Série d'exercices : Suites numériques - Ts
Raisonnement par récurrence
Exercice 1
Démontrer par récurrence les propriétés suivantes :
1) 12+22+32+⋯+n2=n(n+1)(2n+1)6
2) 13+23+33+⋯+n3=n2(n+1)24
3)Sn=13+33+53+⋯+(2n−1)3(n∈N). Sn=2n4−n2.
4) ∀n≥4, 2n≥45) ∀n≥4, 2n≤n!
6) ∀n≥5, 3n>n37) ∀n≥7, 3n<n!
7) On note f(n) la dérivée n^{ième} de la fonction f.
a) \sin^{(n)}x=\sin\left(x+\dfrac{n\pi}{2}\right)\quad \text{b) }\cos^{(n)}x=\cos\left(x+\dfrac{n\pi}{2}\right)
c) \text{si }f\ :\ x\mapsto x\mathrm{e}^{x}\;,\text{ alors }f^{(n)}x=\mathrm{e}^{x}(x+n)
d) \text{si }f\ :\ x\mapsto\dfrac{1}{x}\;,\text{ alors }f^{(n)}x=(-1)^{n}\dfrac{n!}{x^{n+1}}
e) \text{si }g\ :\ x\mapsto x\mathrm{e}^{x}\;,\text{ alors }f^{(n)}x=(-1)^{n}\dfrac{(n+1!}{x^{n+2}}
8) Pour tout entier naturel n\;,\ 3^{2n}-2^{n} est divisible par 7.
9) Pour tout entier naturel n\;,\ 3^{2n+1}+2^{n+2} est divisible par 7.
10) Pour tout entier naturel non nul n\;,\ 3^{2n}+2^{6n-5} est divisible par 11.
11) Pour tout entier naturel non nul, 3\times 5^{2n-2}+2^{3n-2} est divisible par 17.
12) Pour tout entier naturel n\;,\ 5^{2n}-3^{n} est divisible par 22.
13) Soit S_{n}=1^{3}+3^{3}+5^{3}+\cdots+(2n-1)^{3}(n\in\mathbb{N}^{\ast}).
Montrer que S_{n}=2n^{4}-n_{2}.
Suites du type U_{n}=f(n)
Exercice 2
Soit la fonction f et la suite (u_{n}) définie pour tout n par :
u_{n}=f(n).
Prouver les propriétés suivantes :
1) Si la fonction f est croissante sur \mathbb{R}, alors la suite (u_{n}) est croissante.
2) Si la fonction f est bornée sur \mathbb{R}, alors la suite (u_{n}) est bornée.
3) Si la fonction f est périodique de période P entière, alors la suite (u_{n}) est périodique de période P.
Suites du type U_{n+1}=f(u_{n})
Exercice 3
Soit la fonction f et la suite (u_{n}) définie par la donnée de u_{0}\text{ et }u_{n+1}=f(u_{n}).
Prouver les propriétés suivantes :
1) Si la fonction f est croissante sur \mathbb{R} ,alors :
a) si u_{0}\leq u_{1}\;,\ (u_{1}=f(u_{0})) , la suite (u_{n}) est croissante.
b) si u_{0}\leq u_{1} , la suite (u_{n}) est décroissante.
2) Y a-t-il des énoncés analogues aux précédents si la suite (u_{n}) est décroissante ?
3) Si la fonction f est bornée sur alors la suite (u_{n}) est bornée.
Suites monotones
Exercice 4
Étudier le sens de variation des suites définies sur \mathbb{N}^{\ast} ci-après ; on pourra, selon le cas , soit raisonner par récurrence, soit étudier le signe de u_{n+1}-u_{n} , soit étudier le signe de 1-\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}} (suites à termes strictement positifs), soit étudier la fonction f telle que u_{n}=f(n) :
a) u_{n}=\dfrac{n}{n+1}\quad \text{b) }u_{n}=\dfrac{\mathrm{e}^{n}}{n}!\quad \text{c) }u_{n}=\dfrac{3n-1}{2n-1}
d) u_{n}=\sqrt[n]{n}\quad \text{e) }u_{n}=n^{2}-2^{n}
f) u_{n}=n-\ln(1+n)\quad \text{g) }u_{n}=\dfrac{1\times 3\times\cdots\times(2n-1)}{2\times 4\times\cdots\times 2n}
h) u_{n}=1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}-\cdots+\dfrac{1}{2n-1}-\dfrac{1}{2n}.
Exercice 5
La suite u est définie par :
\left\lbrace\begin{array}{lcl} u_{0} &=& -2 \\ \\ u_{n+1} &=& \dfrac{9}{6-u_{n}}\end{array}\right.
1) Démontrer par récurrence que : pour tout nombre entier naturel n\;,\ u_{0}<3.
2) Étudier le sens de variation de la suite u.
Exercice 6
La suite u est définie par :
\left\lbrace\begin{array}{lcl} u_{0} &=& -2 \\ \\ u_{n+1} &=& 1+\dfrac{1}{u_{n}}\end{array}\right.
1) Démontrer par récurrence que la suite u est minorée par \dfrac{3}{2} et majorée par 2.
Suites arithmétiques Suites géométriques
Exercice 7
Soit (u_{n}) une suite arithmétique de raison r=6 et de premier terme u_{1}=1.
Calculer n pour que u_{1}+u_{2}+\cdots+u_{n}=280.
Calculer u_{n} pour la valeur trouvée de n.
Exercice 8
Montrer que si x^{2}\;,\ y^{2}\;,\ z^{2} sont trois termes consécutifs d'une suite arithmétique, il en est de même pour \dfrac{x}{y+z}\;,\ \dfrac{y}{z+x}\;,\text{ et }\dfrac{z}{x+y}.
Exercice 9
Calculer trois termes consécutifs x\;,\ y\;,\ z d'une suite géométrique sachant que x+y+z=312\text{ et }z-x=192.
