Mouvement d'un pendule conique - Ts

Classe:

Terminale

Illustration

Un pendule est constitué d'une boule de masse $m$ et d'un fil sans raideur de longueur $\ell$ et de masse négligeable. Il est en mouvement de rotation uniforme autour d'un axe $\Delta.$

1) Donner l'expression de l'intensité $T$ de la tension du fil.

2) Déterminer l'angle d'inclinaison $\alpha$ du fil par rapport à la verticale.

3) Montrer que le fil ne peut s'écarter de sa position d'équilibre que si la vitesse angulaire $\omega$ est supérieure à une valeur $\omega_{_{0}}$ que l'on déterminera.

Étude du mouvement

On se place dans le repère terrestre supposé comme galiléen.

Le système étudié est le pendule assimilable à un point matériel.

Les seules forces extérieurs appliquées au système sont son poids $\vec{p}=m.\vec{g}$ et la tension $\vec{T}$ du fil.

En appliquant la deuxième loi de Newton, on a : $$\sum \vec{F}_{\text{ext}}=m\vec{a}$$

Soit : $$\vec{T}+\vec{p}=m.\vec{a}$$

Choisissons comme repère de projection, le repère d'origine $O$ et d'axes $(xx')$ et $(yy')$ et supposons qu'à l'instant initial $t_{0}=0$, le centre d'inertie de la boule se trouve au point $O.$

Le pendule étant en mouvement de rotation uniforme alors, sa trajectoire est curviligne de rayon de courbure $r.$

De plus, $\vec{a}_{_{T}}=\vec{0}.\ $ D'où : $$\vec{a}=\vec{a}_{_{N}}$$

Par suite, la relation $\vec{T}+\vec{p}=m.\vec{a}$ devient : $$\vec{T}+\vec{p}=m.\vec{a}_{_{N}}$$

Intensité de la tension du fil

En projetant la relation vectorielle $\vec{T}+\vec{p}=m.\vec{a}_{_{N}}$ l'axe $(xx')$, on obtient : $$T.\sin\alpha=m.a_{_{N}}\qquad(1)$$

Soit :

$\begin{array}{rcl} T&=&\dfrac{m.a_{_{N}}}{\sin\alpha}\quad\text{or },\ a_{_{N}}=\dfrac{v^{2}}{r}\ \text{ et }\ \sin\alpha=\dfrac{r}{\ell}\\ \\&=&\dfrac{m.v^{2}}{r}\times\dfrac{\ell}{r}\quad\text{or },\ v=r.\omega\\ \\&=&\dfrac{m.r^{2}.\omega^{2}.\ell}{r^{2}}\\ \\&=&m.\omega^{2}.\ell\end{array}$

D'où, $$\boxed{T=m.\omega^{2}.\ell}$$

Angle d'inclinaison $\alpha$ du fil par rapport à la verticale

La projection suivant l'axe $(yy')$ de la relation vectorielle $\vec{T}+\vec{p}=m.\vec{a}_{_{N}}$ donne : $$m.g-T.\cos\alpha=0$$

Soit : $$T.\cos\alpha=m.g\qquad(2)$$

Ainsi, $\cos\alpha=\dfrac{m.g}{T}\ $ or, $T=m.\omega^{2}.\ell$

Par suite,

$\begin{array}{rcl}\cos\alpha=\dfrac{m.g}{T}&=&\dfrac{m.g}{m.\omega^{2}.\ell}\\ \\&=&\dfrac{g}{\ell.\omega^{2}}\end{array}$

D'où, $$\boxed{\cos\alpha=\dfrac{g}{\ell.\omega^{2}}}$$

Vitesse angulaire minimale $\omega_{_{0}}$

C'est la vitesse angulaire minimale avec laquelle il faut lancer le pendule afin qu'il s'écarte de la verticale.

On a :

$\begin{array}{rcl}\cos\alpha\leq 1&\Leftrightarrow&\dfrac{g}{\ell.\omega^{2}}\leq 1\\ \\&\Leftrightarrow&g\leq\ell.\omega^{2}\\ \\&\Leftrightarrow&\omega^{2}\geq\dfrac{g}{\ell}\\ \\&\Leftrightarrow&\omega\geq\sqrt{\dfrac{g}{\ell}}\end{array}$

Soit alors, $$\boxed{\omega_{_{0}}=\sqrt{\dfrac{g}{\ell}}}$$

Auteur:

Diny Faye