Corrigé BFEM Maths 2017
Exercice 1
On donne trois réels a, b a, b et c c tels que : a=7−5√2;b=−7−5√2etc=−7+5√2a=7−5√2;b=−7−5√2etc=−7+5√2
1) Démontrons que le réel aa est l'inverse du réel b.b.
On a : a a et b b sont inverses si, et seulement si, a×b=1a×b=1
Donc, calculons le produit a.ba.b
On a :
$a×b=(7−5√2)(−7−5√2)=(−5√2+7)(−5√2−7)=(−5√2)2−(7)2=25×2−49=50−49=1
Ainsi, a.b=1, d'où a est l'inverse de b.
2) Justifions que a et c sont opposés.
On a : c=−7+5√2=−(7−5√2)
donc, on voit bien que c=−a
Ce qui prouve que a et c sont opposés.
3) Démontrons que ba−cb=b2+c2
En réduisant au même dénominateur on obtient :
ba−cb=b2−acab
or, ab=1 puisque a et c sont inverses
donc, b2−acab=b2−ac
mais comme a et c sont opposés alors, a=−c
par suite, b2−ac=b2−(−c)c=b2+c2
Ce qui montre que ba−cb=b2+c2
4) Calculons a2
On a :
$a2=(7−5√2)2=72−2×7×5√2+(−5√2)2=49−70√2+25×2=49+50−70√2=99−70√2
dons, a2=99−70√2
Déduisons-en une écriture simplifiée du réel w=√99−70√2
On a : w=√99−70√2
or, 99−70√2=a2
donc, w=√a2=|a|
Cherchons alors le signe de a
On a : 72=49 et (5√2)=52×2=50
Comme 49 est inférieur à 50 et que 7 et 5√2 sont tous des réels positifs alors, 7 est inférieur à 5√2
par suite, 7−5√2<0 ; donc, |a|=−a
par conséquent, w=|a|=−7+5√2
d'où, w=−7+5√2
Exercice 2
Les notes des 160 candidats à un concours sont consignées dans le tableau suivant :
1) La valeur 0.3, fréquence de la classe [10; 12[ permet de dire que 30% des candidats ont une note comprise entre 10 et 12.
C'est aussi pareil de dire que 70% des élèves ont une note supérieure ou égale à 12.
2) Calcule x et y sachant que 25% des élèves ont une note supérieure ou égale à 16.
On sait que la fréquence des élèves ayant une note supérieure ou égale à 16 est donnée par le cumul des fréquences des classes [16; 18[ et [18; 20[.
Cette même fréquence est aussi égale à 25%=0.25
Donc, 0.15+y=0.25
Ce qui donne : y=0.25−0.15=0.1
D'où, y=0.1
Pour calculer x on utilise le fait que la somme des fréquences est égale à 1.
On a alors : 0.3+x+0.2+0.15+y=1 or, y=0.1
donc, 0.3+x+0.2+0.15+0.1=1
par suite, x+0.75=1
par conséquent, x=1−0.75=0.25
Ainsi, x=0.25
3) On donne x=0.25 et y=0.1
a) Calculons la moyenne des notes.
Pour cela calculons d'abord le centre de chaque classe.
On a : Notes[10; 12[[12; 14[[14; 16[[16; 18[[18; 20[Fréquences0.30.250.20.150.1Centres1113151719
Ensuite, multiplions chaque centre par la fréquence correspondante.
Enfin, la moyenne des notes sera obtenue en additionnant les produits des centres et fréquences.
Ainsi,
$M=(0.3×11)+(0.25×13)+(0.2×15)+(0.15×17)+(0.1×19)=3.3+3.25+3+2.55+1.9=14
D'où, M=14
b) Construisons le diagramme des fréquences cumulées décroissantes.
Le calcul des fréquences cumulées décroissantes est présenté dans le tableau suivant : Notes[10; 12[[12; 14[[14; 16[[16; 18[[18; 20[Fréquences0.30.250.20.150.1Centres1113151719F.C.D10.70.450.250.1
Exercice 3
Soit ABC un triangle isocèle en A.
La hauteur issue de A coupe le segment [BC] en H. On donne BC=6cmetAH=4cm
Soit M le point du segment [BH] tel que BM=x.
La parallèle à la droite (AH) et passant par M coupe la droite (AB) en P et la droite (AC) en Q.
1) Faisons la figure
Calculons BH
ABC étant un triangle isocèle en A alors, la hauteur issue de A est aussi la médiatrice du segment [BC].
Donc, H est milieu de [BC]
ainsi, BH=BC2=62=3
D'où, BH=3cm
2) Montre que MPAH=x3.
On a : les droites sécantes (AB) et (BC) coupées par les parallèles (MP) et (AH) alors, ABH et BPM sont deux triangles en position de Thalès.
Donc, d'après le théorème de Thalès on aura : MPAH=BMBH
or, BM=x et BH=3
Ce qui donne alors, MPAH=x3
En déduisons MP en fonction de x.