Exercice 10
Calculer trois termes consécutifs x\;,\ y\;,\ z d'une suite arithmétique sachant que x+y+z=312\text{ et }x^{2}+y^{2}+z^{2}=22869.
Exercice 11
On considère les suites géométriques de premier terme u_{1}(u_{1}\neq 0) telles que :
u_{2}+u_{3}=2u_{1}.
Calculer la raison de chacune de ces suites.
Donner l'expression de la somme des n premiers termes.
Application : u_{1}=4\;,\ n=10.
Exercice 12
Montrer que, si 3 nombres a\;,\ b\;,\ c sont trois termes consécutifs d'une suite géométrique, ils vérifient la relation :
(a+b+c)(a-b+c)=a^{2}+b^{2}+c^{2}.
Application : Trouver 3 nombres en progression géométrique connaissant leur somme 57 et la somme de leurs carrés 1197.
Exercice 13
Déterminer les 3 premiers termes d'une suite géométrique décroissante, sachant que la somme de ces trois termes est égale à 7 et que le rapport du troisième terme au premier est égal à \dfrac{1}{4}.
Calculer la somme des 10 premiers termes de cette suite.
Exercice 14
Trois nombres distincts a\;,\ b\text{ et }c sont tels que dans l'ordre a\;,\ b\;,\ c ils sont 3 premiers termes d'une suite arithmétique et dans l'ordre b\;,\ a\;,\ c ils sont 3 premiers termes d'une suite géométrique.
1) Trouver ces trois nombres sachant que : a\times b\times c=27.
On prolonge la suite géométrique, déterminer le rang du premier terme supérieur à 10 000.
2) Trouver ces trois nombres sachant que :
a+b+c=24.
Exercice 15
Les cinq termes u_{1}\;,\ u_{2}\;,\ u_{3}\;,\ u_{4}\;,\ u_{5} d'une suite géométrique sont strictement positifs.
Soit x la raison de cette suite.
On pose u_{3}=a.
1) Exprimer à l'aide de a\text{ et }x les sommes :
S=u_{1}+u_{5}\text{ et }s=u_{2}+u_{4}.
Montrer que s^{2}=aS+2a^{2}.
2) Calculer a\text{ et }x sachant que s=34\text{ et }S=\dfrac{257}{2}.
Exercice 16
1) Déterminer 3 termes consécutifs a\;,\ b\;,\ c d'une suite arithmétique sachant que :
a+b+c=\dfrac{17}{2}\quad 5a-6b+c=-\dfrac{10}{3}
Quelle est la raison de cette suite ?
2) Soit (v_{n}) la suite géométrique de premier terme v_{1}=\pi et de raison \dfrac{5}{6}.
a) Calculer le dixième terme v_{10} de cette suite.
b) Calculer S_{n}=v_{1}+v_{2}+\cdots+v_{n} en fonction de n.
Exercice 17
Soit (u_{n}) une suite arithmétique croissante telle que :
\left\lbrace\begin{array}{lcl} u_{1}+u_{2}+u_{3} &=& 9 \\ u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+u_{3}^{2} &=& 35\end{array} \right.
1) Calculer le premier terme u_{0} et la raison r de cette suite, puis exprimer le terme général u_{n} en fonction de n.
2) Soit (v_{n}) la suite définie par :
v_{n}=2^{u_{n}}.
a) Montrer que (v_{n}) est une suite géométrique pour laquelle on déterminera v_{0} et la raison.
b) Calculer P_{n}=v_{0}\times v_{1}\times\cdots\times v_{n}.
Exercice 18
on considère deux suites numériques définies par :
u_{n}=\dfrac{3^{n}-6n+4}{3}\text{ et }v_{n}=\dfrac{3^{n}+6n-4}{3} pour tout n\in\mathbb{N}
1) Soit a_{n}=u_{n}-v_{n}.
Montrer que la suite de terme général a_{n} est une suite arithmétique.
Calculer a_{0}+a_{1}+\cdots+a_{10}.
2) Soit b_{n}=u_{n}+v_{n}.
Montrer que la suite de terme général b_{n} est une suite géométrique.
Calculer b_{0}+b_{1}+\cdots b_{10}.
3) En déduire les sommes :
u_{0}+u_{1}+\cdots u_{10}\text{ et }v_{0}+v_{1}+\cdots v_{10}.
Exercice 19
Une source sonore émet un son dont l'intensité est de 1000 décibels.
Une plaque d'isolation phonique absorbe 45\% de l'intensité du son.
Soit f(n) l'intensité du son, mesurée en décibels, après la traversée de n plaques du type précédent [donc f(0)=1000\;;\ f(1) est l'intensité du son mesurée en décibels après la traversée d'une plaque, etc...].
1) Calculer f(1)\;,\ f(2)\text{ et }f(3).
2) Calculer f(n+1) en fonction de f(n).
Reconnaître la suite n\mapsto f(n).
3) La suite est-elle croissante ? décroissante ?
4) Déterminer le nombre minimal de plaques que doit traverser le son pour que son intensité soit inférieure ou égale au dixième de sa valeur initiale.
Exercice 20
Une banque propose à ses clients deux contrats de placement sur un compte bloqué.
(c'est-à-dire sans retrait possible d'argent pendant la durée du contrat) avec intérêts cumulés annuellement.
Selon ces contrats la somme s enregistrée sur le compte rapporte :
8\% par an si 1 000 000\leq S<5 000 000 (contrat C1), t\% par an (où t\geq 10, est à négocier à l'ouverture du compte) si S\geq 5 000 000 (contrat C2).
1) Un client P_{1} a déposé 1 000 000 F le 1^{\text{er}} Janvier 2007.
on désigne par S(n) la somme figurant au compte de ce client au 1^{\text{er}} janvier de l'année 2007+n.
a) Calculer S(1)\text{ et }S(2).
b) Calculer S(n+1)-S(n) en fonction de S(n).
