Série d'exercices : Suites numériques - Ts

Raisonnement par récurrence

Exercice 1

Démontrer par récurrence les propriétés suivantes :

$1)\ 1^{2}+2^{2}+3^{2}+\cdots+n^{2}=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$2)\ 1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots+n^{3}=\dfrac{n^{2}(n+1)^{2}}{4}$

$3)S_{n}=1^{3}+3^{3}+5^{3}+\cdots+(2n-1)^{3}(n\in\mathbb{N}).\ S_{n}=2n^{4}-n^{2}.$

$4)\ \forall \;n\geq 4\;,\ 2^{n}\geq 4\quad 5)\ \forall \;n\geq 4\;,\ 2^{n}\leq n !$

$6)\ \forall \;n\geq 5\;,\ 3^{n}>n^{3}\quad 7)\ \forall \;n\geq 7\;,\ 3^{n}<n !$

7) On note $f^{(n)}$ la dérivée $n^{ième}$ de la fonction $f.$

a) $\sin^{(n)}x=\sin\left(x+\dfrac{n\pi}{2}\right)\quad \text{b) }\cos^{(n)}x=\cos\left(x+\dfrac{n\pi}{2}\right)$

c) $\text{si }f\ :\ x\mapsto x\mathrm{e}^{x}\;,\text{ alors }f^{(n)}x=\mathrm{e}^{x}(x+n)$

d) $\text{si }f\ :\ x\mapsto\dfrac{1}{x}\;,\text{ alors }f^{(n)}x=(-1)^{n}\dfrac{n!}{x^{n+1}}$

e) $\text{si }g\ :\ x\mapsto x\mathrm{e}^{x}\;,\text{ alors }f^{(n)}x=(-1)^{n}\dfrac{(n+1!}{x^{n+2}}$
 
8) Pour tout entier naturel $n\;,\ 3^{2n}-2^{n}$ est divisible par 7.

9) Pour tout entier naturel $n\;,\ 3^{2n+1}+2^{n+2}$ est divisible par 7.

10) Pour tout entier naturel non nul $n\;,\ 3^{2n}+2^{6n-5}$ est divisible par 11.

11) Pour tout entier naturel non nul, $3\times 5^{2n-2}+2^{3n-2}$ est divisible par 17.

12) Pour tout entier naturel $n\;,\ 5^{2n}-3^{n}$ est divisible par 22.

13) Soit $S_{n}=1^{3}+3^{3}+5^{3}+\cdots+(2n-1)^{3}(n\in\mathbb{N}^{\ast}).$
 
Montrer que $S_{n}=2n^{4}-n_{2}.$

Suites du type $U_{n}=f(n)$

Exercice 2

Soit la fonction $f$ et la suite $(u_{n})$ définie pour tout $n$ par :
 
$u_{n}=f(n).$

Prouver les propriétés suivantes :

1) Si la fonction $f$ est croissante sur $\mathbb{R}$, alors la suite $(u_{n})$ est croissante.

2) Si la fonction $f$ est bornée sur $\mathbb{R}$, alors la suite $(u_{n})$ est bornée.

3) Si la fonction $f$ est périodique de période $P$ entière, alors la suite $(u_{n})$ est périodique de période $P.$

Suites du type $U_{n+1}=f(u_{n})$

Exercice 3

Soit la fonction $f$ et la suite $(u_{n})$ définie par la donnée de $u_{0}\text{ et }u_{n+1}=f(u_{n}).$

Prouver les propriétés suivantes :

1) Si la fonction $f$ est croissante sur $\mathbb{R}$ ,alors :

a) si $u_{0}\leq u_{1}\;,\ (u_{1}=f(u_{0}))$ , la suite $(u_{n})$ est croissante.

b) si $u_{0}\leq u_{1}$ , la suite $(u_{n})$ est décroissante.

2) Y a-t-il des énoncés analogues aux précédents si la suite $(u_{n})$ est décroissante ?

3) Si la fonction $f$ est bornée sur alors la suite $(u_{n})$ est bornée.

Suites monotones

Exercice 4

Étudier le sens de variation des suites définies sur $\mathbb{N}^{\ast}$ ci-après ; on pourra, selon le cas , soit raisonner par récurrence, soit étudier le signe de $u_{n+1}-u_{n}$ , soit étudier le signe de $1-\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}$ (suites à termes strictement positifs), soit étudier la fonction $f$ telle que $u_{n}=f(n)$ :

a) $u_{n}=\dfrac{n}{n+1}\quad \text{b) }u_{n}=\dfrac{\mathrm{e}^{n}}{n}!\quad \text{c) }u_{n}=\dfrac{3n-1}{2n-1}$

d) $u_{n}=\sqrt[n]{n}\quad \text{e) }u_{n}=n^{2}-2^{n}$

f) $u_{n}=n-\ln(1+n)\quad \text{g) }u_{n}=\dfrac{1\times 3\times\cdots\times(2n-1)}{2\times 4\times\cdots\times 2n}$

h) $u_{n}=1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}-\cdots+\dfrac{1}{2n-1}-\dfrac{1}{2n}.$

Exercice 5

La suite $u$ est définie par :
$$\{\begin{array}{lcl}{u}_0& =& -2\\ \\ u_{n+1}& =& {\displaystyle \frac{9}{6-u_n}}\end{array}$$
 
1) Démontrer par récurrence que : pour tout nombre entier naturel $n\;,\ u_{0}<3.$

2) Étudier le sens de variation de la suite $u.$

Exercice 6

La suite $u$ est définie par :
$$\{\begin{array}{lcl}{u}_0& =& -2\\ \\ u_{n+1}& =& 1+{\displaystyle \frac{1}{u_n}}\end{array}$$

1) Démontrer par récurrence que la suite $u$ est minorée par $\dfrac{3}{2}$ et majorée par 2.

