Série d'exercices : Statistiques -Ts
Classe:
Terminale
Exercice 1
Déterminer la droite de régression de y en x avec les données suivantes :
x0.71.31.82.42.93.5y45.16.38.69.411.6
On donne :
∑x=12.6; ∑y=45; ∑x2=31.84&;; ∑xy=109.27.
Exercice 2
Déterminer la droite de régression de y en x avec les données suivantes :
x3960301902931274451212534y2831342−1435−6780742417
Réponse : y=1.383x−19.843.
Exercice 3
Le tableau suivant donne le poids y en kg d'un nourrisson, x jours après sa naissance.
xi571014182226yi3.613.703.853.904.054.12
1) Représenter le nuage de points associé à cette série.
2) Calculer le coefficient de corrélation linéaire des caractères x et y.
3) Déterminer une équation de la droite de régression de y en x et représenter cette droite sur le graphique.
4) Donner une estimation du poids du nourrisson 30 jours après sa naissance.
Exercice 4
On considère la série statistique double ci-après :
x35403565658590ky345108131415
1) Déterminer l'entier naturel k sachant que la droite de régression de y par rapport à x passe par le point moyen G d'abscisse 65.
2) Calculer le coefficient de corrélation linéaire des caractères x et y.
3) Déterminer une équation de la droite de régression de x par rapport à y.
Exercice 5
Le tableau suivant donne la tension artérielle T en fonction de l'âge A d'une population.
A364248546066T11.81412.61515.515.1
1) Représenter le nuage de points associé à cette série.
2) Déterminer une équation de la droite de régression de T en A et une équation de la droite de régression de A en T.
Tracer ces deux droites.
3) Calculer le coefficient de corrélation linéaire.
La corrélation est-elle forte ?
4) Estimer la tension artérielle d'un individu âgé de 70 ans.
Exercice 6
Une société investit de manière continue en publicité.
Le budget publicitaire (BP) et le chiffre d'affaires (CA) sont connus pour quatre mois consécutifs.
Ils figurent dans le tableau suivant où l'unité est le millier de francs CFA.
Mois : i1234BP : xi10121513CA : yi457999115
1) Calculer la covariance de la série double (xi, yi).
2) Calculer les variances de x et y. En déduire le coefficient de corrélation linéaire et apprécier-le.
Exercice 7
On considère le tableau suivant représentant le coût (en millier de francs CFA) de la fabrication d'un produit en fonction du tonnage :
Tonnagexi12345678Coût de fabricationyi400575715848996115012901450
1) Construire le nuage de points de cette série.
Placer le point moyen du nuage.
2) Utiliser la méthode de MAYER pour trouver la droite d'ajustement linéaire de cette série.
3) Donner une estimation du coût si le tonnage atteignait la valeur 10.
Exercice 8
Les droites de régression d'une série double (xi, yi) sont :
Droite de régression de x en y : (D1) : x=1.25y−7.8
Droite de régression de y en x : (D2) : y=0.75x+1.3
Calculer les coordonnées du point moyen du nuage de points ainsi que le coefficient de corrélation linéaire.
Exercice 9
1, 2, 3, 4 et 5 représentent les cinq caractères d'une variable x d'une série double (xi, yi).
Sachant que le le coefficient de corrélation linéaire est r=0.8 et que la droite de régression de y en x par la méthode des moindres carrés a pour coefficient directeur a=0.425, Calculer la covariance cov(x, y) et la variance de y.
Exercice 10
On considère le tableau statistique suivant :
xix16070x490100yi988654
Sachant que ¯x=75 et quecov(x, y)=20,
1) Trouver x1 et x4.
2) Déterminer le coefficient de corrélation linéaire et apprécier-le.
3) Établir une équation de la droite de régression de x en y.
4) Quelle serait la valeur de y pour x=50 ?