En déduire l'expression de S(n) en fonction de n.
c) A partir de quelle année p_{1} aura-t-il doublé son dépôt initial ?
2) Un client P_{2} dispose au 1^{\text{er}} Janvier 2007 d'une somme de 5 000 000 F il aura besoin de 7 500 000 F le 1^{\text{er}} Janvier 2010.
Pour cela, il négocie un contrat C2 sur la base d'un taux annuel de t\%.
On désigne par V(n) le montant du compte de P_{2}\text{ au }1^{\text{er}} Janvier de l'année 2007+n.
a) Calculer V(n+1)-V(n) en fonction de V(n)\text{ et de }t.
En déduire l'expression de V(n) en fonction de n\text{ et }t.
b) Quel est le plus petit entier t permettant à P_{2} de réaliser son projet ?
Exercice 21
Le 1^{\text{er}} Janvier 2008, M.X a placé 3000 000 F à intérêts composés, au taux de 9\% (un capital est placé à intérêts composés lorsque les intérêts produits à la fin de chaque année sont ajoutés au capital).
On notera C_{n} le capital produit au 1^{\text{er}} Janvier de l'année (2008+n).
1) Calculer C_{1}. Établir la relation entre C_{n}\text{ et }C_{n+1} ; en déduire C_{n} en fonction de n.
2) Au 1^{\text{er}} Janvier 2019, M.X aura besoin d'une somme de 9000 000 F pour acheter une maison.
Le capital qu'il possédera sera-t-il suffisant pour subvenir à cette dépense ? Sinon, combien devra-t-il emprunter ?
3) A quel taux aurait-il dû placer son capital le 1^{\text{er}} Janvier 2008 pour disposer des 9000 000 F au 1^{\text{er}} Janvier 2019 ?
Exercice 22
La raréfaction d'une matière première oblige un pays à envisager d'en diminuer la consommation de 8\% par an.
celle-ci était, en 2006, 100 (en millions de tonnes).
1) Calculer la consommation en 2007 (c'est-à-dire au bout d'un an) et en 2008 (c'est-à-dire au bout de deux ans).
Exprimer en fonction de n, la consommation au bout de n années (soit en l'an 2006+n).
2) En quelle année la consommation sera-t-elle, pour la première fois, inférieure à 1 (en millions de tonnes) ?
3) Quel doit être le pourcentage de diminution imposée pour atteindre une consommation annuelle égale en 1 en 20 ans ?
Exercice 23
Soit (u_{n}) la suite définie sur \mathbb{N} par :
\left\lbrace\begin{array}{lcl} u_{0} &=& 2 \\ u_{n}-2u_{n+1} &=& 2n+3\end{array} \right.
1) Calculer u_{1}\;,\ u_{2}\text{ et }u_{3}.
Soit (v_{n}) la suite définie sur \mathbb{N}\text{ par }:\ v_{n}=u_{n}+2n-1.
Montrer que (v_{n}) est une suite géométrique dont on donnera la raison et le premier terme.
3) En déduire l'expression du terme général de (v_{n})\text{ et }(u_{n}) en fonction de n.
4) Calculer en fonction de n :
S_{n}=\sum_{k=0}^{n}v_{k}\text{ puis }S'_{n}=\sum_{k=0}^{n}u_{k}.
Exercice 24
Soit (u_{n}) une suite géométrique telle que :
243u_{7}=32u_{2}\quad(u_{2}\neq 0).
1) Calculer sa raison q.
2) Sachant de plus que S_{n}=u_{0}+u_{1}+\cdots+u_{n} tend vers 3^{11} lorsque n tend vers l'infini, calculer u_{0}.
3) On se propose maintenant de calculer, en fonction de n, le produit :
P_{n}=u_{0}u_{1}\cdots u_{n-1}u_{n}.
a) n\text{ et }p étant deux entiers naturels quelconques tels que p\leq n, montrer que u_{p}.u_{n-p} ne dépend que de n.
b) Calculer P_{n}^{2} en fonction de n, en utilisant la propriété établie à la question précédente et la valeur de u_{0} calculer au 2).
Exercice 25
On considère la suite (u_{n}) définie par :
\left\lbrace\begin{array}{lcl} u_{0} &=& -2 \\ \\ 3u_{n+1}+2u_{n} &=& -\dfrac{5n+7}{(n+1)(n+2)}\;;\ n\in\mathbb{N} \end{array} \right.
1) Calculer ,u_{1}\;,\ u_{2}\text{ et }u_{3}.
2) Soit (w_{n})\ :\ w_{n}=u_{n}+\dfrac{1}{n+1}.
Montrer que (w_{n}) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison ; vérifier que l'on a w_{3}=\dfrac{8}{27}.
3) Exprimer w_{n} en fonction de n, puis u_{n} en fonction de n.
4) Démontrer que pour tout n\text{ de }\mathbb{N}\ :\ |u_{n}|<\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n}+\dfrac{1}{n+1}.
En déduire que u_{n} est convergente et déterminer sa limite.
Exercice 26
Une personne loue une maison à partir du 1^{\text{er}} janvier 2006.
Elle a le choix entre deux formules de contrat.
Dans les deux cas, le loyer initial est de 120 000 F et le locataire s'engage à occuper la maison pendant neuf années complètes.
1) Contrat n^{\circ}1
Le locataire accepte une augmentation annuelle de 5\% du loyer de l'année précédente.
a) Calculer le loyer u_{1} payé lors de la deuxième année.
b) Exprimer u_{n} (loyer payé lors de la (n+1)^{ième} année en fonction de n. Calculer u_{8}.
c) Calculer la somme payée à l'issue des neuf années de contrat.