Suites arithmétiques Suites géométriques

Exercice 7

Soit $(u_{n})$ une suite arithmétique de raison $r=6$ et de premier terme $u_{1}=1.$
 
Calculer $n$ pour que $u_{1}+u_{2}+\cdots+u_{n}=280.$
 
Calculer $u_{n}$ pour la valeur trouvée de $n.$

Exercice 8

Montrer que si $x^{2}\;,\ y^{2}\;,\ z^{2}$ sont trois termes consécutifs d'une suite arithmétique, il en est de même pour $\dfrac{x}{y+z}\;,\ \dfrac{y}{z+x}\;,\text{ et }\dfrac{z}{x+y}.$

Exercice 9

Calculer trois termes consécutifs $x\;,\ y\;,\ z$ d'une suite géométrique sachant que $x+y+z=312\text{ et }z-x=192.$

Exercice 10

Calculer trois termes consécutifs $x\;,\ y\;,\ z$ d'une suite arithmétique sachant que $x+y+z=312\text{ et }x^{2}+y^{2}+z^{2}=22869.$

Exercice 11

On considère les suites géométriques de premier terme $u_{1}(u_{1}\neq 0)$ telles que :
 
$u_{2}+u_{3}=2u_{1}.$

Calculer la raison de chacune de ces suites.

Donner l'expression de la somme des $n$ premiers termes.

Application : $u_{1}=4\;,\ n=10.$

Exercice 12

Montrer que, si 3 nombres $a\;,\ b\;,\ c$ sont trois termes consécutifs d'une suite géométrique, ils vérifient la relation :
$$(a+b+c)(a-b+c)=a^2+b^2+c^2.$$

Application : Trouver 3 nombres en progression géométrique connaissant leur somme 57 et la somme de leurs carrés 1197.

Exercice 13

Déterminer les 3 premiers termes d'une suite géométrique décroissante, sachant que la somme de ces trois termes est égale à 7 et que le rapport du troisième terme au premier est égal à $\dfrac{1}{4}.$

Calculer la somme des 10 premiers termes de cette suite.

Exercice 14

Trois nombres distincts $a\;,\ b\text{ et }c$ sont tels que dans l'ordre $a\;,\ b\;,\ c$ ils sont 3 premiers termes d'une suite arithmétique et dans l'ordre $b\;,\ a\;,\ c$ ils sont 3 premiers termes d'une suite géométrique.

1) Trouver ces trois nombres sachant que : $a\times b\times c=27.$

On prolonge la suite géométrique, déterminer le rang du premier terme supérieur à 10 000.

2) Trouver ces trois nombres sachant que :
 
$a+b+c=24.$

Exercice 15

Les cinq termes $u_{1}\;,\ u_{2}\;,\ u_{3}\;,\ u_{4}\;,\ u_{5}$ d'une suite géométrique sont strictement positifs.
 
Soit $x$ la raison de cette suite.
 
On pose $u_{3}=a.$

1) Exprimer à l'aide de $a\text{ et }x$ les sommes :
 
$S=u_{1}+u_{5}\text{ et }s=u_{2}+u_{4}.$

Montrer que $s^{2}=aS+2a^{2}.$

2) Calculer $a\text{ et }x$ sachant que $s=34\text{ et }S=\dfrac{257}{2}.$

Exercice 16

1) Déterminer 3 termes consécutifs $a\;,\ b\;,\ c$ d'une suite arithmétique sachant que :
$$a+b+c={\displaystyle \frac{17}{2}}5a-6b+c=-{\displaystyle \frac{10}{3}}$$

Quelle est la raison de cette suite ?

2) Soit $(v_{n})$ la suite géométrique de premier terme $v_{1}=\pi$ et de raison $\dfrac{5}{6}.$

a) Calculer le dixième terme $v_{10}$ de cette suite.

b) Calculer $S_{n}=v_{1}+v_{2}+\cdots+v_{n}$ en fonction de $n.$

Exercice 17

Soit $(u_{n})$ une suite arithmétique croissante telle que :
$$\{\begin{array}{lcl}{u}_1+u_2+u_3& =& 9\\ u_1^2+u_2^2+u_3^2& =& 35\end{array}$$
 
1) Calculer le premier terme $u_{0}$ et la raison $r$ de cette suite, puis exprimer le terme général $u_{n}$ en fonction de $n.$

2) Soit $(v_{n})$ la suite définie par :
 
$v_{n}=2^{u_{n}}.$

a) Montrer que $(v_{n})$ est une suite géométrique pour laquelle on déterminera $v_{0}$ et la raison.

b) Calculer $P_{n}=v_{0}\times v_{1}\times\cdots\times v_{n}.$

Exercice 18

on considère deux suites numériques définies par :
$$u_n={\displaystyle \frac{3^n-6n+4}{3}}\text{ et }{v}_n={\displaystyle \frac{3^n+6n-4}{3}}$$ pour tout $n\in\mathbb{N}$

1) Soit $a_{n}=u_{n}-v_{n}.$

Montrer que la suite de terme général $a_{n}$ est une suite arithmétique.
 
Calculer $a_{0}+a_{1}+\cdots+a_{10}.$

2) Soit $b_{n}=u_{n}+v_{n}.$

Montrer que la suite de terme général $b_{n}$ est une suite géométrique.
 
Calculer $b_{0}+b_{1}+\cdots b_{10}.$

3) En déduire les sommes :

$u_{0}+u_{1}+\cdots u_{10}\text{ et }v_{0}+v_{1}+\cdots v_{10}.$

Exercice 19

Une source sonore émet un son dont l'intensité est de 1000 décibels.
 
Une plaque d'isolation phonique absorbe $45\%$ de l'intensité du son.
 
Soit $f(n)$ l'intensité du son, mesurée en décibels, après la traversée de $n$ plaques du type précédent [donc $f(0)=1000\;;\ f(1)$ est l'intensité du son mesurée en décibels après la traversée d'une plaque, etc...].

1) Calculer $f(1)\;,\ f(2)\text{ et }f(3).$

2) Calculer $f(n+1)$ en fonction de $f(n).$
 
Reconnaître la suite $n\mapsto f(n).$

3) La suite est-elle croissante ? décroissante ?

4) Déterminer le nombre minimal de plaques que doit traverser le son pour que son intensité soit inférieure ou égale au dixième de sa valeur initiale.

Exercice 20

Une banque propose à ses clients deux contrats de placement sur un compte bloqué.

(c'est-à-dire sans retrait possible d'argent pendant la durée du contrat) avec intérêts cumulés annuellement.

