Le dipôle (R, C) - Ts

 

Un dipôle $(R\;,\;C)$ est l'association en série d'un condensateur de capacité $C$ et d'un conducteur ohmique de résistance $R.$  

Un condensateur est un ensemble constitué de deux conducteurs (armatures) séparés par un isolant appelé diélectrique qui peut être le vide.

 

Un condensateur est symboliquement représenté par :

La charge du condensateur ou quantité d'électricité emmagasinée $q$ et la tension $u$ aux bornes du condensateur sont reliées par la relation : $$\boxed{q=C.u}$$

$C$ est appelé capacité du condensateur. Elle s'exprime en Farads $(F).$

Remarque : on utilise assez souvent les sous-multiples comme :

 

$\mu F=10^{-6}\;F\;;\ nF=10^{-9}\;F$ ou encore $pF=10^{-12}\;F$

I.3. Association de condensateurs

I.3.1. Association en série

I.3.2. Association en parallèle

Considérons le montage ci-dessous

Alors, lorsque l'on branche un condensateur aux bornes d'un générateur celui-ci se charge. Les charges ne pouvant traverser l'isolant s'accumulent ainsi sur les armatures.

 

En effet, durant cette phase, les électrons se déplaçant dans le sens contraire du courant quittent alors l'armature $A$ pour arriver à l'armature $B.$

 

Ainsi, $A$ sera chargée positivement et $B$ négativement.

 

A chaque instant les charges portées par les armatures sont telles que : $$\boxed{q_{_{A}}=-q_{_{B}}=q}$$

 

N.B : en convention récepteur $i$ et $u$ sont de sens opposés.

 

L'intensité $i$ et la charge $q$ du condensateur sont liées par la relation : $$\boxed{i(t)=\dfrac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}}$$

Ainsi, $i>0\;,\ q$ augmente et $\dfrac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}>0$

 

De plus, comme $q=C.u$ alors, en remplaçant $q$ par son expression puis en dérivant, on obtient : $$\boxed{i(t)=C.\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}}$$

L'interrupteur $k_{1}$ étant fermé, la charge du condensateur s'effectue alors à travers le résistor $R.$

 

La loi d'additivité des tensions permet d'écrire : $$u_{_{AB}}=u_{_{AD}}+u_{_{DB}}$$

 

avec $u_{_{AB}}=u_{_{G}}=E\;,\ u_{_{AD}}=u_{_{C}}\ $ et $\ u_{_{DB}}=u_{_{R}}$

 

Or, d'après la loi d'Ohm on a : $$u_{_{R}}=R.i\quad(1)$$

 

On obtient alors : $$u_{_{C}}+u_{_{R}}=E\quad(2)$$

 

En convention récepteur $i(t)=C.\dfrac{\mathrm{d}u_{_{C}}}{\mathrm{d}t}$ donc, en remplaçant successivement $i(t)$ dans l'équation (1) puis $u_{_{R}}$ dans l'équation (2), on obtient : $$\boxed{RC.\dfrac{\mathrm{d}u_{_{C}}}{\mathrm{d}t}+u_{_{C}}=E}$$

 

On reconnait alors l'équation différentielle d'ordre 1 à coefficients constants en $u_{_{C}}$, qui peut encore s'écrire : $$\boxed{\dfrac{\mathrm{d}u_{_{C}}}{\mathrm{d}t}+\dfrac{u_{_{C}}}{RC}=\dfrac{E}{RC}}$$

 

D'après le cours de mathématiques, cette équation, de la forme $ay'+by=c\;,\ (a=1)$, a pour solution $$y(t)=f_{2}(t)+f_{1}(t)$$ avec $f_{2}(t)$ solution générale de l'équation $ay'+by=0\ $ et $\ f_{1}(t)$ une solution particulière de l'équation $ay'+by=c.$

 

Alors : $f_{2}(t)=k\mathrm{e}^{-bt}\ $ et $\ f_{1}(t)=\dfrac{c}{b}\ $ avec $b=\dfrac{1}{RC}\ $ et $\ c=\dfrac{E}{RC}$

 

Ainsi, en posant $\tau=RC$ (constante de temps du circuit) on obtient : $$y(t)=u_{_{C}}(t)=E+k\mathrm{e}^{-\tfrac{t}{\tau}}\;,\quad k\text{ constante}$$

 

Or, à $t=0\;,\ u_{_{C}}=0$ donc, $E+k\mathrm{e}^{0}=0\ $ c'est-à-dire ; $k=-E$

 

D'où, $u_{_{C}}(t)=E\left(1-\mathrm{e}^{-\tfrac{t}{\tau}}\right)$ avec $E=u_{_{C\text{ max}}}$

 

Par conséquent, $$\boxed{u_{_{C}}(t)=u_{_{C\text{ max}}}\left(1-\mathrm{e}^{-\tfrac{t}{\tau}}\right)}$$

Considérons la courbe représentative de la fonction $u_{_{C}}(t)$ ci-dessous.

Soit $\tau=RC$ la constante de temps du circuit. C'est un indicateur qui nous informe, en ordre de grandeur, sur la durée de charge du condensateur.