2) Contrat n^{\circ}2
Le locataire accepte une augmentation annuelle forfaitaire de 1500 F du loyer de l'année précédente.
a) Calculer le loyer v_{1} payé lors de la deuxième année.
b) Exprimer v_{n} (loyer payé lors de la (n+1)^{ième} année en fonction de n.
Calculer v_{8}.
c) Calculer la somme payée à l'issue des neuf années de contrat.
Quel est le contrat le plus avantageux pour le locataire ?
Exercice 27
1) Le 1^{\text{er}} janvier 2000, le prix d'un objet est P0.
L'inflation est de 3\% par an à partir de 2000.
Calculer le prix P_{1} de cet objet au bout d'un an, P_{2} au bout de 2 ans, P_{n} au bout de n années.
2) Au bout de combien d'années le prix de l'objet aura-t-il été multiplié par 2 ?
Le temps nécessaire dépend-il du prix initial ?
3) Dans cette question, on suppose que l'inflation est de 3\% une année, -3\% l'année suivante (il y a désinflation), le cycle se reproduisant par période de 2 ans (3\% en 2000, -3\% en 2001, 3\% en 2002, -3\% en 2003, etc...).
Quel est le prix de l'objet en fonction de P0 au bout de 2 ans ? au bout de 4 ans ? au bout de 2n années ?
Calculs de limites
Exercice 28
Étudier le comportement de la suite de terme général u_{n} quand n tend vers +\infty.
1)\ u_{n}=\dfrac{5n+1}{2n+3}\qquad 2)\ u_{n}=\dfrac{7n-1}{3n-1}
3)\ u_{n}=\dfrac{5n^{2}+3n+1}{n^{2}+n+1}\qquad 4)\ u_{n}=\dfrac{-2n^{2}+3n+1}{3n^{2}-n+7}
5)\ u_{n}=\dfrac{2n+1}{3n^{2}+2n+1}\qquad 6)\ u_{n}=\dfrac{5n^{2}+3}{2n+1}
7)\ u_{n}=\dfrac{4n+(-1)^{n}}{3n+2}\qquad 8)\ u_{n}=\dfrac{2n^{2}+(-1)^{n}\cdot n+1}{n^{3}+1}
9)\ u_{n}=2n+1-\sqrt{n^{2}+n+1}\qquad 10)\ u_{n}=n+3-\sqrt{n^{2}-n+1}
11)\ u_{n}=\sqrt{2n^{2}+n+1}-\sqrt{2n^{2}+5}\qquad 12)\ u_{n}=\dfrac{1}{\sqrt{n^{2}-n+1}-\sqrt{n^{2}+n+1}}
13)\ u_{n}=\dfrac{\sqrt{n^{2}+n}-\sqrt{n^{2}+1}}{\sqrt{n+1}}\qquad 14)\ u_{n}=\dfrac{n+1}{\sqrt{n+2}}-\dfrac{n+1}{\sqrt{n+2}}
15)\ u_{n}=\dfrac{n-\sqrt{n^{2}+1}}{\sqrt{n^{2}+n+3}}\qquad 16)\ u_{n}=\dfrac{10^{n}-1}{10^{n}+3}
17)\ u_{n}=\dfrac{5^{n}+3^{n+1}}{5^{n}+2}\qquad 18)\ u_{n}=\ln\dfrac{n^{2}+5n+1}{2n+1}
19)\ u_{n}=\dfrac{\ln 4n}{\ln 3n}\qquad 20)\ u_{n}=\dfrac{\ln n^{2}}{\left(\ln n\right)^{2}}
21)\ u_{n}=\dfrac{\mathrm{e}^{n+1}}{n}\qquad 22)\ u_{n}=\dfrac{\mathrm{e}^{n}}{n^{2}+2n+3}
23)\ u_{n}=n\left(\mathrm{e}^{\dfrac{1}{n}-1}\right)\qquad 24)\ u_{n}=n\ln\left(1+\dfrac{1}{n}\right)
25)\ u_{n}=\sqrt{n}\ln\left(\dfrac{\mathrm{e}^{2}}{\sqrt{n}}\right)\qquad 26)\ u_{n}=n^{2}\mathrm{e}^{-2n+1}
27)\ u_{n}=\dfrac{3n+\sin n}{2n+\cos n}\qquad 28)\ u_{n}=\dfrac{1-\cos\dfrac{1}{n}}{n\sin\dfrac{1}{n}}
29)\ u_{n}=\dfrac{3^{n}+n^{2}}{2^{n}+5}\qquad 30)\ u_{n}\dfrac{2^{n}+n+1}{4^{n}+5}\qquad 31)\ u_{n}=\dfrac{3^{n}+n^{10}}{2^{2n}+n^{10}}
Exercice 29
On considère la suite (u_{n}) définie sur \mathbb{N}\text{ par }u_{n}=\sqrt{n+5}-\sqrt{n+3}.
1) Calculer les 5 premiers termes de cette suite.
2) Montrer que pour tout n, on peut écrire :
u_{n}=\dfrac{2}{\sqrt{n+5}+\sqrt{n+3}}.
3) En déduire que l'on peut majorer u_{n} par une suite (v_{n}) de la forme v_{n}=\dfrac{k}{\sqrt{n}}.
4) Déterminer la limite de (u_{n}) quand n tend vers +\infty.
Exercice 30
Soit la suite (u_{n}) définie sur \mathbb{N} par :
u_{n}=an^{2}-4n-1.
1) Déterminer a pour que (u_{n}) soit strictement croissante sur \mathbb{N}.
2) Déterminer a pour que (u_{n}) soit strictement croissante à partir de n_{0}=2.
3) Déterminer a pour que (u_{n}) soit strictement décroissante sur \mathbb{N}.
4) Établir dans chacun des cas le comportement de (u_{n}) lorsque n tend vers +\infty.
