Introduction à la géométrie - 6e
Classe:
Sixième
I. Observation de l'espace
I.1. Le Parallélépipède rectangle ou Le Pavé droit
Le parallélépipède rectangle est un polyèdre qui a :
− − Six faces rectangulaires (parallélogrammes) dont les faces opposées sont égales et parallèles deux à deux
− − Douze arêtes égales deux à deux
− − Huit sommets
![](https://sunudaara.com/sites/default/files/fig23_17.png)
Exemples : boites d'allumettes, boite de savon, boite de patte dentifrice, morceau de sucre
I.2. Le Cube
Le cube est un parallélépipède rectangle à :
− − Six faces carrées et égales
− − Douze arêtes de même longueur
− − Huit sommets
![](https://sunudaara.com/sites/default/files/fig24_18.png)
I.3. Le Cylindre
Le cylindre est un solide limité par une surface cylindrique et deux disques circulaires et parallèles
![](https://sunudaara.com/sites/default/files/fig27_18.png)
Exemples : pot de gloria, pot de tomates
I.4. La Sphère
La sphère est une surface fermée dont tous les points sont à la même distance (rayon) d'un point intérieur appelé centre.
![](https://sunudaara.com/sites/default/files/fig30_22.png)
Exemples : globe terrestre, boule bulle de savon, goutte d'eau
Une balle de ping-pong est une sphère de centre OO et de rayon 2cm.2cm. Tous les points qui lui appartiennent se trouvent à 2cm2cm de O.O.
La Terre est une boule de centre OO et de rayon 6370km.6370km. Tous les points qui lui appartiennent se trouvent à moins de 6370km6370km de O.O.
Aire de la sphère : A=4πr2A=4πr2
Exemple : Surface terrestre
A=4×π×63702A=4×π×63702
A≈509904364Km2≈5.1108Km2A≈509904364Km2≈5.1108Km2
Volume de la boule : V=43πr3V=43πr3
Exemple : Volume de la terre
V=43πr3=4×π×637033V=43πr3=4×π×637033
V≈1082696932430Km3≈1.11012V≈1082696932430Km3≈1.11012
II. Plan et point
Le tableau, la surface d'une feuille de cahier, celle de l'ardoise ou table matérialisent un plan : ce sont des réductions d'un plan ou partie d'un plan.
Lorsqu'on pose la pointe du stylo sur la feuille; celle-ci laisse une trace appelée un point.
Le plan est illimité et formé d'un ensemble infini de points. Le point est donc un élément du plan.
Activité
Soit le plan nommé (P).(P). Placer les points A, B, C A, B, C et D D tels que :
A∈(P), B∈(P), C∈(P), D∉(P)A∈(P), B∈(P), C∈(P), D∉(P)
Solution
![](https://sunudaara.com/sites/default/files/fig31_22.png)
III. Droites et points alignés
Activité
Soit AA un point du plan. Tracez une droite (D)(D) passant par ce point.
Marquez deux points E E et F F de part et d'autre de la droite (D)(D) puis un point BB sur cette même droite (D).(D).
1) Que peut-on dire des points A, B, E, FA, B, E, F par rapport à la droite (D) ?(D) ?
2) Si le point CC appartient à (D)(D) comment sont les trois points A, BA, B, et C ?C ?
Solution
![](https://sunudaara.com/sites/default/files/fig32_18.png)
1) On peut dire que A A et B B appartiennent à la droite (D)(D) et que les points E E et F F n'appartiennent pas à (D)(D)
2) Si le point CC appartient à (D)(D) alors, les trois points A, B A, B , et C C sont alignés.
III.1. Définition et notation
Une droite est un ensemble de points alignés. Pour noter une droite; on utilise deux parenthèses entre lesquelles on met :
− − Une lettre en gros caractère ou en minuscule :
(D), (L), (Δ), (d)(D), (L), (Δ), (d)
− − Deux lettres en gros caractère dont chacun désigne un point fixe sur la droite :
(AB), (EF), (FG), (XY)(AB), (EF), (FG), (XY)
− − Deux lettres en minuscules dont chacun désigne un point variable sur la droite :
(xy), (xx′), (yy′)
III.2. Propriétés
Activité 1
Marquez un point A.
Tracez toutes les droites possibles passant par le point A.
Que remarquez-vous ?
Solution
![](https://sunudaara.com/sites/default/files/fig33_16.png)
On remarque qu'il y a plusieurs droites qui passent par ce même point A.
Propriété 1
Par un point du plan, passe une infinité de droites.
Activité 2
Marquez deux points A et B.
Tracez toutes les droites passant par A et B.
Combien y en a-t-il ?
Solution
![](https://sunudaara.com/sites/default/files/fig34_17.png)
On constate qu'il y a une seule droite qui passe par A et B.
Propriété 2
Par deux points du plan; passe une et une seule droite.
Remarque
− Une droite peut être prolongée infiniment dans les deux cotés (sens) : on dit que la droite est illimitée.
− Chaque droite partage le plan en deux demi-plans.
IV. Demi-droite et segment
IV.1. Demi-droite
Activité
Soit la droite (D).
Placer sur (D), les points A, B, C et D.
Trouver le nombre de demi-droites sur cette droite. Nommer en deux demi-droites.
