Translation et vecteur - 4e
Classe:
Quatrième
I. La translation
I.1 Définition
Soit A et B deux points du plan. On appelle la translation de tout point M du plan qui amène A en B, le déplacement de celui-ci parallèlement à [AB) et dans le sens de [AB).
La translation est souvent notée par la lettre t.
Donc, tA→B est la translation qui amène A en B et tB→A est la translation qui amène B en A.
Si M′ est l'image de M par tA→B alors :
⋅ (MM′)//(AB)
⋅ MM′=AB
⋅ [AB) et [MM′) ont même sens.
I.2. Construction et propriétés
a) Image d'un point
Soit A, B et M des points du plan. Construisons M′ image de M par la translation qui amène A en B et M″ l'image de M par la translation qui amène B en A.
tA→B(M)=M′{⋅ (MM′)//(AB)⋅ MM′=AB⋅ [MM′) et [AB) ont même sens
tB→A(M)=M″{⋅ (MM″)//(AB)⋅ MM″=AB⋅ [MM″) et [BA) ont même sens
b) Image d'un segment
Soit A et B deux points du plan. [IJ] un segment du plan.
Construisons l'image de [IJ] par la translation qui amène A en B.
IJ=I′J′
(IJ)//(I′J′)
Propriété
L'image d'un segment par une translation est un segment de même longueur qui lui est parallèle.
c) Image d'une droite
Soit (Δ) une droite, A et B deux points du plan. Construisons l'image de (Δ) par la translation qui amène A en B.
Propriété
L'image d'une droite par une translation est une droite qui lui est parallèle.
Application
Soit ^ABC un angle de 45∘.
I et J deux points du plan.
1) Construire l'image de ^ABC par la translation qui transforme J en I.
2) Que constates-tu ?
Solution
1) Construction
2) On constate que mes^ABC=mes^A′B′C′
Propriété
L'image d'un angle par une translation est un angle de même mesure.
II. Vecteur
II.1. Définition et notation
Soit A et B deux points du plan. Le vecteur (A, B) est noté →AB et il est déterminé par :
− sa direction : celle de la droite (AB)
− son sens : le sens de A vers B ou bien le sens du couple (A, B)
− sa longueur : la longueur du segment [AB]
Exemple
Marquer les points A et A′ tels que A soit distant de A′ de 4cm.
Donner les sens, directions et longueurs des vecteurs →AA′ et →A′A
→AA′{− direction : celle de la droite (AA′)− sens : de A vers A′− longueur : celle du segment [AA′] égale à 4cm
→A′A{− direction : celle de la droite (A′A)− sens : de A′ vers A− longueur : celle du segment [A′A] égale à 4cm
N.B : Si →u est un vecteur du plan tel que →u=→AB où A et B sont des points du plan alors, on dit que le vecteur →u est un représentant du vecteur →AB.
II.2. Vecteurs égaux
Deux vecteurs sont dits égaux s'ils ont même direction, même sens et même longueur.
N.B : Si →u est un vecteur du plan alors, son opposé est noté −→u. Il a la même direction, la même longueur que le vecteur →u mais de sens opposé à celui de →u.
Exemple
Soit ABCD est un parallélogramme
alors, on a :
→AB=→DC et →BA=→CD
→BA et →DC sont opposés →BA=−→DC
II.3. Parallélogramme et vecteur
− Si ABCD est un parallélogramme alors →AB=→DC
− Si →AB=→DC alors, ABCD est un parallélogramme (voir l'exemple précédent)
II.4. Milieu d'un segment et vecteur
− Si un point I est milieu d'un segment [AB] alors,
→AI=→IB
− Si les points A, B et I sont tels que →AI=→IB alors, I est milieu du segment [AB].
En effet, →AI+→BI=→0 (vecteur nul)
II.5. Somme des vecteurs
Soit →u et →v deux vecteurs du plan.
→u+→v est aussi un vecteur du plan.
Application
Construire ABCD un parallélogramme. Indiquer sur la même figure les vecteurs suivants :
→AB+→AC,→AD+→DC
Solution
N.B : Pour tout vecteur →AB du plan et M un point du plan, on a :
→AB=→AM+→MB
C'est la relation de Chasles.
Auteur:
Mamadou Siradji Dia
Commentaires
Anonyme (non vérifié)
ven, 06/10/2022 - 15:58
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Je suis Professeur. Et j
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