Exercice 31
Soit la suite (u_{n}) définie sur \mathbb{N}^{\ast}\text{ par : }u_{n}=n\cos\dfrac{1}{n}.
1) Calculer , u_{0}\;,\ u_{1}\;,\ u_{2}\;,\ u_{3}\;,\ u_{4}.
2) Soit n un entier multiple de 8. Simplifier l'écriture de u_{n}, puis calculer u_{n+1}\;,\ u_{n+2}\;,\ u_{n+3}\;,\ u_{n+4}\;,\ u_{n+5}\;,\ u_{n+6}\;,\ u_{n+7}\;,\ u_{n+8}. (u_{n}) est-elle monotone ?
3) Montrer que (u_{n})\text{ tend vers }+\infty quand n tend vers +\infty.
Exercice 32
On donne la suite (u_{n}\in\mathbb{N}^{\ast} définie par : \forall n\in\mathbb{N}^{\ast}\ :\ u_{n}= \dfrac{\sin n}{n}.
Montrer que \forall n\in\mathbb{N}^{\ast}\;,\ 0\leq|u_{n}|\leq\dfrac{1}{n}.
En déduire que la suite (u_{n}) converge et donner sa limite.
Somme des termes d'une suite
Exercice 33
1) Soit la suite (u_{n}) définie sur \mathbb{N}^{\ast}\text{ par }u_{n}=\dfrac{1}{n(n+1)}.
a) Calculer \lim_{n\rightarrow +\infty}u_{n}.
b) Déterminer deux nombres réels a\text{ et }b tels que :
u_{n}=\dfrac{a}{n}+\dfrac{b}{n+1}.
c) En déduire une expression simple de S_{n}=u_{1}+u_{2}+\cdots+u_{n}.
(On pourra commencer par calculer les sommes S_{2}=u_{1}+u_{2}\;,\ S_{3}=u_{1}+u_{2}+u_{3}\text{ et }S_{4}=u_{1}+u_{2}+u_{3}+u_{4}).
d) Calculer \lim_{n\rightarrow +\infty}S_{n}.
2) Soit (v_{n}n\in\mathbb{N}^{\ast} la suite définie par, \forall n\in\mathbb{N}^{\ast}\ :\ v_{n}=\dfrac{1}{1^{2}}+\dfrac{1}{2^{2}}+\cdots+\dfrac{1}{n^{2}}.
a) Montrer que la suite (v_{n}) est croissante.
b) Comparer v_{n}\text{ et }u_{n}.
c) En déduire que la suite (v_{n}) est convergente.
(On ne cherchera pas sa limite qui est \dfrac{\pi^{2}}{6}).
Exercice 34
Soit la suite (u_{n}) définie sur \mathbb{N}^{\ast}\text{ par : }u_{n}=\ln\left(\dfrac{n}{n+1}\right).
1) Calculer \lim_{n\rightarrow +\infty}u_{n}.
2) Démontrer que la suite (u_{n}) est strictement croissante
3) Soit S_{n}=u_{1}+u_{2}+\cdots+u_{n}.
Démontrer que S_{n}=-\ln(n+1).
4) En déduire \lim_{n\rightarrow +\infty}S_{n}.
Utilisation de suites auxiliaires
Exercice 35
Soit la suite (u_{n}) définie sur \mathbb{N}\text{ par : }u_{0}=2\text{ et }u_{n+1}=3u_{n}+2.
On considère la suite (s_{n}) définie sur \mathbb{N}\text{ par : }s_{n}=u_{n}+1.
1) Démontrer que (s_{n}) est tune suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
2) Exprimer s_{n}, puis u_{n} en fonction de n.
3) Calculer \lim_{n\rightarrow +\infty}u_{n}.
Exercice 36
Une suite (U_{n}) est définie par son premier terme U_{1}=\dfrac{2}{7} et par la relation :
U_{n+1}=\dfrac{U_{n}}{3-U_{n}}
(on admettra que quel que soit n\in\mathbb{N}^{\ast}\;,\ U_{n}\neq 0\text{ et }U_{n}\neq 3).
1) Calculer U_{2}\text{ et }U_{3}.
2) Soit (V_{n}) la suite définie par :
V_{n}=\dfrac{1}{U_{n}}.
Calculer V_{1}.
Montrer que pour tout n\in\mathbb{N}^{+}\;,\ V_{n+1}=3V_{n}-\dfrac{1}{2}.
3) Soit (W_{n}) la suite définie par :
W_{n}=V_{n}-\dfrac{1}{2}.
Déterminer W_{n+1}\text{ en fonction de }W_{n} et calculer le premier terme W_{n}.
Quelle est la nature de la suite (W_{n}) ?
Calculer le terme W_{n} en fonction de n.
4) En déduire l'expression générale de U_{n} en fonction de n.
Exercice 37
Soit la suite (u_{n}) définie sur \mathbb{R}^{\ast}\text{ par : }u_{n+1}=a u_{n}+b.
1) Soit a=1\text{ et }b=0.
a) Quelle est dans ce cas la nature de la suite (u_{n}) ?
b) Exprimer alors u_{n} en fonction de n et calculer \lim_{n\rightarrow +\infty}u_{n}.
2) Soit a\neq 1\text{ et }b=0.
a) Quelle est dans ce cas la nature de la suite (u_{n}) ?
b) Exprimer alors u_{n} en fonction de n.
3) Soit a\neq 1\text{ et }b\neq 0.
a) Si on pose v_{n}=u_{n}+\alpha, démontrer qu'il existe une valeur de \alpha pour laquelle la suite (v_{n}) est géométrique de raison a.
b) En déduire l'expression de v_{n} puis de u_{n} en fonction de n.
c) Déterminer la limite de (v_{n}) puis celle de (u_{n}) dans le cas où |a|<a.
