Théorèmes de la droite des milieux - 4e

 

Soit $ABC$ un triangle quelconque, $I$ milieu du segment $[AB]$ e $J$ milieu du segment $[AC].$

 

1) Faire une figure

 

2) Construire le point $K=S_{J}(I)$

 

3) Démontrer que $AICK$ est un parallélogramme

 

4) Démontrer que $BIKC$ est un parallélogramme

 

5) Quelle est la position des droites $(BC)\ $ et $\ (IJ)$

 

6) Montrer que $IJ=\dfrac{1}{2}BC$

1) et 2)

3) $J$ est milieu commun à $[AC]\ $ et $\ [IK]$ donc, $AICK$ est un parallélogramme.

 

4) On a : $(AB)//(KC)$ car $AICK$ est un parallélogramme.

 

Comme $I\in[AB]$ donc, $(BI)//(KC).$

 

De plus, $AI=KC$ car $AICK$ est un parallélogramme.

 

Comme $I$ est milieu de $[AB]$ donc, $AI=IB.$

 

Et finalement : $BI=KC\ $ et $\ (BI)//(KC)$ donc, $BIKC$ est un parallélogramme.

 

5) $BIKC$ est un parallélogramme donc, $(BC)//(IK).$

 

Comme $J\in[IK]$ donc, $(IJ)//(BC)$

 

6) $BIKC$ est un parallélogramme donc, $BC=IK.$

 

$J$ milieu de $[IK]$ donc, $IJ=JK\ $ et $\ IJ=\dfrac{1}{2}IK=\dfrac{1}{2}BC$

 

D'où, $\boxed{IJ=\dfrac{1}{2}BC}$

Dans un triangle, la droite qui passe par les milieux des deux côtés est parallèle au troisième côté.

$$\left.\begin{array}{r} I\text{ milieu de }[AB]\\ \\J\text{ milieu de }[AC]\end{array}\right\rbrace\ \Rightarrow\ (IJ)//(BC)$$

Soit $ABC$ un triangle, $I$ milieu de $[AB]\ $ et $\ D=S_{C}(A).$

 

Faire une figure et montrer que $(IC)//(BD)$

Considérons le triangle $ABD$

 

$I$ milieu de $[AB]$ par hypothèse

 

$C$ milieu $[AD]$ car $D=S_{C}(A)$

 

D'après Théorème 1 $(IC)//(BD).$

Dans un triangle le segment qui joint les milieux des deux côtés quelconques a pour longueur la moitié de la longueur du troisième côté.

$$\left.\begin{array}{r} I\text{ milieu de }[BC]\\ \\J\text{ milieu de }[AB]\end{array}\right\rbrace\ \Rightarrow\ IJ=\dfrac{1}{2}AC$$

Soit $MNL$ un triangle tel que :

$$MN=3\;cm\;,\quad ML=5\;cm\quad\text{et}\quad NL=3\;cm$$

$P=S_{N}(M)\ $ et $\ S=S_{L}(M)$

 

Faire une figure et calculer $PS.$

On considère le triangle $PMS$

 

$N$ milieu de $[PN]$ et $L$ milieu de $[MS]$

 

D'après le théorème 2, $NL=\dfrac{1}{2}PS$ donc,

 

$\begin{array}{rcl} PS&=&2NL\\ \\&=&2\times 3\;cm\\ \\&=&6\;cm\end{array}$

 

D'où, $\boxed{PS=6\;cm}$

Dans un triangle, la droite qui passe par le milieu d'un côté et qui est parallèle au deuxième côté coupe le troisième en son milieu.

$$\left.\begin{array}{l} I\text{ milieu de }[AB]\\ \\\text{la droite }(d)\text{ qui passe par }I\\ \\\text{est parallèle à }(BC)\end{array}\right\rbrace\ \Rightarrow\ (d)\text{ coupe }[AC]\text{ en son milieu}$$

Soit $KLM$ un triangle, $P$ milieu de $[KL].$

 

La droite passant par $P$ et parallèle à $(LM)$ coupe $[KM]$ en $S.$

 

Démontrer que $S$ est le milieu de $[KM].$

Soit $P$ milieu de $[KL]\ $ et $\ (PS)//(LM)$

 

D'après le théorème 3, $S$ est milieu de $[KM].$