Selon ces contrats la somme $s$ enregistrée sur le compte rapporte :

$8\%$ par an si $1 000 000\leq S<5 000 000$ (contrat C1), $t\%$ par an (où $t\geq 10$, est à négocier à l'ouverture du compte) si $S\geq 5 000 000$ (contrat C2).

1) Un client $P_{1}$ a déposé 1 000 000 F le $1^{\text{er}}$ Janvier 2007.
 
on désigne par $S(n)$ la somme figurant au compte de ce client au $1^{\text{er}}$ janvier de l'année $2007+n.$

a) Calculer $S(1)\text{ et }S(2).$

b) Calculer $S(n+1)-S(n)$ en fonction de $S(n).$

En déduire l'expression de $S(n)$ en fonction de $n.$

c) A partir de quelle année $p_{1}$ aura-t-il doublé son dépôt initial ?

2) Un client $P_{2}$ dispose au $1^{\text{er}}$ Janvier 2007 d'une somme de 5 000 000 F il aura besoin de 7 500 000 F le $1^{\text{er}}$ Janvier 2010.
 
Pour cela, il négocie un contrat C2 sur la base d'un taux annuel de $t\%.$

On désigne par $V(n)$ le montant du compte de $P_{2}\text{ au }1^{\text{er}}$ Janvier de l'année $2007+n.$

a) Calculer $V(n+1)-V(n)$ en fonction de $V(n)\text{ et de }t.$

En déduire l'expression de $V(n)$ en fonction de $n\text{ et }t.$

b) Quel est le plus petit entier $t$ permettant à $P_{2}$ de réaliser son projet ?

Exercice 21

Le $1^{\text{er}}$ Janvier 2008, M.X a placé 3000 000 F à intérêts composés, au taux de $9\%$ (un capital est placé à intérêts composés lorsque les intérêts produits à la fin de chaque année sont ajoutés au capital).

On notera $C_{n}$ le capital produit au $1^{\text{er}}$ Janvier de l'année $(2008+n).$

1) Calculer $C_{1}.$ Établir la relation entre $C_{n}\text{ et }C_{n+1}$ ; en déduire $C_{n}$ en fonction de $n.$

2) Au $1^{\text{er}}$ Janvier 2019, M.X aura besoin d'une somme de 9000 000 F pour acheter une maison.
 
Le capital qu'il possédera sera-t-il suffisant pour subvenir à cette dépense ? Sinon, combien devra-t-il emprunter ?

3) A quel taux aurait-il dû placer son capital le $1^{\text{er}}$ Janvier 2008 pour disposer des 9000 000 F au $1^{\text{er}}$ Janvier 2019 ?

Exercice 22

La raréfaction d'une matière première oblige un pays à envisager d'en diminuer la consommation de $8\%$ par an.

celle-ci était, en 2006, 100 (en millions de tonnes).

1) Calculer la consommation en 2007 (c'est-à-dire au bout d'un an) et en 2008 (c'est-à-dire au bout de deux ans).

Exprimer en fonction de $n$, la consommation au bout de $n$ années (soit en l'an $2006+n).$

2) En quelle année la consommation sera-t-elle, pour la première fois, inférieure à 1 (en millions de tonnes) ?

3) Quel doit être le pourcentage de diminution imposée pour atteindre une consommation annuelle égale en 1 en 20 ans ?

Exercice 23

Soit $(u_{n})$ la suite définie sur $\mathbb{N}$ par :
$$\{\begin{array}{lcl}{u}_0& =& 2\\ u_n-2u_{n+1}& =& 2n+3\end{array}$$
 
1) Calculer $u_{1}\;,\ u_{2}\text{ et }u_{3}.$

Soit $(v_{n})$ la suite définie sur $\mathbb{N}\text{ par }:\ v_{n}=u_{n}+2n-1.$

Montrer que $(v_{n})$ est une suite géométrique dont on donnera la raison et le premier terme.

3) En déduire l'expression du terme général de $(v_{n})\text{ et }(u_{n})$ en fonction de $n.$

4) Calculer en fonction de $n$ :
$$S_n=\sum _{k=0}^n{v}_k\text{ puis }{S}_n^{\prime }=\sum _{k=0}^n{u}_k.$$

Exercice 24

Soit $(u_{n})$ une suite géométrique telle que :
 
$243u_{7}=32u_{2}\quad(u_{2}\neq 0).$

1) Calculer sa raison $q.$

2) Sachant de plus que $S_{n}=u_{0}+u_{1}+\cdots+u_{n}$ tend vers $3^{11}$ lorsque $n$ tend vers l'infini, calculer $u_{0}.$

3) On se propose maintenant de calculer, en fonction de $n$, le produit :
$$P_n=u_0{u}_1\cdots u_{n-1}{u}_n.$$

a) $n\text{ et }p$ étant deux entiers naturels quelconques tels que $p\leq n$, montrer que $u_{p}.u_{n-p}$ ne dépend que de $n.$

b) Calculer $P_{n}^{2}$ en fonction de $n$, en utilisant la propriété établie à la question précédente et la valeur de $u_{0}$ calculer au 2).

Exercice 25

On considère la suite $(u_{n})$ définie par :
$$\{\begin{array}{lcl}{u}_0& =& -2\\ \\ 3u_{n+1}+2u_n& =& -{\displaystyle \frac{5n+7}{(n+1)(n+2)}};n\in \mathbb{N}\end{array}$$

1) Calculer ,$u_{1}\;,\ u_{2}\text{ et }u_{3}.$

2) Soit $(w_{n})\ :\ w_{n}=u_{n}+\dfrac{1}{n+1}.$

Montrer que $(w_{n})$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison ; vérifier que l'on a $w_{3}=\dfrac{8}{27}.$

3) Exprimer $w_{n}$ en fonction de $n$, puis $u_{n}$ en fonction de $n.$

4) Démontrer que pour tout $n\text{ de }\mathbb{N}\ :\ |u_{n}|<\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n}+\dfrac{1}{n+1}.$

En déduire que $u_{n}$ est convergente et déterminer sa limite.

Exercice 26

Une personne loue une maison à partir du $1^{\text{er}}$ janvier 2006.
 
Elle a le choix entre deux formules de contrat.
 
Dans les deux cas, le loyer initial est de 120 000 F et le locataire s'engage à occuper la maison pendant neuf années complètes.