Exercice 11
Le classement d'un certain nombre d'individus selon leur âge A et leur taille T a donné le tableau à double entrée suivant :
T∖A40≤A<4545≤A<5050≤A<5555≤A<60150≤T<15520910155≤T<16021841160≤T<16505126165≤T<17001714
On demande :
1) de représenter graphiquement cette série par un nuage de points.
2) de calculer le coefficient de corrélation.
3) de calculer par la méthode des moindres carrés l'équation de chacune des deux droites de régression.
4) de construire les droites de régression sur le graphique précédent.
Exercice 12
Le tableau suivant donne la répartition d'un échantillon de 100 candidats bacheliers suivant leurs notes d'histoire (H) et de sciences économiques et sociales (S.E.S)
On ne dispose pas d'observation individuelle.
Les notes ont été regroupées par classe.
S(y)∖H(x)[0; 4[[4; 8[[8; 12[[12; 14[[14; 18[[0; 4[21000[4; 8[215500[8; 12[0440100[12; 14[00565[14; 18[00041
On note xi les centres de classe des notes d'histoire et yi les centres de classe des notes de S.E.S.
1) Calculer la moyenne ¯x des notes d'histoire et la moyenne ¯y des notes de S.E.S.
2) Pour chaque classe de centre xi , calculer la moyenne ¯yi des notes de S.E.S.
Dans un repère bien choisi, représenter la série (xi, ¯yi).
Donne une équation de la droite de régression de ¯y en x, par la méthode des moindres carrés, sous la forme ¯y=ax+b. La tracer.
3) Pour chaque classe de centre yi , calculer la moyenne ¯xi des notes d'histoire.
Avec le même repère que ci-dessus, représenter la série (¯xi, yi).
Donner une équation de la droite de régression de x en y, par la méthode des moindres carrés, sous la forme ¯x=a′y+b′. La tracer.
4) Pour mesurer l'intensité de la corrélation linéaire entre les variables x et y, on calcule le coefficient de corrélation linéaire r tel que r2=aa′, r étant positif si a et a′ sont positifs.
Calculer r. La corrélation linéaire semble-t-elle bonne ?
Exercice 13
Le tableau suivant donne l'âge X et la moyenne Y des maxima de tension artérielle d'un groupe de femmes.
X364248546069Y11.81412.61515.515.1
1) Représenter graphiquement le nuage de points dans un plan muni du repère orthogonal (O, I, J) (0.5cm pour 1 an et 3cm pour l'unité de tension artérielle).
2) Calculer la moyenne et la variance des séries statistiques associées aux variables X et Y.
3) a) Trouver une équation de la droite de régression de Y en fonction de X.
b) Trouver une équation de la droite de régression de X en fonction de Y.
c) Représenter ces deux droites sur le même graphique que celui utilisé pour le nuage de points.
4) Calculer le coefficient de corrélation linéaire entre les variables X et Y.
5) Une personne de 70 ans a une tension maximale de 16.2.
Cela vous paraît-il normal ?
Exercice 14 (1998 Remplacement)
Dans un pays A, on a évalué le nombre de personnes travaillant dans l'agriculture en fonction de l'année.
X année195419621968197519821990Y nombre d’actifs agricoles en milliers39843011246016521448982
On note Z le rang de l'année
{1954 a pour rang Z=01990 a pour rang Z=36
1) Construire le nuage de points associé à cette série statistique (Z, Y).
2) Calculer le coefficient de corrélation linéaire r de cette série.
Peut-on envisager une forte corrélation linéaire entre Z et Y ?
3) Déterminer l'équation de la droite de régression de y en z.
Exercice 15 (1999 1er groupe)
L'étude du poids P de la larve d'un insecte mesuré en fonction de l'âge x a conduit au tableau suivant :
X (mois)12345P(mg)713254788
1) On pose y=lnP ou ln désigne le logarithme népérien.
a) Calculer les différentes valeurs prises par y à 10−5 près.
b) Tracer le nuage de points représentant les couples (X, Y) dans un système d'axes orthonormés (unité 2cm) : y placer le barycentre G du nuage.
