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Proportionnalité - 5e

Classe:

Cinquième

I. Situation de proportionnalité ou non

$-\ $ Soit $C$ le côté d'un carré et $P$ son périmètre.

Pour tout carré, le périmètre $(P)=C\times 4.$

On dit alors que le périmètre $(P)$ est proportionnel au côté $C.$

Et quatre (4) est appelé le coefficient de proportionnalité.

Cet exemple définit une situation de proportionnalité.

$-\ $ Soit $S$ la surface d'un carré avec $S=C\times C$

$\cdot\ $ Si $S=4$ alors, $C=2$

$\cdot\ $ Si $S=100$ alors, $C=10$

Pour passer de $2\ $ à $\ 4$ on a fait $2\times 2$ tandis qu'on a multiplié $10\ $ à $\ 10$ pour avoir $100\ $ et $\ 10$ est différent de $2.$

Cette situation n'est pas proportionnelle à $C.$ Ceci est une situation de non proportionnalité.

Ainsi, deux grandeurs sont dites proportionnelles si les valeurs de l'une s'obtiennent en multipliant les valeurs de l'autre par un même nombre appelé coefficient de proportionnalité.

$$a=k\times b$$

$k$ est une constante appelée coefficient de proportionnalité.

II. Tableau de proportionnalité

II.1. Définition

C'est un tableau de deux lignes correspondantes à des colonnes de valeurs proportionnelles dont sur chaque ligne on enregistre la grandeur et les valeurs prises par celle-ci.

Exemple

$$\begin{array}{|l|c|c|c|}\hline\text{Volume }(dm^{3})&2&2.5&1.5\\ \hline\text{Masse }(kg)&1.8&2.25&13.5\\ \hline\end{array}$$

Calcule le coefficient de proportionnalité permettant le passage de la $1^{e}$ à la $2^{e}$ ligne.

C'est $0.9\;kg/dm^{3}$

Ce coefficient est la masse volumique.

II.2. Reconnaitre un tableau de proportionnalité

Soit le tableau suivant :

$$\begin{array}{|c|c|c|}\hline 2&7&0.5\\ \hline 10&35&4\\ \hline\end{array}$$

Le tableau ci-dessus est proportionnel.

En effet, pour le passage des valeurs de la $1^{e}$ ligne à celles de la $2^{e}$ ligne, on multiplie par le même nombre cinq (5) coefficient de proportionnalité.

Application

1) On donne le tableau de proportionnalité suivant dont le coefficient est $0.25$

$$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline 6&12&112&400\\ \hline 1.5&3&28&100\\ \hline\end{array}$$

2) Le tableau suivant est un tableau de proportionnalité

$$\begin{array}{|c|c|c|}\hline 8&52&3.4\\ \hline 36&234&15.3\\ \hline\end{array}$$

III. Pourcentage

III.1. Définition

Soit $A$ un nombre positif, $A\%$ se lit "$A$ pour cent" et est égal à $A$ sur $100$

$$A\%=\dfrac{A}{100}$$

Le nombre $A$ est $x\%$ du nombre $B$ signifie :

$$A=\dfrac{x}{100}\times B$$

Le pourcentage de $A$ par rapport à $B$ est le quotient $\dfrac{x}{100}.$

On le note : $x\%$

III.2. Application

1) Dans chacun des cas suivants, calcule le pourcentage de rabais.

$-\ $ baisse de $25\text{ F}\longrightarrow 400\text{ F}$

$-\ $ baisse de $50\text{ F}\longrightarrow 850\text{ F}$

$-\ $ baisse de $75\text{ F}\longrightarrow 950\text{ F}$

2) Sur $65$ élèves d'une classe, $3$ sont absents.

Calcule le pourcentage d'élèves présents et le pourcentage d'élèves absents.

Solution

1) Dans chacun des cas, calculons le pourcentage de rabais.

On sait que si, $A=\dfrac{x}{100}\times B$ alors, le pourcentage de $A$ par rapport à $B$ est le quotient $\dfrac{x}{100}.$

Or, $A=\dfrac{x}{100}\times B$ entraine que $\dfrac{x}{100}=\dfrac{A}{B}$ donc, le pourcentage de $A$ par rapport à $B$ est aussi le quotient $\dfrac{A}{B}.$

Ainsi, pour :

$-\ $ baisse de $25\text{ F}\longrightarrow 400\text{ F}$

En posant $A=25\text{ F}\ $ et $\ B=400\text{ F}$, on obtient :

$$\dfrac{A}{B}=\dfrac{25}{400}=0.0625$$

Comme $0.0625=\dfrac{6.25}{100}$ alors, on a effectué $6.25\%$ de rabais.

