Devoir n°11 - Ts2
Classe:
Terminale
Exercice 1 (5 points)
1) Parmi les propositions suivantes, lesquelles sont correctes ?
a) SI j=−12+i√32, alors j2002+j2003+j2004=1
b) Si un argument du nombre complexe non nul z est θ ,alors un argument de −2z est −2θ
c) Si |z|=|z−1|, alors ℜe(z)=12
2) Soit le nombre complexe z=−sinθ+2icos2θ2 où θ∈]−π, π[
Parmi les propositions suivantes lesquelles sont exactes ?
A : |z|=−2cosθ2;
B : |z|=2cosθ2;
C : |z|=1;
D : arg(z)=θ2+π2;
E : arg(z)=θ2−π2;
3) Si z1 et z2 sont les racines de l'équation Z2=8+6i et z3 et z4 sont les racines de l'équation Z2=3−4i, alors z1z2−z3z4 vaut :
A : 24i
B : 11+2i
C : −5+10i
D : 5+10i
E : −5−10i.
Exercice 2 (4 points)
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé (O, →u, →v).
On considère l'application f : C∖{1−i}⟶C telle que f(z)=iz−1z−1+i.
A et B sont les points d'affixes respectives −i et 1−i.
a) Soit z=x+iy. Exprimer ℜe[f(z)] et ℑm[f(z)] en fonction de x et y.
b) Déterminer l'ensemble des points M du plan d'affixe z tels que :
f(z) soit réel
f(z) soit imaginaire pur.
4)Interpréter géométriquement les modules de iz−1 et z−1+i; en déduire l'ensemble des points M du plan d'affixe z tels que |f(z)|=2.
Problème (11 ponts)
Soit g la fonction définie par : {g(x)=x+3−2√|1−x|six<0g(x)=√|1−x2|six≥0
On désigne par Cg la courbe représentative de g dans un repère orthonormal (O, →i, →j).
1) Écrire g(x) sans le symbole de la valeur absolue.
2) a) Étudier la continuité de g en 0.
b) Étudier la dérivabilité de g en 0 et 1.
Donner une interprétation géométrique de chaque résultat.
3) a) Montrer que la courbe Cg admet au voisinage de −∞ une asymptote Δ dont on précisera l'équation.
b) Étudier la nature de branche infinie de Cg en +∞.
c) Étudier la position de Cg par rapport à Δ (on admettra que Cg est en-dessous de son asymptote en +∞).
4) a) Calculer g′(x) sur les intervalles où g est dérivable.
b) Étudier le signe de g′(x) sur ]−∞; 0], sur [0; 1] et sur [1; +∞[.
c) En déduire les variations de g sur chacun de ces intervalles, puis dresser le tableau de variation de g.
5) a) Montrer que l'équation g(x)=0 admet une solution unique α sur ]−∞; 0[ et que α∈]−2; −32[.
b) Donner un encadrement de α à 10−1 près.
6) Résoudre sur [0; 1] l'équation g(x)=x, puis interpréter graphiquement le résultat.
7) Soit f la restriction de g à l'intervalle I=]−∞; 0].
a) Montrer que f admet une bijection réciproque f−1 définie sur un intervalle J à préciser.
b) Calculer f(−3); en déduire l'équation de la tangente à la courbe de C−1f au point d'abscisse −1.
c) Déterminer la primitive H de la fonction h définie sur ]−∞; 0[ par :
h(x)=(x+3)−f(x), puis exprimer en fonction de α le nombre réel positif A(α)=H(0)−H(α).
8) Tracer Cg et C−1f (Unité : 2cm).
Commentaires
Anonyme (non vérifié)
ven, 12/25/2020 - 18:09
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Beau travail
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