1) Contrat $n^{\circ}1$

Le locataire accepte une augmentation annuelle de $5\%$ du loyer de l'année précédente.

a) Calculer le loyer $u_{1}$ payé lors de la deuxième année.

b) Exprimer $u_{n}$ (loyer payé lors de la $(n+1)^{ième}$ année en fonction de $n.$ Calculer $u_{8}.$

c) Calculer la somme payée à l'issue des neuf années de contrat.

2) Contrat $n^{\circ}2$

Le locataire accepte une augmentation annuelle forfaitaire de 1500 F du loyer de l'année précédente.

a) Calculer le loyer $v_{1}$ payé lors de la deuxième année.

b) Exprimer $v_{n}$ (loyer payé lors de la $(n+1)^{ième}$ année en fonction de $n.$
 
Calculer $v_{8}.$

c) Calculer la somme payée à l'issue des neuf années de contrat.

Quel est le contrat le plus avantageux pour le locataire ?

Exercice 27

1) Le $1^{\text{er}}$ janvier 2000, le prix d'un objet est $P0.$
 
L'inflation est de $3\%$ par an à partir de 2000.

Calculer le prix $P_{1}$ de cet objet au bout d'un an, $P_{2}$ au bout de 2 ans, $P_{n}$ au bout de $n$ années.

2) Au bout de combien d'années le prix de l'objet aura-t-il été multiplié par 2 ?

Le temps nécessaire dépend-il du prix initial ?

3) Dans cette question, on suppose que l'inflation est de $3\%$ une année, $-3\%$ l'année suivante (il y a désinflation), le cycle se reproduisant par période de 2 ans ($3\%$ en 2000, $-3\%$ en 2001, $3\%$ en 2002, $-3\%$ en 2003, etc...).

Quel est le prix de l'objet en fonction de $P0$ au bout de 2 ans ? au bout de 4 ans ? au bout de $2n$ années ?

Calculs de limites

Exercice 28

Étudier le comportement de la suite de terme général $u_{n}$ quand $n$ tend vers $+\infty.$

$1)\ u_{n}=\dfrac{5n+1}{2n+3}\qquad 2)\ u_{n}=\dfrac{7n-1}{3n-1}$

$3)\ u_{n}=\dfrac{5n^{2}+3n+1}{n^{2}+n+1}\qquad 4)\ u_{n}=\dfrac{-2n^{2}+3n+1}{3n^{2}-n+7}$

$5)\ u_{n}=\dfrac{2n+1}{3n^{2}+2n+1}\qquad 6)\ u_{n}=\dfrac{5n^{2}+3}{2n+1}$

$7)\ u_{n}=\dfrac{4n+(-1)^{n}}{3n+2}\qquad 8)\ u_{n}=\dfrac{2n^{2}+(-1)^{n}\cdot n+1}{n^{3}+1}$

$9)\ u_{n}=2n+1-\sqrt{n^{2}+n+1}\qquad 10)\ u_{n}=n+3-\sqrt{n^{2}-n+1}$

$11)\ u_{n}=\sqrt{2n^{2}+n+1}-\sqrt{2n^{2}+5}\qquad 12)\ u_{n}=\dfrac{1}{\sqrt{n^{2}-n+1}-\sqrt{n^{2}+n+1}}$

$13)\ u_{n}=\dfrac{\sqrt{n^{2}+n}-\sqrt{n^{2}+1}}{\sqrt{n+1}}\qquad 14)\ u_{n}=\dfrac{n+1}{\sqrt{n+2}}-\dfrac{n+1}{\sqrt{n+2}}$

$15)\ u_{n}=\dfrac{n-\sqrt{n^{2}+1}}{\sqrt{n^{2}+n+3}}\qquad 16)\ u_{n}=\dfrac{10^{n}-1}{10^{n}+3}$

$17)\ u_{n}=\dfrac{5^{n}+3^{n+1}}{5^{n}+2}\qquad 18)\ u_{n}=\ln\dfrac{n^{2}+5n+1}{2n+1}$

$19)\ u_{n}=\dfrac{\ln 4n}{\ln 3n}\qquad 20)\ u_{n}=\dfrac{\ln n^{2}}{\left(\ln n\right)^{2}}$

$21)\ u_{n}=\dfrac{\mathrm{e}^{n+1}}{n}\qquad 22)\ u_{n}=\dfrac{\mathrm{e}^{n}}{n^{2}+2n+3}$

$23)\ u_{n}=n\left(\mathrm{e}^{\dfrac{1}{n}-1}\right)\qquad 24)\ u_{n}=n\ln\left(1+\dfrac{1}{n}\right)$

$25)\ u_{n}=\sqrt{n}\ln\left(\dfrac{\mathrm{e}^{2}}{\sqrt{n}}\right)\qquad 26)\ u_{n}=n^{2}\mathrm{e}^{-2n+1}$

$27)\ u_{n}=\dfrac{3n+\sin n}{2n+\cos n}\qquad 28)\ u_{n}=\dfrac{1-\cos\dfrac{1}{n}}{n\sin\dfrac{1}{n}}$

$29)\ u_{n}=\dfrac{3^{n}+n^{2}}{2^{n}+5}\qquad 30)\ u_{n}\dfrac{2^{n}+n+1}{4^{n}+5}\qquad 31)\ u_{n}=\dfrac{3^{n}+n^{10}}{2^{2n}+n^{10}}$
 

Exercice 29

On considère la suite $(u_{n})$ définie sur $\mathbb{N}\text{ par }u_{n}=\sqrt{n+5}-\sqrt{n+3}.$

1) Calculer les 5 premiers termes de cette suite.