 

Détermination graphique de $\tau$ 

 

Pour $t=\tau$, on a $u_{_{C}}(t)=E\left(1-\mathrm{e}^{-1}\right)=0.63E=0.63u_{_{C\text{ max}}}$

 

Aussi, la tangente à $t=0$ coupe la droite d'équation $y=E=u_{_{C\text{ max}}}$ en $t=\tau.$

 

Remarque :

 

Le condensateur est considéré comme chargé au bout d'une durée $t=5\tau.$

 

Par ailleurs, on peut aussi déterminer $\tau$ directement par le calcul en effectuant le produit $RC$ ou en utilisant la relation $u_{_{C}}(t)=E\left(1-\mathrm{e}^{-\tfrac{t}{\tau}}\right).$

On sait que $i(t)=C.\dfrac{\mathrm{d}u_{_{C}}}{\mathrm{d}t}$ avec $u_{_{C}}(t)=E\left(1-\mathrm{e}^{-\tfrac{t}{\tau}}\right)$ donc, après dérivation de $u_{_{C}}(t)$ par rapport à $t$, on obtient : $$\boxed{i(t)=\dfrac{E}{R}\mathrm{e}^{-\tfrac{t}{\tau}}=\dfrac{u_{_{C\text{ max}}}}{R}\mathrm{e}^{-\tfrac{t}{\tau}}}$$

 

On remarque que $i$ décroit exponentiellement vers 0.

 

En effet, $t=0\;,\ i=\dfrac{E}{R}\ $ et lorsque $t$ tend vers l'infini, $i(t)$ tend vers 0.

 

Ainsi, lors de la charge d'un condensateur le courant décroit et s'annule à la fin de la charge.

 

Remarque :

 

La charge d'un condensateur n'est pas instantanée, c'est un phénomène transitoire.

 

En effet, le régime transitoire correspond au temps de charge $t=5\tau$ du condensateur, et une fois celui-ci chargé on passe en régime permanent. Ce qui fait que l'intensité du courant dans le circuit est quasiment nulle.

Considérons le montage ci-dessous

Lors de la décharge les électrons se déplacent dans le sens inverse du sens de leur déplacement pendant la charge. Ils quittent alors l'armature $B$ pour arriver à l'armature $A.$ Et le courant circule dans le sens contraire au sens de déplacement des électrons.

Ainsi, $i<0\;,\ q$ diminue et $\dfrac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}<0$

L'interrupteur $k_{2}$ étant fermé, la décharge du condensateur s'effectue alors à travers le résistor $R.$

 

La loi des mailles permet d'écrire : $$u_{_{C}}+u_{_{R}}=0\quad(1)$$

 

Or, d'après la loi d'Ohm : $$u_{_{R}}=R.i\quad(2)$$

 

Comme $i(t)=C.\dfrac{\mathrm{d}u_{_{C}}}{\mathrm{d}t}$ alors, en remplaçant successivement $i(t)$ dans l'équation (2) puis $u_{_{R}}$ dans l'équation (1), on obtient : $$\boxed{RC.\dfrac{\mathrm{d}u_{_{C}}}{\mathrm{d}t}+u_{_{C}}=0}$$

 

Cette équation différentielle d'ordre 1 à coefficients constants en $u_{_{C}}$ peut encore s'écrire : $$\boxed{\dfrac{\mathrm{d}u_{_{C}}}{\mathrm{d}t}+\dfrac{u_{_{C}}}{RC}=0}$$

 

D'après le cours de mathématiques, la solution est donnée par : $$\boxed{u_{_{C}}(t)=u_{_{C\text{ max}}}\mathrm{e}^{-\tfrac{t}{\tau}}}$$

 

En supposant qu'à l'instant $t=0\;,\ u_{_{C_{0}}}=u_{_{C\text{ max}}}=E$

Comme $i(t)=C.\dfrac{\mathrm{d}u_{_{C}}}{\mathrm{d}t}$ avec $u_{_{C}}(t)=E\mathrm{e}^{-\tfrac{t}{\tau}}$ alors, $$\boxed{i(t)=-\dfrac{E}{R}\mathrm{e}^{-\tfrac{t}{\tau}}=-\dfrac{u_{_{C\text{ max}}}}{R}\mathrm{e}^{-\tfrac{t}{\tau}}}$$

 

On constate que $i$ croit exponentiellement vers 0.

 

A $t=0\;,\ i=-\dfrac{E}{R}=-\dfrac{u_{_{C\text{ max}}}}{R}$ et lorsque $t$ tend vers l'infini $i(t)$ tend vers 0.

 

Remarque :

 

Le courant de la décharge d'un condensateur est négatif. Cela est du au fait qu'il circule dans le sens contraire du sens de la charge.

Dans cette phase de décharge on peut aussi déterminer graphiquement $\tau.$

 

Considérons la courbe représentative de la fonction $u_{_{C}}(t)$ ci-dessous.

Pour $t=\tau$, on a $u_{_{C}}(t)=E\mathrm{e}^{-1}=0.37E=0.37u_{_{C\text{ max}}}$

 

Par ailleurs, la tangente à $t=0$ coupe l'axe des abscisses en $t=\tau.$

Lors de la charge, un condensateur emmagasine de l'énergie qu'il va, par la suite, restituer lors de la décharge.

 

Cette énergie est donnée par la relation : $$\boxed{E_{_{\text{élec}}}=\dfrac{1}{2}Cu_{_{C}}^{2}=\dfrac{1}{2}qu_{_{C}}=\dfrac{q^{2}}{2C}}$$