Soient $A$ et $B$ deux points d'affixes respectives $\mathrm{i}$ et $-1.$ L'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ vérifiant $|z-\mathrm{i}|=|z+1|$ est :
le cercle de diamètre $[AB]$
la droite $(AB)$
la droite perpendiculaire à $(AB)$ passant par $O$
On considère deux suites $(u_{n})$ et $(v_{n})$ définies sur $\mathbb{N}.$
Soit la suite réelle $(u_{n})$ vérifiant $u_{n}\geq\sqrt{n}\;,\ \forall\;n\in\mathbb{N}$ Alors, on a :
$(u_{n})$ est bornée
$\lim_{n\rightarrow +\infty}u_{n}=+\infty$
$(u_{n})$ est convergente
Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $[-1\;;\ 1]$, dont la dérivée est continue sur cet intervalle. Si $f(-1)=-f(1)$, alors $\int_{-1}^{1}tf'(t)\mathrm{d}t=-\int_{-1}^{1}f(t)\mathrm{d}t$
Une urne contient 8 boules indiscernables au toucher, 5 sont rouges et 3 sont noires. On tire une boule dans l'urne, on note sa couleur, on la remet dans l'urne ; on procède ainsi à 5 tirages successifs et deux à deux indépendants. Alors, la probabilité d'obtenir 2 boules noires et 3 boules rouges est :
$2\times\dfrac{5}{8}+3\times\dfrac{3}{8}$
$10\times\left(\dfrac{5}{8}\right)^{3}\times\left(\dfrac{3}{8}\right)^{2}$
$\left(\dfrac{5}{8}\right)^{3}\times\left(\dfrac{3}{8}\right)^{2}$
Soit $(v_{n})_{n\geq 0}$ une suite et soit $(u_{n})$ la suite définie par : $$\forall\;n\in\mathbb{N}\;;\ u_{n}=\mathrm{e}^{-v_{n}}+1$$
$(u_{n})$ est strictement croissante et minorée par 1
$(u_{n})$ est strictement décroissante et majorée par 2
$(u_{n})$ est strictement croissante et majorée par 2
$(u_{n})$ est strictement décroissante et minorée par 1
Les solutions de l'équation différentielle $y'-2y=0$ sont de la forme $k\mathrm{e}^{-2x}$, où $k$ est un nombre réel.
L'équation $\ln(x-1)-\ln(x+2)=\ln 4$ admet une solution unique dans $\mathbb{R}.$
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct $(O\;,\ \vec{e}_{1}\;,\ \vec{e}_{2}).$ Soient $A\;,\ B\;,\ C$ et $D$ les points d'affixes respectives 1, $\mathrm{i}\;,\ -1$ et $-\mathrm{i}.$ Alors, l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ vérifiant $|z+\mathrm{i}|=|z-1|$ est :
le milieu du segment $[BC]$
le cercle de centre $O$ et de rayon 1
la médiatrice du segment $[BC]$
la médiatrice du segment $[AD]$
Soit $z_{1}=\sqrt{6}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\tfrac{\pi}{4}}\ $ et $\ z_{2}=\sqrt{2}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\tfrac{\pi}{3}}.$ Alors, la forme exponentielle de $\mathrm{i}\dfrac{z_{1}}{z_{2}}$ est :
$\sqrt{3}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\tfrac{7\pi}{12}}$
$\sqrt{3}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\tfrac{13\pi}{12}}$
$\sqrt{3}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\tfrac{19\pi}{12}}$
$\sqrt{12}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\tfrac{\pi}{12}}$