2) Déterminer une équation de la droite de régression de Y en X.
3) Si l'évolution se poursuit dans les mêmes conditions, quel sera le poids de la larve au bout de six mois ?
Exercice 16 (1999 Remplacement)
Afin de mieux gérer ses stocks, une entreprise décide d'estimer son besoin en matières premières par l'intermédiaire d'une grandeur dont la valeur peut être connue rapidement (chiffre d'affaires ou total des salaires).
On note X la quantité, en tonnes de matières premières ; Y le chiffre d'affaires en milliers de francs. Dans tout l'exercice on pourra donner directement les résultats fournis par la calculatrice. Le relevé des mopis précédents est le suivant :
Numéro du mois123456X0.91.20.60.51.41Y374033334135Z3.93.73.23.33.63.7
1) a) Calculer les coefficients de corrélation linéaire r1 entre X et Y et r2 entre X et Z.
b) Est-ce un ajustement entre Y et X ou entre Z et X qui permettra la meilleure estimation de X ?
2) Déterminer une équation de la droite de régression de Y en X et en déduire une estimation du besoin en matières premières pour Y=39.
Exercice 17 (2001 2ième groupe)
Les relevés de l'intensité (xi) du travail fourni exprimée en kilojoules par minute et la fréquence cardiaque (yi) (nombre de battements par minute) de 8 personnes sont consignés dans le tableau suivant :
xi9.612.818.431.236.847.249.656.8yi708690104120128144154
1) Représentez le nuage de points Mi(xi; yi).
2) Déterminez les moyennes x et y , les variances V(x) et V(y) de x et y.
On précisera les formules utilisées.
3) Déterminez la droite de régression de y en x ;la tracer.
Exercice 18 (2002 1er groupe)
63 candidats se sont présentés au baccalauréat comportant une épreuve de Maths et une épreuve de Sciences Physiques : SP.
Le tableau statistique suivant donne le nombre de candidats ayant obtenu un couple de notes donné.
Note de26101418TotauxMathNote de SP64210078252009101616512912023621314010135Totaux7162212663
On appelle X=(xi) la série statistique des notes de Sciences Physiques et Y=(yi) la série statistique des notes de Mathématiques.
1) Déterminer pour chaque xi la moyenne zi de la série conditionnelle y/zi.
2) On considère la série double (xi, zi).
a) Dans le plan rapporté à un repère orthonormé construire le nuage de points M(xi, zi).
b) Calculer le coefficient de corrélation linéaire entre la série X=(xi) et Z=(Zi).
c) Déterminer une équation de la droite d'ajustement linéaire de Z et X par la méthode des moindres carrés.
d) Tracer cette droite.
Exercice 19 (2004 Remplacement)
Une étude faite sur l'effectif X des familles d'une cité et la quantité Y de sucre en Kilogrammes consommée par mois dans chaque famille, a donné les résultats ci-dessous :
Y∖X[5; 7][8; 10][11; 13][14; 18][10; 15]1300[5; 25]5983[25; 35]0759
1) Calculer la moyenne et l'écart-type des séries marginales X et Y.
2) A chaque centre xi de classe de la série de X on associe la moyenne zi de Y sachant que X=xi.
3) Dans la suite on considère la série (x, z) définie par le tableau suivant :
xi691216zi18.7522.523.8527.5
a) Calculer le coefficient de corrélation linéaire entre x et z.
Un ajustement affine est-il justifié ? (justifier la réponse).
b) Déterminer une équation de la droite de régression de z en x.
c) Estimer la quantité moyenne de sucre consommée par mois pour une famille d'effectif égal à 20.
Exercice 20 (2005 1er groupe)
Une entreprise a mis au point un nouveau produit et cherche à en fixer le prix de vente.
Une enquête est réalisée auprès des clients potentiels ; les résultats sont donnés dans le tableau suivant où yi représente le nombre d'exemplaires du produit que les clients sont disposés à acheter si le prix de vente, exprimé en milliers de francs, est xi.
