Devoir n°11 - Ts2

1) Parmi les propositions suivantes, lesquelles sont correctes ?

 

a) SI $\mathrm{j}=-\dfrac{1}{2}+\mathrm{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}$, alors $\mathrm{j}^{2002}+\mathrm{j}^{2003}+\mathrm{j}^{2004}=1$

 

b) Si un argument du nombre complexe non nul $z\text{ est }\theta$ ,alors un argument de $-\dfrac{2}{z}$ est $-2\theta$

 

c) Si $|z|=|z-1|$, alors $\Re e(z)=\dfrac{1}{2}$

 

2)  Soit le nombre complexe $z=-\sin\theta+2\mathrm{i}\cos^{2}\dfrac{\theta}{2}$ où $\theta\,\in\,]-\pi\;,\ \pi[$

 

Parmi les propositions suivantes lesquelles sont exactes ?

 

A : $|z| = -2\cos\dfrac{\theta}{2}$;

 

B : $|z|=2\cos\dfrac{\theta}{2}$;

 

C : $|z|=1$;

 

D : $arg(z)=\dfrac{\theta}{2}+\dfrac{\pi}{2}$;

 

E : $arg(z)=\dfrac{\theta}{2}-\dfrac{\pi}{2}$;

 

3) Si $z_{1}\text{ et }z_{2} $ sont les racines de l'équation $Z^{2}=8+6\mathrm{i}$ et $z_{3}$ et $z_{4}$ sont les racines de l'équation $Z^{2}=3-4\mathrm{i}$, alors $z_{1}z_{2}-z_{3}z_{4}$ vaut :

 

A : $24\mathrm{i}$

 

B : $11+2\mathrm{i}$

 

C : $-5+10\mathrm{i} $

 

D : $5+10\mathrm{i}$

 

E : $-5-10\mathrm{i}.$

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé $(O\;,\ \vec{u}\;,\ \vec{v}).$

 

On considère l'application $f\ :\ \mathcal{C}\setminus\{1-\mathrm{i}\}\longrightarrow\mathcal{C}$ telle que $f(z)=\dfrac{\mathrm{i}z-1}{z-1+\mathrm{i}}.$

 

$A$ et $B$ sont les points d'affixes respectives $-\mathrm{i}$ et $1-\mathrm{i}.$

 

a) Soit $z=x+\mathrm{i}y.$ Exprimer $\Re e[f(z)]$ et $\Im m[f(z)]$ en fonction de $x$ et $y.$

 

b) Déterminer l'ensemble des points $M$ du plan d'affixe $z$ tels que :

 

$f(z)$ soit réel

 

$f(z)$ soit imaginaire pur.

 

4)Interpréter géométriquement les modules de $ \mathrm{i}z-1$ et $z-1+\mathrm{i}$; en déduire l'ensemble des points $M$ du plan d'affixe $z$ tels que $|f(z)|=2.$

Soit $g$ la fonction définie par : $$\left\lbrace\begin{array}{rclll} g(x)&=&x+3-\dfrac{2}{\sqrt{|1-x|}}&\text{si}&x<0 \\  \\ g(x)&=&\sqrt{|1-x^{2}|}&\text{si}&x\geq 0 \end{array}\right.$$   

 

On désigne par $\mathcal{C}_{g}$ la courbe représentative de $g$ dans un repère orthonormal $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j}).$

 

1) Écrire $g(x)$ sans le symbole de la valeur absolue.

 

2) a) Étudier la continuité de $g$ en 0.

 

b) Étudier la dérivabilité de $g$ en 0 et 1.

 

Donner une interprétation géométrique de chaque résultat.

 

3) a) Montrer que la courbe $\mathcal{C}_{g}$ admet au voisinage de $-\infty$ une asymptote $\Delta$ dont on précisera l'équation.

 

b) Étudier la nature de branche infinie de $\mathcal{C}_{g}$ en $+\infty.$

 

c) Étudier la position de $\mathcal{C}_{g}$ par rapport à $\Delta$ (on admettra que $\mathcal{C}_{g}$ est en-dessous de son asymptote en $+\infty).$

 

4) a) Calculer $g'(x)$ sur les intervalles où $g$ est dérivable.

 

b) Étudier le signe de $g'(x)$ sur $]-\infty\;;\ 0]$, sur $[0\;;\ 1]$ et sur $[1\;;\ +\infty[.$

 

c) En déduire les variations de $g$ sur chacun de ces intervalles, puis dresser le tableau de variation de $g.$

 

5) a) Montrer que l'équation $g(x)=0$ admet une solution unique $\alpha$ sur  $]-\infty\;;\ 0[$ et que $\alpha\,\in\;\left]-2\;;\ -\dfrac{3}{2}\right[.$

 

b) Donner un encadrement de $\alpha$ à $10^{-1}$ près.

 

6) Résoudre sur $[0\;;\ 1]$ l'équation $g(x)=x$, puis interpréter graphiquement le résultat.

 

7) Soit $f$ la restriction de $g$ à l'intervalle $I=]-\infty\;;\ 0].$

 

a) Montrer que $f$ admet une bijection réciproque $f^{-1}$ définie sur un intervalle $J$ à préciser.

 

b) Calculer $f(-3)$; en déduire l'équation de la tangente à la courbe de $\mathcal{C}_{f}^{-1}$ au point d'abscisse $-1.$

 

c) Déterminer la primitive $H$ de la fonction $h$ définie sur $]-\infty\;;\ 0[$ par :

 

$h(x)=(x+3)-f(x)$, puis exprimer en fonction de $\alpha$ le nombre réel positif $A(\alpha)=H(0)-H(\alpha).$

 

8) Tracer $\mathcal{C}_{g}$ et $\mathcal{C}_{f}^{-1}$ (Unité : $2\;cm).$