfrac{2}{7}\right)^{n}+\beta\cdot\left(-\dfrac{1}{5}\right)^{n},

\alpha\text{ et }\beta représentent deux réels donnés, appartiennent à S.

5) Déterminer la suite de terme général :
u_{n}=\alpha\cdot\left(\dfrac{2}{7}\right)^{n}+\beta\cdot\left(-\dfrac{1}{5}\right)^{n}

sachant que u_{0}=3\text{ et }u_{1}=-\dfrac{4}{35}.

Exercice 53

Soit la suite (u_{n}) définie sur \mathbb{N}\;,\text{ par : }
\left\lbrace\begin{array}{lcl} u_{0}=0 &;& u_{1}=1 \\ u_{n+2} &=& a\,u_{n+1}+(1-a)u_{n} \end{array} \right.\text{ avec }0<\alpha<1.

1) Démontrer que pour tout entier naturel n\;,\ u_{n+2} est compris entre u_{n}\text{ et }u_{n+1}.

2) Soit la suite (v_{n}) définie sur \mathbb{N}^{\ast}\text{ par }v_{n}=u_{n}-u_{n+1}.

Démontrer que cette suite est géométrique convergente.

3) Calculer S_{n}=v_{1}+\cdots+v_{n}.

En déduire \lim_{n\rightarrow +\infty}u_{n}.

Exercice 54

On considère la suite (u_{n})\text{ définie sur }\mathbb{N}\text{ par : }
\left\lbrace\begin{array}{lcl} u_{0}=0 &;& u_{1}=1 \\ u_{n+2} &=& 7 u_{n+1}+8 u_{n} \end{array} \right.
 
1) a) Démontrer que la suite (s_{n}) définie sur \mathbb{N}\text{ par : }s_{n}= u_{n+1}+u_{n} est géométrique.

b) En déduire s_{n} en fonction de n.

2) On pose v_{n}=(-1)^{n}u_{n}\text{ et }t_{n}=v_{n+1}-v_{n}.
 
Exprimer t_{n} en fonction de s_{n}.

3) a) Exprimer v_{n}, puis u_{n} en fonction de n (on pourra calculer de deux manières différentes la somme t_{0}+t_{1}+\cdots+t_{n-1}).

b) Déterminer \lim_{n\rightarrow +\infty}\dfrac{u_{n}}{8^{n}}.

Exercice 55 Suites de Fibonacci

On considère la suite de Fibonacci (F_{n})\,n\in\mathbb{N} définie par :
\left\lbrace\begin{array}{lcl} F_{0}=0 &\text{et}& F_{1}=1 \\ \forall\,n\in\mathbb{N}^{\ast}\;,\ F_{n+1} &=& F_{n}+F_{n-1} \end{array} \right.
 
A) 1) Calculer les 10 premiers termes de cette suite.

2) Montrer que :
 
\forall n\in\mathbb{N}^{\ast}\;,\ F_{n+1}F_{n-1}-F_{n}^{2}=(-1)^{n}.

3) Montrer que (F_{n}) est strictement croissante pour n\geq 2\text{ et que : }\forall n\in\mathbb{N}^{\ast}F_{n}\geq n-1.

En déduire que (F_{n}) est divergente.

4) Démontrer qu'il existe deux suites de Fibonacci de terme initial 1 qui sont géométriques.

B) Soit (u_{n})n\in\mathbb{N}^{\ast} la suite de terme général u_{n}=\dfrac{F_{n+1}}{F_{n}}.

1) Calculer les 10 premiers termes de cette suite.

Qu'en déduit-on intuitivement sur sa convergence ?

2) Montrer que :
\left\lbrace\begin{array}{lcl} u_{1} &=& 1 \\ \\ u_{n+1} &=& 1+\dfrac{1}{u_{n}} \end{array} \right.

3) Tracer la courbe \mathcal{C} définie sur \mathbb{R}^{+}\text{ par }f(x)=1+\dfrac{1}{x}.

Construire les points M_{n}(n\in\mathbb{N}^{\ast})\text{ de }\mathcal{C} d'abscisses u_{n} ;
 
qu'en déduit-on intuitivement sur la convergence de (u_{n}) ?

4) Soit l la solution positive de l'équation :
 
x=x+\dfrac{1}{x}.
 
Calculer l.

a) Montrer que par récurrence que :

\forall n\in\mathbb{N}\;,\ F_{n+1}-\mathbb{F}_{n}=\dfrac{(-1)^{n}}{1^{n}}.

En déduire que :
 
u_{n}-l=\dfrac{(-1)^{n}}{F_{n} \;l^{n}}.

b) Déduire que \lim_{n\rightarrow +\infty}u_{n}=l.

Vérifier que la limite obtenue correspond au résultat trouvé intuitivement au B) 1) et 3).

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Prkoi ya pas de correction fdp

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