On a : MPAH=x3
alors, MP=AH×x3 ; or AH=4
donc, MP=4×x3=43x
d'où, MP=43x
3) Exprimons MC en fonction de x.
On a : BM+MC=BC
alors, MC=BC−BM ; or BM=x et BC=6
donc, MC=6−x
d'où, MC=(6−x)
4) Montrons que MQ=43(6−x).
On a : les droites sécantes (AC) et (BC) coupées par les parallèles (MQ) et (AH) alors, AHC et QMC sont deux triangles en situation de Thalès.
Donc, d'après le théorème de Thalès on aura : AHMQ=HCMC
Ainsi, MQ×HC=AH×MC
par suite, MQ=AH×MCHC
or, AH=4, MC=6−x et HC=3
par conséquent, MQ=43(6−x)
5) Cherchons les valeurs de x vérifiant MQ=3MP
On a : MQ=3MP si, et seulement si, 43(6−x)=3×43x
Donc, en résolvant cette équation on trouvera les valeurs de x vérifiant la relation MQ=3MP.
On a : 43(6−x)=3×43x si, et seulement si, (6−x)=3x
on aura alors : 4x=6
donc, x=64=32
d'où, x=32
6) Donnons alors la position du point P sur le segment [AB].
La valeur x=32 signifie que le point M est milieu de BH.
Or, dans le triangle ABH la droite (MP) est parallèle à (AH) et passe par le point M milieu de [BH].
Donc, d'après la réciproque de la propriété de la droite des milieux dans un triangle, (MP) passe aussi par le milieu de [AB].
D'où, P est milieu de [AB].
Exercice 4
On considère la figure codée ci-dessous.
On donne les formules de calcul de volume de solides ci-dessous :
Volume d'un cône de révolution : Vcône=13×π×R2×h
Volume d'une boule : Vboule=43×π×R3
Volume d'un cylindre : Vcylindre=π×R2×h
R désigne le rayon et h la hauteur
1) Calculons le volume exact de chacun de ces trois solides pour h=R=1m
− volume d'un cône de révolution :
On a :
$Vcône=13×π×R2×h=13×π×1×1=π3
donc, Vcône=π3m3
− volume d'une boule :
On a :
$Vboule=43×π×R3=43×π×1=4π3
donc, Vboule=4π3m3
− volume d'un cylindre :
On a :
$Vcylindre=π×R2×h=π×1×1=π
donc, Vcylindre=πm3
2) Exprimons le volume d'une boule et celui d'un cylindre en fonction du volume d'un cône de révolution pour R=h.
On a : Vcône=13×π×R2×h or, R=h
donc, Vcône=13×π×R3
on aura alors : π×R3=3×Vcône
On a : Vboule=43×π×R3 or, π×R3=3×Vcône
donc,
$Vboule=43×3×Vcône=4×Vcône
ainsi, Vboule=4×Vcône
On a : Vcylindre=π×R2×h or, R=h
donc, Vcylindre=π×R3
comme π×R3=3×Vcône alors, Vcylindre=3×Vcône
d'où, Vcylindre=3×Vcône
3) Exprimons le volume de ce récipient en fonction du volume du cylindre.
On a : Vrécipient=Vcylindre−Vcône
or, on sait que Vcylindre=3×Vcône
c'est-à-dire, Vcône=13Vcylindre
donc,
$Vrécipient=Vcylindre−Vcône=Vcylindre−13Vcylindre=23Vcylindre
ainsi, Vrécipient=23Vcylindre
Auteur:
Diny Faye
Commentaires
Anonyme (non vérifié)
ven, 06/07/2019 - 23:49
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Mais les corrections on ne
Anonyme (non vérifié)
mer, 05/05/2021 - 20:27
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C bien
Anonyme (non vérifié)
ven, 06/25/2021 - 23:09
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J adore
Seynabou Makhanerra (non vérifié)
sam, 03/19/2022 - 11:11
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Jaime boeaucoup cette
Seynabou Makhanerra (non vérifié)
sam, 03/19/2022 - 11:11
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Jaime boeaucoup cette
Alassane pam (non vérifié)
dim, 07/10/2022 - 01:42
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Les matières scientifiques
Ibrahima MANGA (non vérifié)
dim, 07/25/2021 - 18:04
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Comme vous pouvez
Ibrahima MANGA (non vérifié)
dim, 07/25/2021 - 18:06
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Je veux télécharger la
Tapha Faye (non vérifié)
jeu, 07/29/2021 - 13:05
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Je voudrais la télécharger
Tapha Faye (non vérifié)
jeu, 07/29/2021 - 13:06
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Je voudrais la télécharger
Alassane pam (non vérifié)
dim, 07/10/2022 - 01:35
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Je veux être un grand scientifique
Mayé faye (non vérifié)
mer, 04/26/2023 - 22:23
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Un grand merci à vous
Fatou Ndiaye (non vérifié)
ven, 03/22/2024 - 14:37
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C'est une application très
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