4) Appliquer la méthode de la question 3) au calcul de la limite des suites (u_{n}) définies sur \mathbb{N} ci-après.
a)\ u_{0}=1\text{ et }u_{n+1}=2u_{n}-\dfrac{3}{2}
b)\ u_{0}=0\text{ et }u_{n+1}=-\dfrac{u_{n}}{2}+1
c)\ u_{0}=-1\text{ et }u_{n+1}=\dfrac{1}{3}u_{n}+2
Exercice 38
Soit la suite (u_{n}) définie sur \mathbb{N}^{\ast}\text{ par : }u_{1}=3\text{ et }u_{n+1}=u_{n}-n.
On considère la suite (u_{n}) définie sur \mathbb{N}^{\ast}\text{ par : }v_{n}=u_{n+1}-u_{n}.\quad(1)
1) Exprimer en fonction de n.
2) En déduire S_{n}=v_{1}+v_{2}+\cdots+v_{n}.
3) Utiliser la relation (1) pour trouver une autre expression de S_{n}.
En déduire en fonction de n.
4) Calculer \lim_{n\rightarrow +\infty}u_{n}.
Exercice 39
Soit la suite (u_{n}) définie sur \mathbb{N}^{\ast}\text{ par : }u_{0}=0\text{ et }u_{n+1}=u_{n}+\dfrac{1}{2^{n}}.
On considère la suite (v_{n}) définie sur \mathbb{N}^{\ast}\text{ par : }v_{n}=u_{n+1}-u_{n}.\quad(1)
1) Démontrer que (v_{n}) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
2) En déduire S_{n}=v_{1}+v_{2}+\cdots+v_{n}.
3) Utiliser la relation (1) pour trouver une autre expression de S_{n}.
En déduire en fonction de n.
4) Calculer \lim_{n\rightarrow +\infty}u_{n}.
Exercice 40
1) Soit n un entier naturel. Résoudre dans \mathbb{R} l'équation d'inconnue x :
\ln(7^{n}x)=2n.
2) On considère la suite (v_{n}) définie par :
\ln(7^{n}v_{n})=2n.
a) Calculer v_{0}\text{ et }v_{1}.
b) Démontrer que la suite (v_{n}) est géométrique et déterminer sa raison.
3) La suite (v_{n}) admet-elle une limite ?
4) Déterminer un entier n_{0} tel que, pour tout n>n_{0}\;,\ v_{n}>100.
Exercice 41
Soit la suite (u_{n}) définie sur \mathbb{N} par :
\left\lbrace\begin{array}{lcl} u_{0}=1 &\text{et}& u_{1}=7 \\ \\ u_{n+2} &=& \dfrac{1}{2}(u_{n+1}+u_{n}) \end{array} \right.
1) Démontrer que la suite (v_{n}) définie sur \mathbb{N}^{\ast}\text{ par : }v_{n}=u_{n}-u_{n-1} est géométrique convergente
2) Calculer S_{n}=v_{1}+v_{2}+\cdots+v_{n}.
En déduire \lim_{n\rightarrow +\infty}u_{n}.
Exercice 42
1) On considère la suite (u_{n}) définie sur \mathbb{N}\text{ par : }u_{0}=\mathrm{e}^{3}\text{ et }u_{n+1}=\sqrt[\mathrm{e}]{u_{n}}.
2) Calculer u_{1}\;,\ u_{2}\;,\ u_{3}\text{ et }u_{4}.
On pose v_{n}=\ln u_{n}-2.
a) Démontrer que la suite (v_{n}) est géométrique.
Préciser sa raison et calculer v_{0}.
b) En déduire v_{n}, puis u_{n} en fonction de n.
Calculer la limite des suites (v_{n})\text{ et }(u_{n}).
Exercice 43
Soit la suite à termes positifs (u_{n}) définie sur \mathbb{N}^{\ast}\text{ par }u_{1}=1\text{ et }(u_{n+1})^{2}=4u_{n}.
1) Calculer u_{2}\;,\ u_{3}\;,\ u_{4}\text{ et }u_{5} (donner les résultats sous la forme 2^{n}).
2) On considère la suite (v_{n}) définie sur \mathbb{N}^{\ast}\text{ par : }v_{n}=\ln u_{n}-\ln 4.
3) a) Calculer v_{1}.
b) Exprimer v_{n}, puis u_{n} en fonction de n.
c) Calculer u_{n}.
4) Pour quelles valeurs de n a-t-on u_{n}>3.96 ?
Exercice 44
Soit la suite (u_{n}) définie sur \mathbb{N}^{\ast} par :
\left\lbrace\begin{array}{lcl} u_{1} &=& -1 \\ \\ u_{n+1} &=& \dfrac{n}{2(n+1)}u_{n}+\dfrac{3(n+2)}{2(n+1} \end{array} \right.
1) Démontrer, en raisonnant par récurrence, que la suite (u_{n}) est majorée par 3.
2) Étudier le sens de variation de la suite (u_{n})
3) On considère la suite (v_{n}) définie sur \mathbb{N}^{\ast}\text{ par : }v_{n}=n(3-u_{n}).
a) Démontrer que cette suite est géométrique.
Préciser sa raison et calculer v_{1}.
b) Exprimer v_{n}\text{ puis }u_{n}\text{ en fonction de }n.
c) Calculer \lim_{n\rightarrow +\infty}v_{n}\text{ puis }\lim_{n\rightarrow +\infty}u_{n}.
Exercice 45
1) Soit (u_{n}) la suite définie par u_{0} fixé et pour tout n\in\mathbb{N}\;,\ u_{n+1}=1.05 u_{n}+1000.
Soit (v_{n}) la suite définie par v_{n}=u_{n}+20 000.
a) Démontrer que (v_{n}) est une suite géométrique. Préciser la raison.
b) Calculer v_{n}\text{ en fonction de }v_{0}\text{ et }n.
En déduire u_{n} en fonction de u_{0}\text{ et }n.
c) Soit S_{n}=u_{0}+u_{1}+\cdots+u_{n}.