2) Montrer que pour tout $n$, on peut écrire :
 
$u_{n}=\dfrac{2}{\sqrt{n+5}+\sqrt{n+3}}.$

3) En déduire que l'on peut majorer $u_{n}$ par une suite $(v_{n})$ de la forme $v_{n}=\dfrac{k}{\sqrt{n}}.$

4) Déterminer la limite de $(u_{n})$ quand $n$ tend vers $+\infty.$

Exercice 30

Soit la suite $(u_{n})$ définie sur $\mathbb{N}$ par :
 
$u_{n}=an^{2}-4n-1.$

1) Déterminer $a$ pour que $(u_{n}$) soit strictement croissante sur $\mathbb{N}.$

2) Déterminer $a$ pour que $(u_{n})$ soit strictement croissante à partir de $n_{0}=2.$

3) Déterminer $a$ pour que $(u_{n})$ soit strictement décroissante sur $\mathbb{N}.$

4) Établir dans chacun des cas le comportement de $(u_{n})$ lorsque $n$ tend vers $+\infty.$

Exercice 31

Soit la suite $(u_{n})$ définie sur $\mathbb{N}^{\ast}\text{ par : }u_{n}=n\cos\dfrac{1}{n}.$

1) Calculer , $u_{0}\;,\ u_{1}\;,\ u_{2}\;,\ u_{3}\;,\ u_{4}.$

2) Soit $n$ un entier multiple de 8. Simplifier l'écriture de $u_{n}$, puis calculer $u_{n+1}\;,\ u_{n+2}\;,\ u_{n+3}\;,\ u_{n+4}\;,\ u_{n+5}\;,\ u_{n+6}\;,\ u_{n+7}\;,\ u_{n+8}.$ $(u_{n})$ est-elle monotone ?

3) Montrer que $(u_{n})\text{ tend vers }+\infty$ quand $n$ tend vers $+\infty.$

Exercice 32

On donne la suite ($u_{n}\in\mathbb{N}^{\ast}$ définie par : $\forall n\in\mathbb{N}^{\ast}\ :\ u_{n}= \dfrac{\sin n}{n}.$

Montrer que $\forall n\in\mathbb{N}^{\ast}\;,\ 0\leq|u_{n}|\leq\dfrac{1}{n}.$

En déduire que la suite $(u_{n})$ converge et donner sa limite.

Somme des termes d'une suite

Exercice 33

1) Soit la suite ($u_{n})$ définie sur $\mathbb{N}^{\ast}\text{ par }u_{n}=\dfrac{1}{n(n+1)}.$

a) Calculer $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_{n}.$

b) Déterminer deux nombres réels $a\text{ et }b$ tels que :
 
$u_{n}=\dfrac{a}{n}+\dfrac{b}{n+1}.$

c) En déduire une expression simple de $S_{n}=u_{1}+u_{2}+\cdots+u_{n}.$
 
(On pourra commencer par calculer les sommes $S_{2}=u_{1}+u_{2}\;,\ S_{3}=u_{1}+u_{2}+u_{3}\text{ et }S_{4}=u_{1}+u_{2}+u_{3}+u_{4}).$

d) Calculer $\lim_{n\rightarrow +\infty}S_{n}.$

2) Soit ($v_{n}n\in\mathbb{N}^{\ast}$ la suite définie par, $\forall n\in\mathbb{N}^{\ast}\ :\ v_{n}=\dfrac{1}{1^{2}}+\dfrac{1}{2^{2}}+\cdots+\dfrac{1}{n^{2}}.$

a) Montrer que la suite $(v_{n})$ est croissante.

b) Comparer $v_{n}\text{ et }u_{n}.$

c) En déduire que la suite $(v_{n})$ est convergente.
 
(On ne cherchera pas sa limite qui est $\dfrac{\pi^{2}}{6}).$

Exercice 34

Soit la suite $(u_{n})$ définie sur $\mathbb{N}^{\ast}\text{ par : }u_{n}=\ln\left(\dfrac{n}{n+1}\right).$

1) Calculer $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_{n}.$
 
2) Démontrer que la suite $(u_{n})$ est strictement croissante

3) Soit $S_{n}=u_{1}+u_{2}+\cdots+u_{n}.$
 
Démontrer que $S_{n}=-\ln(n+1).$

4) En déduire $\lim_{n\rightarrow +\infty}S_{n}.$

Utilisation de suites auxiliaires

Exercice 35

Soit la suite $(u_{n})$ définie sur $\mathbb{N}\text{ par : }u_{0}=2\text{ et }u_{n+1}=3u_{n}+2.$

On considère la suite $(s_{n})$ définie sur $\mathbb{N}\text{ par : }s_{n}=u_{n}+1.$

1) Démontrer que $(s_{n})$ est tune suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.

2) Exprimer $s_{n}$, puis $u_{n}$ en fonction de $n.$

3) Calculer $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_{n}.$
 

Exercice 36

Une suite $(U_{n})$ est définie par son premier terme $U_{1}=\dfrac{2}{7}$ et par la relation :
 
$U_{n+1}=\dfrac{U_{n}}{3-U_{n}}$
 
(on admettra que quel que soit $n\in\mathbb{N}^{\ast}\;,\ U_{n}\neq 0\text{ et }U_{n}\neq 3).$

1) Calculer $U_{2}\text{ et }U_{3}.$

2) Soit $(V_{n})$ la suite définie par :
 
$V_{n}=\dfrac{1}{U_{n}}.$
 
Calculer $V_{1}.$

Montrer que pour tout $n\in\mathbb{N}^{+}\;,\ V_{n+1}=3V_{n}-\dfrac{1}{2}.$

3) Soit $(W_{n})$ la suite définie par :
 
$W_{n}=V_{n}-\dfrac{1}{2}.$

Déterminer $W_{n+1}\text{ en fonction de }W_{n}$ et calculer le premier terme $W_{n}.$
 
Quelle est la nature de la suite $(W_{n})$ ?
 
Calculer le terme $W_{n}$ en fonction de $n.$

4) En déduire l'expression générale de $U_{n}$ en fonction de $n.$

Exercice 37

Soit la suite $(u_{n})$ définie sur $\mathbb{R}^{\ast}\text{ par : }u_{n+1}=a u_{n}+b.$

1) Soit $a=1\text{ et }b=0.$

a) Quelle est dans ce cas la nature de la suite $(u_{n})$ ?

b) Exprimer alors $u_{n}$ en fonction de $n$ et calculer $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_{n}.$

2) Soit $a\neq 1\text{ et }b=0.$

a) Quelle est dans ce cas la nature de la suite $(u_{n})$ ?

b) Exprimer alors $u_{n}$ en fonction de $n.$

3) Soit $a\neq 1\text{ et }b\neq 0.$

a) Si on pose $v_{n}=u_{n}+\alpha$, démontrer qu'il existe une valeur de $\alpha$ pour laquelle la suite  $(v_{n})$ est géométrique de raison $a.$

b) En déduire l'expression de $v_{n}$ puis de $u_{n}$ en fonction de $n.$

c) Déterminer la limite de $(v_{n})$ puis celle de $(u_{n})$ dans le cas où $|a|<a.$

4) Appliquer la méthode de la question 3) au calcul de la limite des suites $(u_{n})$ définies sur $\mathbb{N}$ ci-après.