$-\ $ baisse de $50\text{ F}\longrightarrow 850\text{ F}$

Posons $A=50\text{ F}\ $ et $\ B=850\text{ F}$ alors, on a :

$$\dfrac{A}{B}=\dfrac{50}{850}=0.058824$$

Or, $0.058824=\dfrac{5.8824}{100}$ donc, le pourcentage de rabais effectué est de $5.8825\%.$

$-\ $ baisse de $75\text{ F}\longrightarrow 950\text{ F}$

Pour $A=75\text{ F}\ $ et $\ B=950\text{ F}$, on obtient :

$$\dfrac{A}{B}=\dfrac{75}{950}=0.078947$$

Or, $0.078947=\dfrac{7.8947}{100}$ donc, le pourcentage de rabais effectué s'élève à $7.8947\%.$

2) Calcul du pourcentage d'élèves présents.

Comme sur les $65$ élèves, seuls $3$ sont absents alors, on peut dire que $62$ sont présents $(62=65-3).$

En posant $A=62\ $ et $\ B=65$, on obtient :

$$\dfrac{A}{B}=\dfrac{62}{65}=0.953846$$

Comme $0.95846=\dfrac{95.3846}{100}$ alors, on a $95.3846\%$ d'élèves présents.

Calcul du pourcentage d'élèves absents.

De la même manière, en posant $A=3\ $ et $\ B=65$, on obtient :

$$\dfrac{A}{B}=\dfrac{3}{65}=0.046154$$

Soit alors $4.6154\%$ d'élèves absents.

Par ailleurs, on pouvait remarquer que :

$$\%\text{ d'élèves absents}+\%\text{ d'élèves présents}=100\%$$

Ainsi, $\%\text{ d'élèves absents}=100\%-\%\text{ d'élèves présents}$

Par suite, $\%\text{ d'élèves absents}=100\%-95.3846\%=4.6154\%$

D'où, on note $4.6154\%$ d'élèves absents.

IV. Échelles

IV.1. Définition

Sur une carte ou un plan les dimensions sont égales aux dimensions réelles multipliées par un nombre $e$ positif.

Ce nombre $e$ est appelé échelle de la carte ou du plan.

En effet,, si $D$ distance réelle est représentée sur le plan par $d$ alors, $d=D\times e.$ Donc,

$$e=\dfrac{d}{D}$$

IV.2. Application

Complétons le tableau suivant :

$$\begin{array}{|l|c|c|}\hline\text{Distance réelle }(cm)&1200&1000\\ \hline\text{Échelle}&\ldots&\tfrac{1}{125}\\ \hline\text{Distance sur le plan }(cm)&6&\ldots\\ \hline\end{array}$$

Solution

On a : $e=\dfrac{d}{D}$

Or, $d=6\;cm\ $ et $\ D=1200\;cm$ donc, $e=\dfrac{6}{1200}=\dfrac{1}{200}$

D'où, $\boxed{e=\dfrac{1}{200}}$

Par ailleurs, $d=D\times e$

Comme $D=1000\;cm\ $ et $\ e=\dfrac{1}{125}$ alors,

$\begin{array}{rcl} d&=&1000\times\dfrac{1}{125}\\ \\&=&\dfrac{1000}{125}\\ \\&=&8\;cm\end{array}$

Ainsi, $\boxed{d=8\;cm}$

D'où, le tableau ci-dessous

$$\begin{array}{|l|c|c|}\hline\text{Distance réelle }(cm)&1200&1000\\ \hline\text{Échelle}&\tfrac{1}{200}&\tfrac{1}{125}\\ \hline\text{Distance sur le plan }(cm)&6&8\\ \hline\end{array}$$

N.B : La distance parcourue est proportionnelle au temps mis et le coefficient de proportionnalité est la vitesse.

La distance sur une carte est proportionnelle à $D$ et l'échelle est le coefficient de proportionnalité.

Auteur:

Mamadou Siradji Dia