Translation et vecteur - 4e

Classe: 
Quatrième
 

I. La translation

I.1 Définition

Soit A  et  B deux points du plan. On appelle la translation de tout point M du plan qui amène A en B, le déplacement de celui-ci parallèlement à [AB) et dans le sens de [AB).
 
La translation est souvent notée par la lettre t.
 
Donc, tAB est la translation qui amène A en B et  tBA est la translation qui amène B en A.
 
Si M est l'image de M par tAB alors :
 
 (MM)//(AB)
 
 MM=AB
 
 [AB)  et  [MM) ont même sens.

I.2. Construction et propriétés

a) Image d'un point

Soit A, B  et  M des points du plan. Construisons M image de M par la translation qui amène A en B  et  M l'image de M par la translation qui amène B en A.

 

 
tAB(M)=M{ (MM)//(AB) MM=AB [MM)  et  [AB) ont même sens
 
tBA(M)=M{ (MM)//(AB) MM=AB [MM)  et  [BA) ont même sens

b) Image d'un segment

Soit A  et  B deux points du plan. [IJ] un segment du plan.
 
Construisons l'image de [IJ] par la translation qui amène A en B.

 

 
IJ=IJ
 
(IJ)//(IJ)

Propriété

L'image d'un segment par une translation est un segment de même longueur qui lui est parallèle.

c) Image d'une droite

Soit (Δ) une droite, A  et  B deux points du plan. Construisons l'image de (Δ) par la translation qui amène A en B.

 

 

Propriété

L'image d'une droite par une translation est une droite qui lui est parallèle.

Application

Soit ^ABC un angle de 45.
 
I  et  J deux points du plan.
 
1) Construire l'image de ^ABC par la translation qui transforme J en I.
 
2) Que constates-tu ?

Solution

1) Construction

 

 
2) On constate que mes^ABC=mes^ABC

Propriété

L'image d'un angle par une translation est un angle de même mesure.

II. Vecteur

II.1. Définition et notation

Soit A  et  B deux points du plan. Le vecteur (A, B) est noté AB et il est déterminé par :
 
  sa direction : celle de la droite (AB)
 
  son sens : le sens de A vers B ou bien le sens du couple (A, B)
 
  sa longueur : la longueur du segment [AB]

Exemple

Marquer les points A  et  A tels que A soit distant de A de 4cm.
 
Donner les sens, directions et longueurs des vecteurs AA  et  AA

 

 
AA{ direction : celle de la droite (AA) sens : de A  vers A longueur : celle du segment [AA] égale à 4cm
 
AA{ direction : celle de la droite (AA) sens : de A  vers A longueur : celle du segment [AA] égale à 4cm
 
N.B : Si u est un vecteur du plan tel que u=ABA  et  B sont des points du plan alors, on dit que le vecteur u est un représentant du vecteur AB.

II.2. Vecteurs égaux

Deux vecteurs sont dits égaux s'ils ont même direction, même sens et même longueur.
 
N.B : Si u est un vecteur du plan alors, son opposé est noté u. Il a la même direction, la même longueur que le vecteur u mais de sens opposé à celui de u.

Exemple

Soit ABCD est un parallélogramme

 

 
alors, on a :
 
AB=DC  et  BA=CD
 
BA  et  DC sont opposés BA=DC

II.3. Parallélogramme et vecteur

  Si ABCD est un parallélogramme alors AB=DC
 
  Si AB=DC alors, ABCD est un parallélogramme (voir l'exemple précédent)

II.4. Milieu d'un segment et vecteur

  Si un point I est milieu d'un segment [AB] alors,
AI=IB

 
  Si les points A, B  et  I sont tels que AI=IB alors, I est milieu du segment [AB].
 
En effet, AI+BI=0 (vecteur nul)

II.5. Somme des vecteurs

Soit u  et  v deux vecteurs du plan.
 
u+v est aussi un vecteur du plan.

 

 

Application

Construire ABCD un parallélogramme. Indiquer sur la même figure les vecteurs suivants :
AB+AC,AD+DC

Solution


 
N.B : Pour tout vecteur AB du plan et M un point du plan, on a :
AB=AM+MB
C'est la relation de Chasles.

 

Auteur: 
Mamadou Siradji Dia

Commentaires

Je suis Professeur. Et j'aurai aimé avoir accès(télécharger) à ce fichier pour mes préparartions de cours

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