$a)\ u_{0}=1\text{ et }u_{n+1}=2u_{n}-\dfrac{3}{2}$

$b)\ u_{0}=0\text{ et }u_{n+1}=-\dfrac{u_{n}}{2}+1$

$c)\ u_{0}=-1\text{ et }u_{n+1}=\dfrac{1}{3}u_{n}+2$

Exercice 38

Soit la suite $(u_{n})$ définie sur $\mathbb{N}^{\ast}\text{ par : }u_{1}=3\text{ et }u_{n+1}=u_{n}-n.$

On considère la suite $(u_{n})$ définie sur $\mathbb{N}^{\ast}\text{ par : }v_{n}=u_{n+1}-u_{n}.\quad$(1)

1) Exprimer en fonction de $n.$

2) En déduire $S_{n}=v_{1}+v_{2}+\cdots+v_{n}.$

3) Utiliser la relation (1) pour trouver une autre expression de $S_{n}.$

En déduire en fonction de $n.$

4) Calculer $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_{n}.$

Exercice 39

Soit la suite $(u_{n})$ définie sur $\mathbb{N}^{\ast}\text{ par : }u_{0}=0\text{ et }u_{n+1}=u_{n}+\dfrac{1}{2^{n}}.$

On considère la suite $(v_{n})$ définie sur $\mathbb{N}^{\ast}\text{ par : }v_{n}=u_{n+1}-u_{n}.\quad$(1)

1) Démontrer que $(v_{n})$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.

2) En déduire $S_{n}=v_{1}+v_{2}+\cdots+v_{n}.$

3) Utiliser la relation (1) pour trouver une autre expression de $S_{n}.$

En déduire en fonction de $n.$

4) Calculer $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_{n}.$

Exercice 40

1) Soit $n$ un entier naturel. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation d'inconnue $x$ :
 
$\ln(7^{n}x)=2n.$

2) On considère la suite $(v_{n})$ définie par :
 
$\ln(7^{n}v_{n})=2n.$

a) Calculer $v_{0}\text{ et }v_{1}.$

b) Démontrer que la suite $(v_{n})$ est géométrique et déterminer sa raison.

3) La suite $(v_{n})$ admet-elle une limite ?

4) Déterminer un entier $n_{0}$ tel que, pour tout $n>n_{0}\;,\ v_{n}>100.$

Exercice 41

Soit la suite $(u_{n})$ définie sur $\mathbb{N}$ par :
$$\{\begin{array}{lcl}{u}_0=1& \text{et}& u_1=7\\ \\ u_{n+2}& =& {\displaystyle \frac{1}{2}}(u_{n+1}+u_n)\end{array}$$
 
1) Démontrer que la suite $(v_{n})$ définie sur $\mathbb{N}^{\ast}\text{ par : }v_{n}=u_{n}-u_{n-1}$ est géométrique convergente

2) Calculer $S_{n}=v_{1}+v_{2}+\cdots+v_{n}.$

En déduire $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_{n}.$

Exercice 42   

1) On considère la suite $(u_{n})$ définie sur $\mathbb{N}\text{ par : }u_{0}=\mathrm{e}^{3}\text{ et }u_{n+1}=\sqrt[\mathrm{e}]{u_{n}}.$

2) Calculer $u_{1}\;,\ u_{2}\;,\ u_{3}\text{ et }u_{4}.$

On pose $v_{n}=\ln u_{n}-2.$

a) Démontrer que la suite $(v_{n})$ est géométrique.
 
Préciser sa raison et calculer $v_{0}.$

b) En déduire $v_{n}$, puis $u_{n}$ en fonction de $n.$

Calculer la limite des suites $(v_{n})\text{ et }(u_{n}).$

Exercice 43

Soit la suite à termes positifs $(u_{n})$ définie sur $\mathbb{N}^{\ast}\text{ par }u_{1}=1\text{ et }(u_{n+1})^{2}=4u_{n}.$

1) Calculer $u_{2}\;,\ u_{3}\;,\ u_{4}\text{ et }u_{5}$ (donner les résultats sous la forme $2^{n}$).

2) On considère la suite $(v_{n})$ définie sur $\mathbb{N}^{\ast}\text{ par : }v_{n}=\ln u_{n}-\ln 4.$

3) a) Calculer $v_{1}.$

b) Exprimer $v_{n}$, puis $u_{n}$ en fonction de $n.$

c) Calculer $u_{n}.$

4) Pour quelles valeurs de $n$ a-t-on $u_{n}>3.96$ ?

Exercice 44

Soit la suite $(u_{n})$ définie sur $\mathbb{N}^{\ast}$ par :
$$\{\begin{array}{lcl}{u}_1& =& -1\\ \\ u_{n+1}& =& {\displaystyle \frac{n}{2(n+1)}}{u}_n+{\displaystyle \frac{3(n+2)}{2(n+1}}\end{array}$$
 
1) Démontrer, en raisonnant par récurrence, que la suite $(u_{n})$ est majorée par 3.

2) Étudier le sens de variation de la suite $(u_{n})$

3) On considère la suite $(v_{n})$ définie sur $\mathbb{N}^{\ast}\text{ par : }v_{n}=n(3-u_{n}).$

a) Démontrer que cette suite est géométrique.
 
Préciser sa raison et calculer $v_{1}.$

b) Exprimer $v_{n}\text{ puis }u_{n}\text{ en fonction de }n.$

c) Calculer $\lim_{n\rightarrow +\infty}v_{n}\text{ puis }\lim_{n\rightarrow +\infty}u_{n}.$

Exercice 45

1) Soit $(u_{n})$ la suite définie par $u_{0}$ fixé et pour tout $n\in\mathbb{N}\;,\ u_{n+1}=1.05 u_{n}+1000.$

Soit $(v_{n})$ la suite définie par $v_{n}=u_{n}+20 000.$

a) Démontrer que $(v_{n})$ est une suite géométrique. Préciser la raison.

b) Calculer $v_{n}\text{ en fonction de }v_{0}\text{ et }n.$

En déduire $u_{n}$ en fonction de $u_{0}\text{ et }n.$

c) Soit $S_{n}=u_{0}+u_{1}+\cdots+u_{n}.$
 
Calculer $S_{n}.$

2) Au $1^{\text{er}}$ Janvier 2003, la population d'un ville était de 20 000 habitants.
 
