BAC S SPECIALITE Nouvelle-Calédonie mars 2008

PARTIE A :  Question de coursQuelles sont les propriétés de compatibilité de la relation de congruence avec l'addition, la multiplication et les puissances ? Démontrer la propriété de compatibilité avec la multiplication. PARTIE BOn note 0, 1, 2, \ldots , 9,~ $\alpha,~\beta$ , les chiffres de l'écriture d'un nombre en base $12$ . Par exemple : $\overline{\beta\alpha 7}^{12} = \beta \times 12^2 + \alpha \times 12 +  7 = 11 \times 12^2 + 10 \times 12 + 7 = 1\:711~\text{en base}~10$           Soit $N_{1}$ le nombre s'écrivant en base 12 :          $N_{1} = \overline{\beta1 \alpha}^{12}$ Déterminer l'écriture de $N_{1}$ en base 10.            Soit $N_{2}$ le nombre s'écrivant en base 10 : $N_{2} = 1131 = 1\times 10^3  + 1\times 10^2 + 3 \times 10 + 1$ Déterminer l'écriture de $N_{2}$ en base $12$ .             Dans toute la suite, un entier naturel $N$ s'écrira de manière générale en base 12 : $N = \overline{a_{n}\cdots a_{1}a_{0}}^{12}$           Démontrer que $N \equiv a_{0}\quad  (3)$ . En déduire un critère de divisibilité par $3$ d'un nombre écrit en base 12.          À l'aide de son écriture en base $12$ , déterminer si $N_{2}$ est divisible par 3. Confirmer avec son écriture en base $10$ .                Démontrer que $N \equiv  a_{n} + \cdots + a_{1}+a_{0} \quad (11)$ . En déduire un critère de divisibilité par $11$ d'un nombre écrit en base 12.          À l'aide de son écriture en base 12, déterminer si $N_{1}$ est divisible par $11$ . Confirmer avec son écriture en base $10$ .       Un nombre $N$ s'écrit $\overline{x4y}^{12}$ .    Déterminer les valeurs de $x$ et de $y$ pour lesquelles $N$ est divisible par $33$ .