Calculer S_{n}.
2) Au 1^{\text{er}} Janvier 2003, la population d'un ville était de 20 000 habitants.
Chaque année, la population augmente de 5\% et, de plus, 1000 personnes viennent s'y établir définitivement.
a) Préciser la population au 1^{\text{er}} Janvier 2008.
b) L'ensemble des élèves de l'enseignement primaire représente 20\% de la population.
A raison d'un instituteur pour 40 élèves, préciser le nombre d'instituteurs au 1^{\text{er}} Janvier 2008.
c) Chaque élève coûte à l'État 10 000 francs par an.
Déterminer la dépense effectuée par l'État du 1^{\text{er}} Janvier 2003 au 1^{\text{er}} Janvier 2008.
Suites définies par une relation u_{n+1}=f(u_{n})
Exercice 46
Soit (u_{n}) la suite définie par :
u_{n+1}=\sqrt{6+u_{n}}.
1) Calculer u_{1}\;,\ u_{2}\;,\ u_{3}.
2) Montrer que (u_{n}) est croissante et majorée par 3.
Que peut-on en conclure ?
3) Montrer que pour tout n entier, 3-u_{n+1}\leq\dfrac{1}{3}(3-u_{n}).
En déduire la limite l\text{ de }u_{n}.
Exercice 47
Une suite (u_{n}) est définie sur \mathbb{N}^{\ast} par son premier terme u_{1} et la relation de récurrence
u_{n+1}=\dfrac{u_{n}+6}{u_{n}+2}.
1) Démontrer qu'il existe deux valeurs a\text{ et }b\text{ de }u_{1}(a<b) pour lesquelles la suite est constante.
2) On suppose dans toute la suite que u_{1}>0.
Démontrer que la suite est strictement positive.
3) a) Démontrer que si u_{1}\neq b, alors pour tout entier naturel n non nul, u_{n}\neq b.
Dans ces conditions, Calculer \dfrac{u_{n+1}-a}{u_{n+1}-b}\text{ en fonction de }\dfrac{u_{n}-a}{u_{n}-b}.
En déduire que la suite (v_{n}) définie sur \mathbb{N}^{\ast}\text{ par }v_{n}=\dfrac{u_{n}-a}{u_{n}-b} est géométrique.
c) Calculer \lim_{n\rightarrow +\infty}|v_{n}|\text{ et en déduire }\lim_{n\rightarrow +\infty}u_{n}.
Exercice 48
1) Soit la suite (u_{n}) définie sur \mathbb{N} par la donnée de u_{0} et la relation :
u_{n+1}=\dfrac{1}{n}.
a) Déterminer u_{n} dans les cas :
u_{0}=0\;;\ u_{0}=32.
b) Démontrer que, pour tout entier naturel n\;,\ u_{n+1}\neq\dfrac{1}{2}.
1 c) Établir, pour tout entier naturel n l'égalité :
u_{n+1}=\dfrac{1}{2}\left[1-\dfrac{1}{u_{n}-\dfrac{1}{2}}\right].
2) On définit la suite (v_{n})\text{ sur }\mathbb{N}^{\ast} a :
v_{n}=u_{n}-\dfrac{1}{2}.
a) Démontrer que pour tout entier naturel n\;,\ v_{n+1}=-\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{v_{n}}.
b) Si u_{0}=-\dfrac{1}{2}\;,\text{ calculer }v_{0} et donner l'expression de v_{n} puis celle de u_{n} en fonction de n.
Vérifier que dans ce cas, les suites (v_{n})\text{ et }(u_{n}) sont périodiques.
Exercice 49
Soit f l'application de \mathbb{R}\text{ vers }\mathbb{R} telle que f(x)=\pi+2\dfrac{1}{2}\sin x.
1) Montrer que pour tout couple (a\;,\ b) de nombres réels :
|f(a)-f(b)|\leq\dfrac{1}{2}|a-b|\quad \text{ et que }f(\pi)=\pi.
2) Soit (u_{n}) la suite définie par u_{0}(u_{0}\in\mathbb{R})\text{ et }u_{n+1}=f(u_{n}).
Montrer que pour tout entier naturel non nul :
|u_{n}-\pi|\leq\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n}|u_{0}-\pi|.
En déduire la convergence de (u_{n}).
Exercice 50
Soit (u_{n}) la suite définie par :
u_{0}\in\left[0\;,\ \dfrac{1}{2}\right]\text{ et }\forall n\in\mathbb{N}\;,\ u_{n+1}=u_{n}^{2}+\dfrac{u^{n}}{2}.
1) Montrer que :
\forall n\in\mathbb{N}\;,\ u_{n}\in\left[0\;,\ \dfrac{1}{2}\right].
2) Construire la courbe représentative de la fonction f définie sur \mathbb{R\;+}\text{ par }f(x)=x^{2}+\dfrac{x}{2} ainsi que la droite \Delta d'équation y=x, dans un repère orthonormé (O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j}).
Représenter sur l'axe Ox les premiers termes de la suite (u_{n}) dans le cas où u_{0}=\dfrac{1}{2}.
3) Étudier les variations de (u_{n}).
Étudier la convergence de la suite (u_{n}).
Exercice 51
Soit la suite définie par :
u_{0}=1\text{ et }\forall n\in\mathbb{N}\;,\ u_{n+1}=\ln(1+u_{n}).
1) Montrer que u_{n} existe pour tout n et que tous les termes sont positifs.
2) Étudier et représenter graphiquement dans un repère orthonormé (O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j}) la fonction f définie par f(x)=\ln(1+x).
Tracer dans ce même repère la droite \Delta d'équation y=x.
Déterminer les points d'intersection de la courbe représentative de f\text{ et de }\Delta.
3) Représenter sur l'axe Ox les premiers termes de la suite.
