Le dipôle (R, C) - Ts
Classe:
Terminale
Un dipôle (R,C) est l'association en série d'un condensateur de capacité C et d'un conducteur ohmique de résistance R.
I. Le condensateur
I.1. Définition
Un condensateur est un ensemble constitué de deux conducteurs (armatures) séparés par un isolant appelé diélectrique qui peut être le vide.
Un condensateur est symboliquement représenté par :

I.2. Capacité d'un condensateur
La charge du condensateur ou quantité d'électricité emmagasinée q et la tension u aux bornes du condensateur sont reliées par la relation : q=C.u
C est appelé capacité du condensateur. Elle s'exprime en Farads (F).

Remarque : on utilise assez souvent les sous-multiples comme :
μF=10−6F; nF=10−9F ou encore pF=10−12F
I.3. Association de condensateurs
I.3.1. Association en série
Soient deux condensateurs de capacité respective C1 et C2 montés en série alors, la capacité C du condensateur équivalent est telle que : 1C=1C1+1C2

En effet, d'après la loi d'additivité des tentions on a : uAC=uAB+uBC
Or, uAC=qC, uAB=qAC1 et uBC=qBC2
Donc, uAC=qC=qAC1+qBC2
Les condensateurs étant traversés par le même courant d'intensité i on obtient alors la même quantité d'électricité, q=qA=qB, pour chaque condensateur.
Par suite,
qC=qAC1+qBC2=qC1+qC2=(1C1+1C2)q
D'où, 1C=1C1+1C2
I.3.2. Association en parallèle
Soit maintenant les deux condensateurs de capacité respective C1 et C2 montés en parallèle alors, la capacité C du condensateur équivalent vérifie : C=C1+C2

En effet, d'après la loi des nœuds on a :
i=i1+i2⇒q=q1+q2⇒Cu=C1u+C2u⇒Cu=(C1+C2)u
D'où, C=C1+C2
II. Charge d'un condensateur
Considérons le montage ci-dessous

Alors, lorsque l'on branche un condensateur aux bornes d'un générateur celui-ci se charge. Les charges ne pouvant traverser l'isolant s'accumulent ainsi sur les armatures.
En effet, durant cette phase, les électrons se déplaçant dans le sens contraire du courant quittent alors l'armature A pour arriver à l'armature B.
Ainsi, A sera chargée positivement et B négativement.
A chaque instant les charges portées par les armatures sont telles que : qA=−qB=q
N.B : en convention récepteur i et u sont de sens opposés.
L'intensité i et la charge q du condensateur sont liées par la relation : i(t)=dqdt

Ainsi, i>0, q augmente et dqdt>0
De plus, comme q=C.u alors, en remplaçant q par son expression puis en dérivant, on obtient : i(t)=C.dudt
Équation différentielle

L'interrupteur k1 étant fermé, la charge du condensateur s'effectue alors à travers le résistor R.
La loi d'additivité des tensions permet d'écrire : uAB=uAD+uDB
avec uAB=uG=E, uAD=uC et uDB=uR
Or, d'après la loi d'Ohm on a : uR=R.i(1)
On obtient alors : uC+uR=E(2)
En convention récepteur i(t)=C.duCdt donc, en remplaçant successivement i(t) dans l'équation (1) puis uR dans l'équation (2), on obtient : RC.duCdt+uC=E
On reconnait alors l'équation différentielle d'ordre 1 à coefficients constants en uC, qui peut encore s'écrire : duCdt+uCRC=ERC
D'après le cours de mathématiques, cette équation, de la forme ay′+by=c, (a=1), a pour solution y(t)=f2(t)+f1(t) avec f2(t) solution générale de l'équation ay′+by=0 et f1(t) une solution particulière de l'équation ay′+by=c.
Alors : f2(t)=ke−bt et f1(t)=cb avec b=1RC et c=ERC
Ainsi, en posant τ=RC (constante de temps du circuit) on obtient : y(t)=uC(t)=E+ke−tτ,k constante
Or, à t=0, uC=0 donc, E+ke0=0 c'est-à-dire ; k=−E
D'où, uC(t)=E(1−e−tτ) avec E=uC max
Par conséquent, uC(t)=uC max(1−e−tτ)
Étude graphique
Considérons la courbe représentative de la fonction uC(t) ci-dessous.