Chaque année, la population augmente de $5\%$ et, de plus, 1000 personnes viennent s'y établir définitivement.

a) Préciser la population au $1^{\text{er}}$ Janvier 2008.

b) L'ensemble des élèves de l'enseignement primaire représente $20\%$ de la population.
 
A raison d'un instituteur pour 40 élèves, préciser le nombre d'instituteurs au $1^{\text{er}}$ Janvier 2008.

c) Chaque élève coûte à l'État 10 000 francs par an.
 
Déterminer la dépense effectuée par l'État du $1^{\text{er}}$ Janvier 2003 au $1^{\text{er}}$ Janvier 2008.

Suites définies par une relation $u_{n+1}=f(u_{n})$

Exercice 46

Soit $(u_{n})$ la suite définie par :
 
$u_{n+1}=\sqrt{6+u_{n}}.$

1) Calculer $u_{1}\;,\ u_{2}\;,\ u_{3}.$

2) Montrer que $(u_{n})$ est croissante et majorée par 3.
 
Que peut-on en conclure ?

3) Montrer que pour tout $n$ entier, $3-u_{n+1}\leq\dfrac{1}{3}(3-u_{n}).$

En déduire la limite $l\text{ de }u_{n}.$

Exercice 47

Une suite $(u_{n})$ est définie sur $\mathbb{N}^{\ast}$ par son premier terme $u_{1}$ et la relation de récurrence
$$u_{n+1}={\displaystyle \frac{u_n+6}{u_n+2}}.$$

1) Démontrer qu'il existe deux valeurs $a\text{ et }b\text{ de }u_{1}(a<b)$ pour lesquelles la suite est constante.

2) On suppose dans toute la suite que $u_{1}>0.$

Démontrer que la suite est strictement positive.

3) a) Démontrer que si $u_{1}\neq b$, alors pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_{n}\neq b.$

Dans ces conditions, Calculer $\dfrac{u_{n+1}-a}{u_{n+1}-b}\text{ en fonction de }\dfrac{u_{n}-a}{u_{n}-b}.$
 
En déduire que la suite $(v_{n})$ définie sur $\mathbb{N}^{\ast}\text{ par }v_{n}=\dfrac{u_{n}-a}{u_{n}-b}$ est géométrique.

c) Calculer $\lim_{n\rightarrow +\infty}|v_{n}|\text{ et en déduire }\lim_{n\rightarrow +\infty}u_{n}.$

Exercice 48

1) Soit la suite $(u_{n})$ définie sur $\mathbb{N}$ par la donnée de $u_{0}$ et la relation :
 
$u_{n+1}=\dfrac{1}{n}.$

a) Déterminer $u_{n}$ dans les cas :
 
$u_{0}=0\;;\ u_{0}=32.$

b) Démontrer que, pour tout entier naturel $n\;,\ u_{n+1}\neq\dfrac{1}{2}.$

1 c) Établir, pour tout entier naturel $n$ l'égalité :
 
$u_{n+1}=\dfrac{1}{2}\left[1-\dfrac{1}{u_{n}-\dfrac{1}{2}}\right].$

2) On définit la suite $(v_{n})\text{ sur }\mathbb{N}^{\ast}$ a :

$v_{n}=u_{n}-\dfrac{1}{2}.$

a) Démontrer que pour tout entier naturel $n\;,\ v_{n+1}=-\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{v_{n}}.$

b) Si $u_{0}=-\dfrac{1}{2}\;,\text{ calculer }v_{0}$ et donner l'expression de $v_{n}$ puis celle de $u_{n}$ en fonction de $n.$

Vérifier que dans ce cas, les suites $(v_{n})\text{ et }(u_{n})$ sont périodiques.

Exercice 49

Soit $f$ l'application de $\mathbb{R}\text{ vers }\mathbb{R}$ telle que $f(x)=\pi+2\dfrac{1}{2}\sin x.$

1) Montrer que pour tout couple $(a\;,\ b)$ de nombres réels :
$$|f(a)-f(b)|\le {\displaystyle \frac{1}{2}}|a-b|\text{ et que }f(\pi )=\pi .$$

2) Soit $(u_{n})$ la suite définie par $u_{0}(u_{0}\in\mathbb{R})\text{ et }u_{n+1}=f(u_{n}).$

Montrer que pour tout entier naturel non nul :
 
$|u_{n}-\pi|\leq\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n}|u_{0}-\pi|.$

En déduire la convergence de $(u_{n}).$

Exercice 50

Soit $(u_{n})$ la suite définie par :

$u_{0}\in\left[0\;,\ \dfrac{1}{2}\right]\text{ et }\forall n\in\mathbb{N}\;,\ u_{n+1}=u_{n}^{2}+\dfrac{u^{n}}{2}.$

1) Montrer que :

$\forall n\in\mathbb{N}\;,\ u_{n}\in\left[0\;,\ \dfrac{1}{2}\right].$

2) Construire la courbe représentative de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R\;+}\text{ par }f(x)=x^{2}+\dfrac{x}{2}$ ainsi que la droite $\Delta$ d'équation $y=x$, dans un repère orthonormé $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j}).$

Représenter sur l'axe $Ox$ les premiers termes de la suite $(u_{n})$ dans le cas où $u_{0}=\dfrac{1}{2}.$

3) Étudier les variations de $(u_{n}).$

Étudier la convergence de la suite $(u_{n}).$

Exercice 51

Soit la suite définie par :
 
$u_{0}=1\text{ et }\forall n\in\mathbb{N}\;,\ u_{n+1}=\ln(1+u_{n}).$

1) Montrer que $u_{n}$ existe pour tout $n$ et que tous les termes sont positifs.