Étudier les variations de (u_{n}\,n\in\mathbb{N}.
4) Étudier la convergence de la suite (u_{n})\,n\in\mathbb{N} et déterminer sa limite si elle existe.
Suites vérifiant U_{n+2}=a U_{n+1}+b U_{n}
Exercice 52
Soit S l'ensemble des suite (u_{n})n\in\mathbb{N} possédant la propriété suivante : pour tout entier naturel n,
u_{n+2}=\dfrac{3}{35}u_{n+1}+\dfrac{2}{35}u_{n}.
1) Existe-t-il dans S des suites constantes (à l'exception de la suite nulle) ?
2) Existe-t-il dans S des suites arithmétiques (à l'exception de la suite nulle) ?
3) Existe-t-il dans S des suites géométriques, de premier terme non nul, de raison non nulle ?
4) Montrer que les suites (u_{n})n\in\mathbb{N} de terme général :
u_{n}=\alpha\cdot\left(\dfrac{2}{7}\right)^{n}+\beta\cdot\left(-\dfrac{1}{5}\right)^{n},
où \alpha\text{ et }\beta représentent deux réels donnés, appartiennent à S.
5) Déterminer la suite de terme général :
u_{n}=\alpha\cdot\left(\dfrac{2}{7}\right)^{n}+\beta\cdot\left(-\dfrac{1}{5}\right)^{n}
sachant que u_{0}=3\text{ et }u_{1}=-\dfrac{4}{35}.
Exercice 53
Soit la suite (u_{n}) définie sur \mathbb{N}\;,\text{ par : }
\left\lbrace\begin{array}{lcl} u_{0}=0 &;& u_{1}=1 \\ u_{n+2} &=& a\,u_{n+1}+(1-a)u_{n} \end{array} \right.\text{ avec }0<\alpha<1.
1) Démontrer que pour tout entier naturel n\;,\ u_{n+2} est compris entre u_{n}\text{ et }u_{n+1}.
2) Soit la suite (v_{n}) définie sur \mathbb{N}^{\ast}\text{ par }v_{n}=u_{n}-u_{n+1}.
Démontrer que cette suite est géométrique convergente.
3) Calculer S_{n}=v_{1}+\cdots+v_{n}.
En déduire \lim_{n\rightarrow +\infty}u_{n}.
Exercice 54
On considère la suite (u_{n})\text{ définie sur }\mathbb{N}\text{ par : }
\left\lbrace\begin{array}{lcl} u_{0}=0 &;& u_{1}=1 \\ u_{n+2} &=& 7 u_{n+1}+8 u_{n} \end{array} \right.
1) a) Démontrer que la suite (s_{n}) définie sur \mathbb{N}\text{ par : }s_{n}= u_{n+1}+u_{n} est géométrique.
b) En déduire s_{n} en fonction de n.
2) On pose v_{n}=(-1)^{n}u_{n}\text{ et }t_{n}=v_{n+1}-v_{n}.
Exprimer t_{n} en fonction de s_{n}.
3) a) Exprimer v_{n}, puis u_{n} en fonction de n (on pourra calculer de deux manières différentes la somme t_{0}+t_{1}+\cdots+t_{n-1}).
b) Déterminer \lim_{n\rightarrow +\infty}\dfrac{u_{n}}{8^{n}}.
Exercice 55 Suites de Fibonacci
On considère la suite de Fibonacci (F_{n})\,n\in\mathbb{N} définie par :
\left\lbrace\begin{array}{lcl} F_{0}=0 &\text{et}& F_{1}=1 \\ \forall\,n\in\mathbb{N}^{\ast}\;,\ F_{n+1} &=& F_{n}+F_{n-1} \end{array} \right.
A) 1) Calculer les 10 premiers termes de cette suite.
2) Montrer que :
\forall n\in\mathbb{N}^{\ast}\;,\ F_{n+1}F_{n-1}-F_{n}^{2}=(-1)^{n}.
3) Montrer que (F_{n}) est strictement croissante pour n\geq 2\text{ et que : }\forall n\in\mathbb{N}^{\ast}F_{n}\geq n-1.
En déduire que (F_{n}) est divergente.
4) Démontrer qu'il existe deux suites de Fibonacci de terme initial 1 qui sont géométriques.
B) Soit (u_{n})n\in\mathbb{N}^{\ast} la suite de terme général u_{n}=\dfrac{F_{n+1}}{F_{n}}.
1) Calculer les 10 premiers termes de cette suite.
Qu'en déduit-on intuitivement sur sa convergence ?
2) Montrer que :
\left\lbrace\begin{array}{lcl} u_{1} &=& 1 \\ \\ u_{n+1} &=& 1+\dfrac{1}{u_{n}} \end{array} \right.
3) Tracer la courbe \mathcal{C} définie sur \mathbb{R}^{+}\text{ par }f(x)=1+\dfrac{1}{x}.
Construire les points M_{n}(n\in\mathbb{N}^{\ast})\text{ de }\mathcal{C} d'abscisses u_{n} ;
qu'en déduit-on intuitivement sur la convergence de (u_{n}) ?
4) Soit l la solution positive de l'équation :
x=x+\dfrac{1}{x}.
Calculer l.
a) Montrer que par récurrence que :
\forall n\in\mathbb{N}\;,\ F_{n+1}-\mathbb{F}_{n}=\dfrac{(-1)^{n}}{1^{n}}.
En déduire que :
u_{n}-l=\dfrac{(-1)^{n}}{F_{n} \;l^{n}}.
b) Déduire que \lim_{n\rightarrow +\infty}u_{n}=l.
Vérifier que la limite obtenue correspond au résultat trouvé intuitivement au B) 1) et 3).
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Abdou (non vérifié)
mer, 04/07/2021 - 01:04
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Abdou (non vérifié)
mer, 04/07/2021 - 01:04
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