Soit τ=RC la constante de temps du circuit. C'est un indicateur qui nous informe, en ordre de grandeur, sur la durée de charge du condensateur.
Détermination graphique de τ
Pour t=τ, on a uC(t)=E(1−e−1)=0.63E=0.63uC max
Aussi, la tangente à t=0 coupe la droite d'équation y=E=uC max en t=τ.
Remarque :
Le condensateur est considéré comme chargé au bout d'une durée t=5τ.
Par ailleurs, on peut aussi déterminer τ directement par le calcul en effectuant le produit RC ou en utilisant la relation uC(t)=E(1−e−tτ).
Expression de i
On sait que i(t)=C.duCdt avec uC(t)=E(1−e−tτ) donc, après dérivation de uC(t) par rapport à t, on obtient : i(t)=ERe−tτ=uC maxRe−tτ
On remarque que i décroit exponentiellement vers 0.
En effet, t=0, i=ER et lorsque t tend vers l'infini, i(t) tend vers 0.
Ainsi, lors de la charge d'un condensateur le courant décroit et s'annule à la fin de la charge.
Remarque :
La charge d'un condensateur n'est pas instantanée, c'est un phénomène transitoire.
En effet, le régime transitoire correspond au temps de charge t=5τ du condensateur, et une fois celui-ci chargé on passe en régime permanent. Ce qui fait que l'intensité du courant dans le circuit est quasiment nulle.
III. Décharge d'un condensateur dans un conducteur ohmique
Considérons le montage ci-dessous

Lors de la décharge les électrons se déplacent dans le sens inverse du sens de leur déplacement pendant la charge. Ils quittent alors l'armature B pour arriver à l'armature A. Et le courant circule dans le sens contraire au sens de déplacement des électrons.

Ainsi, i<0, q diminue et dqdt<0
Équation différentielle

L'interrupteur k2 étant fermé, la décharge du condensateur s'effectue alors à travers le résistor R.
La loi des mailles permet d'écrire : uC+uR=0(1)
Or, d'après la loi d'Ohm : uR=R.i(2)
Comme i(t)=C.duCdt alors, en remplaçant successivement i(t) dans l'équation (2) puis uR dans l'équation (1), on obtient : RC.duCdt+uC=0
Cette équation différentielle d'ordre 1 à coefficients constants en uC peut encore s'écrire : duCdt+uCRC=0
D'après le cours de mathématiques, la solution est donnée par : uC(t)=uC maxe−tτ
En supposant qu'à l'instant t=0, uC0=uC max=E
Expression de i
Comme i(t)=C.duCdt avec uC(t)=Ee−tτ alors, i(t)=−ERe−tτ=−uC maxRe−tτ
On constate que i croit exponentiellement vers 0.
A t=0, i=−ER=−uC maxR et lorsque t tend vers l'infini i(t) tend vers 0.
Remarque :
Le courant de la décharge d'un condensateur est négatif. Cela est du au fait qu'il circule dans le sens contraire du sens de la charge.
Étude graphique
Dans cette phase de décharge on peut aussi déterminer graphiquement τ.
Considérons la courbe représentative de la fonction uC(t) ci-dessous.

Pour t=τ, on a uC(t)=Ee−1=0.37E=0.37uC max
Par ailleurs, la tangente à t=0 coupe l'axe des abscisses en t=τ.
IV. Énergie d'un condensateur
Lors de la charge, un condensateur emmagasine de l'énergie qu'il va, par la suite, restituer lors de la décharge.
Cette énergie est donnée par la relation : Eélec=12Cu2C=12quC=q22C
Commentaires
Mbaye (non vérifié)
ven, 08/30/2024 - 11:31
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Fame
Anonyme (non vérifié)
lun, 02/17/2025 - 22:05
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bon leçon
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