On appelle x la variable statistique dont les valeurs sont xi et y celle dont les valeurs sont les yi.
1) Calculer le coefficient de corrélation linéaire de y et x.
La valeur trouvée justifie-t-elle la recherche d'un ajustement linéaire ?
2) Déterminer l'équation de la droite de régression de y en x.
3) Les frais de conception du produit se sont élevés à 28 millions de francs.
Le prix de fabrication de chaque produit est de 25 000 francs.
a) Déduire de la question précédente que le bénéfice z en fonction du prix de vente x est donné par l'égalité :
z=−5.95x2+1426.25x−59937.5, où x et z sont exprimés en milliers de francs.
b) Déterminer le prix de vente x permettant de réaliser un bénéfice maximum et calculer ce bénéfice.
N.B
Prendre 2 chiffres après la virgule sans arrondir.
Rappel :
Bénéfice=Prix de vente-Prix de revient.
Exercice 21 (2006 1er groupe)
Les parties A et B sont indépendantes.
A- Une étude du service des transports donne la distance de freinage d'une voiture sur une route en bon état en fonction de sa vitesse.
Vitesse en km/h : X405060708090100110120Distance en m : Y81218243240485872
On désigne par X la vitesse et par Y la distance de freinage.
1) Représenter le nuage de points.
On prendra en abscisse 1cm pour 10 km/h et en ordonnée 1cm pour 5m.
N.B :
On commencera en abscisse les graduations à partir de 40 km/h et en ordonnée les les graduations à partir de 8m.
2) Déterminer l'équation de la droite de régression de Y en X.
3) Déterminer le coefficient de corrélation linéaire r.
Avons-nous une bonne corrélation ?
4) a) On suppose que cette évolution se poursuit.
Un automobiliste roulant à 150 km/h entame un freinage à 85m d'un obstacle immobile. Percutera-t-il l'obstacle ?
b) Quelle devrait être sa vitesse maximale au moment du freinage pour ne pas heurter l'obstacle ?
B- Une autre étude sur les causes des accidents donne les résultats ci-dessous.
Cause des accidents : X∖Type de transport : YParticuliers y1Transporteurs en commun y2Accidents liés à l’excès de vitesse : x1440360Accidents à cause mécanique : x211090
1) Déterminer l'effectif total des accidents enregistrés lors de cette étude.
2) Déterminer les fréquences conditionnelles fy2/x1 et fx2/y2.
3) Déterminer les fréquences marginales f⋅1 et f2⋅⋅
Exercice 22 (2008 1er groupe 1er sujet)
Dans une maternité, on a relevé pour chacune des 20 naissances d'une journée, l'âge x de la mère (en années) et le poids y du nouveau-né (en kilogrammes).
Les résultats sont regroupés dans le tableau à double entrée ci-dessous :
y∖x1618202226Totaux2.60000112.811030530202263.20031043.40200023.6001012Totaux1546420
Donner les formules avant d'effectuer les calculs puis les réponses à 10−2 près par défaut.
1) a) Déterminer les séries marginales associées aux caractères x et y.
b) Déterminer les moyennes respectives de ces séries marginales.
c) Déterminer le coefficient de corrélation de x et y.
La corrélation est-elle bonne ?
2) A la fin de la journée, une équipe de journalistes de passage pour les besoins d'un reportage désire prendre en photo un bébé.
On suppose que les bébés ont tous les mêmes chances d'être choisis pour la photo. Soient les événements :
A « Le bébé choisi pèse 3.2 kilogrammes »
B « Le bébé choisi a une maman de 22 ans »
A « Le bébé choisi pèse 2.8 kilogrammes »
a) Déterminer les probabilités des événements A; B et A∩B.
En déduire la probabilité p(A∪B).
Justifier les résultats.
b) Déterminer la probabilité p(C|¯B). Justifier.
Commentaires
Baye mor (non vérifié)
jeu, 06/22/2023 - 22:49
Permalien
Correction
Ajouter un commentaire