Mouvement d'un pendule conique - Ts

Classe: 
Terminale
 

Illustration

Un pendule est constitué d'une boule de masse m et d'un fil sans raideur de longueur et de masse négligeable. Il est en mouvement de rotation uniforme autour d'un axe Δ.
 
1) Donner l'expression de l'intensité T de la tension du fil.
 
2) Déterminer l'angle d'inclinaison α du fil par rapport à la verticale.
 
3) Montrer que le fil ne peut s'écarter de sa position d'équilibre que si la vitesse angulaire ω est supérieure à une valeur ω0 que l'on déterminera.

Étude du mouvement

On se place dans le repère terrestre supposé comme galiléen.
 
Le système étudié est le pendule assimilable à un point matériel.
 
Les seules forces extérieurs appliquées au système sont son poids p=m.g et la tension T du fil.
 
En appliquant la deuxième loi de Newton, on a : Fext=ma
 
Soit : T+p=m.a
 
Choisissons comme repère de projection, le repère d'origine O et d'axes (xx) et (yy) et supposons qu'à l'instant initial t0=0, le centre d'inertie de la boule se trouve au point O.

 
 

 
Le pendule étant en mouvement de rotation uniforme alors, sa trajectoire est curviligne de rayon de courbure r.
 
De plus, aT=0.  D'où : a=aN
 
Par suite, la relation T+p=m.a devient : T+p=m.aN

Intensité de la tension du fil

En projetant la relation vectorielle T+p=m.aN l'axe (xx), on obtient : T.sinα=m.aN(1)
 
Soit : 
 
T=m.aNsinαor , aN=v2r  et  sinα=r=m.v2r×ror , v=r.ω=m.r2.ω2.r2=m.ω2.
 
D'où, T=m.ω2.

Angle d'inclinaison α du fil par rapport à la verticale

La projection suivant l'axe (yy) de la relation vectorielle T+p=m.aN donne : m.gT.cosα=0
Soit : T.cosα=m.g(2)
 
Ainsi, cosα=m.gT  or, T=m.ω2.
 
Par suite, 
 
cosα=m.gT=m.gm.ω2.=g.ω2
 
D'où, cosα=g.ω2

Vitesse angulaire minimale ω0

C'est la vitesse angulaire minimale avec laquelle il faut lancer le pendule afin qu'il s'écarte de la verticale. 
 
On a : 
 
cosα1g.ω21g.ω2ω2gωg
 
Soit alors, ω0=g
 
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Commentaires

C,est bien

J'ai aimé votre dextérité dans la résolution de cet exercice

J'apprécie beaucoup votre résolution

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