2) Étudier et représenter graphiquement dans un repère orthonormé $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$ la fonction $f$ définie par $f(x)=\ln(1+x).$

Tracer dans ce même repère la droite $\Delta$ d'équation $y=x.$

Déterminer les points d'intersection de la courbe représentative de $f\text{ et de }\Delta.$

3) Représenter sur l'axe $Ox$ les premiers termes de la suite.

Étudier les variations de $(u_{n}\,n\in\mathbb{N}.$

4) Étudier la convergence de la suite $(u_{n})\,n\in\mathbb{N}$ et déterminer sa limite si elle existe.

Suites vérifiant $U_{n+2}=a U_{n+1}+b U_{n}$

Exercice 52

Soit $S$ l'ensemble des suite $(u_{n})n\in\mathbb{N}$ possédant la propriété suivante : pour tout entier naturel $n$,
$$u_{n+2}={\displaystyle \frac{3}{35}}{u}_{n+1}+{\displaystyle \frac{2}{35}}{u}_n.$$

1) Existe-t-il dans $S$ des suites constantes (à l'exception de la suite nulle) ?

2) Existe-t-il dans $S$ des suites arithmétiques (à l'exception de la suite nulle) ?

3) Existe-t-il dans $S$ des suites géométriques, de premier terme non nul, de raison non nulle ?

4) Montrer que les suites $(u_{n})n\in\mathbb{N}$ de terme général :
$$u_n=\alpha \cdot {\left({\displaystyle \frac{2}{7}}\right)}^n+\beta \cdot {(-{\displaystyle \frac{1}{5}})}^n$$,

où $\alpha\text{ et }\beta$ représentent deux réels donnés, appartiennent à $S.$

5) Déterminer la suite de terme général :
$$u_n=\alpha \cdot {\left({\displaystyle \frac{2}{7}}\right)}^n+\beta \cdot {(-{\displaystyle \frac{1}{5}})}^n$$

sachant que $u_{0}=3\text{ et }u_{1}=-\dfrac{4}{35}.$

Exercice 53

Soit la suite $(u_{n})$ définie sur $\mathbb{N}\;,\text{ par : }$
$$\{\begin{array}{lcl}{u}_0=0& ;& u_1=1\\ u_{n+2}& =& a{u}_{n+1}+(1-a)u_n\end{array}\text{ avec }0<\alpha <1.$$

1) Démontrer que pour tout entier naturel $n\;,\ u_{n+2}$ est compris entre $u_{n}\text{ et }u_{n+1}.$

2) Soit la suite $(v_{n})$ définie sur $\mathbb{N}^{\ast}\text{ par }v_{n}=u_{n}-u_{n+1}.$

Démontrer que cette suite est géométrique convergente.

3) Calculer $S_{n}=v_{1}+\cdots+v_{n}.$

En déduire $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_{n}.$

Exercice 54

On considère la suite $(u_{n})\text{ définie sur }\mathbb{N}\text{ par : }$
$$\{\begin{array}{lcl}{u}_0=0& ;& u_1=1\\ u_{n+2}& =& 7u_{n+1}+8u_n\end{array}$$
 
1) a) Démontrer que la suite $(s_{n})$ définie sur $\mathbb{N}\text{ par : }s_{n}= u_{n+1}+u_{n}$ est géométrique.

b) En déduire $s_{n}$ en fonction de $n.$

2) On pose $v_{n}=(-1)^{n}u_{n}\text{ et }t_{n}=v_{n+1}-v_{n}.$
 
Exprimer $t_{n}$ en fonction de $s_{n}.$

3) a) Exprimer $v_{n}$, puis $u_{n}$ en fonction de $n$ (on pourra calculer de deux manières différentes la somme $t_{0}+t_{1}+\cdots+t_{n-1}).$

b) Déterminer $\lim_{n\rightarrow +\infty}\dfrac{u_{n}}{8^{n}}.$

Exercice 55 Suites de Fibonacci

On considère la suite de Fibonacci $(F_{n})\,n\in\mathbb{N}$ définie par :
$$\{\begin{array}{lcl}{F}_0=0& \text{et}& F_1=1\\ \mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}^{\ast },F_{n+1}& =& F_n+F_{n-1}\end{array}$$
 
A) 1) Calculer les 10 premiers termes de cette suite.

2) Montrer que :
 
$\forall n\in\mathbb{N}^{\ast}\;,\ F_{n+1}F_{n-1}-F_{n}^{2}=(-1)^{n}.$

3) Montrer que $(F_{n})$ est strictement croissante pour $n\geq 2\text{ et que : }\forall n\in\mathbb{N}^{\ast}F_{n}\geq n-1.$

En déduire que $(F_{n})$ est divergente.

4) Démontrer qu'il existe deux suites de Fibonacci de terme initial 1 qui sont géométriques.

B) Soit $(u_{n})n\in\mathbb{N}^{\ast}$ la suite de terme général $u_{n}=\dfrac{F_{n+1}}{F_{n}}.$

1) Calculer les 10 premiers termes de cette suite.

Qu'en déduit-on intuitivement sur sa convergence ?

2) Montrer que :
$$\{\begin{array}{lcl}{u}_1& =& 1\\ \\ u_{n+1}& =& 1+{\displaystyle \frac{1}{u_n}}\end{array}$$

3) Tracer la courbe $\mathcal{C}$ définie sur $\mathbb{R}^{+}\text{ par }f(x)=1+\dfrac{1}{x}.$

Construire les points $M_{n}(n\in\mathbb{N}^{\ast})\text{ de }\mathcal{C}$ d'abscisses $u_{n}$ ;
 
qu'en déduit-on intuitivement sur la convergence de $(u_{n})$ ?

4) Soit $l$ la solution positive de l'équation :
 
$x=x+\dfrac{1}{x}.$
 
Calculer $l.$

a) Montrer que par récurrence que :

$\forall n\in\mathbb{N}\;,\ F_{n+1}-\mathbb{F}_{n}=\dfrac{(-1)^{n}}{1^{n}}.$

En déduire que :
 
$u_{n}-l=\dfrac{(-1)^{n}}{F_{n} \;l^{n}}.$

b) Déduire que $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_{n}=l.$

Vérifier que la limite obtenue correspond au résultat trouvé intuitivement au B) 1) et 3).