Solution
![](https://sunudaara.com/sites/default/files/fig35_20.png)
Définition
On appelle demi-droite; une portion de droite limitée en un point appelé origine et illimité de l'autre coté.
On note une demi-droite par deux points pris entre un crochet et une parenthèse.
Remarque
Soient A, B et C trois points dans cet ordre sur une droite.La demi-droite [AB) et [BC) ont la même origine et sont portées par la même droite.
On dit qu'elles sont opposées.
IV.2. Segment
Activité
Sur une droite (D) du plan, marquer les points E, F, G, H et I dans cet ordre.
Déterminer tous les segments de la figure.
Solution
![](https://sunudaara.com/sites/default/files/fig36_21.png)
Définition
On appelle segments toute portion de droite limitée par deux points appelés extrémités.
Deux segments qui ont les mêmes extrémités sont égaux.
On note un segment par deux points entre deux crochets.
Remarque
Une demi-droite ou un segment sont toujours portés par une droite.
V. Position relative de deux droites
V.1. Droites sécantes
![](https://sunudaara.com/sites/default/files/fig37_21.png)
Deux droites sont sécantes lorsqu'elles se coupent en un point ; elles forment une intersection.
On dit que :
− Les droites (D) et (D′) se coupent en I.
− Les droites (D) et (D′) sont sécantes I.
− Les droites (D) et (D′) sont concourantes en I.
− L'intersection de (D) et (D′) est le point I.
On note :
(D)∩(D′)=I
Deux droites sécantes partagent le plan en quatre parties appelées secteurs.
V.2. Droites disjointes
Deux droites sont disjointes sont deux droites qui n'ont aucun point commun.
Si (D) et (D′) sont disjointes on a :
(D)∩(D′)={∅}
![](https://sunudaara.com/sites/default/files/fig44_16.png)
V.3. Droites confondues
Deux droites confondues ont tous leurs points communs.
![](https://sunudaara.com/sites/default/files/fig45_18.png)
VI. Mesure de longueurs de segments
VI.1. Longueur d'un segment
Activité
Soit le segment [AB].
Construis le segment [FG] de même longueur que [AB] et de support (D).
Sur (D′), construis [GH] de même longueur que [FG].
Solution
![](https://sunudaara.com/sites/default/files/fig38_19.png)
Définition
La mesure d'un segment ou la longueur d'un segment est la distance qui sépare les deux extrémités du segment.
Notation : La mesure d'un segment [AB] est noté : AB.
Codage : Sur une figure, les segments de même longueur sont codés par un même signe ou symbole.
VI.2. Rapport de deux longueurs
Activité
Soient les segments : [AB], [CD] et [EF].
Comparer les mesures de ces trois segments pris deux à deux.
Solution
![](https://sunudaara.com/sites/default/files/fig39_18.png)
Avec une règle graduée, on a :
mesure de [AB] égale 3cm
mesure de [CD] égale 2.5cm
mesure de [EF] égale 2cm
Donc, AB>CD, CD>EF et AB>EF.
VI.3. Milieu d'un segment
Activité
Trace un segment [AB] de longueur 8cm.
Plie la feuille suivant (AB).
Plie à nouveau la feuille pour que A et B coïncident.
Déplie la feuille; note (D) la droite de pliage ne contenant pas A et B, et I le point commun à (D) et (AB).
Que peut-on dire de IA et IB ?
Définition
On appelle milieu d'un segment, le point de ce segment qui est égale distance de ses extrémités.
Construction
![](https://sunudaara.com/sites/default/files/fig40_20.png)
Traduction mathématique
I est le milieu de [AB] signifie que :
AI=IB
Remarque
Ne pas confondre :
− (AB) qui est la droite passant par les points A et B
− [AB) qui est la demi-droite d'origine A et passant par le point B
− [AB] qui est le segment d'extrémités A et B
− AB qui est la distance entre les points A et B
VII. Inégalité triangulaire
Activité
1) Trace un segment [AB] de longueur 6cm.
Marquer un point M∈[AB] et utilise ta règle graduée pour comparer AM+MB et AB.
2) Le résultat sera-t-il différent si tu choisissais d'autres points de [AB] ?
Donne une conclusion.
3) Marque un point N∈(AB) et non à [AB].
Utilise ta règle graduée pour comparer AN+NB et AB.
Solution
![](https://sunudaara.com/sites/default/files/fig41_17.png)
1) AM=2cm et MB=4cm
Donc, AM+MB=2cm+4cm=6cm
D'où, AM+MB=AB.
2) Le résultat sera le même si on choisissait d'autres points de [AB].
Conclusion : Lorsque M appartient au segment [AB] alors, on a : AM+MB=AB
3) AN=7cm et NB=1cm
Donc, AN+NB=7cm+1cm=8cm
D'où, AN+NB>AB.
Propriété 1
Si M∈[AB] alors, on a :
AM+MB=AB
Exercice d'application
Soit [AB] de mesure 5cm.
Marquer M∈[AB] tel que MA=2cm.
Déterminer MB
Solution
![](https://sunudaara.com/sites/default/files/fig46_14.png)
Comme M∈[AB] alors, on a :
AM+MB=AB
Par suite, MB=AB−AM
D'où, MB=5cm−2cm=3cm
Propriété 2 (réciproque de la propriété 1)
Si AM+MB=AB alors, M∈[AB]
Activité
trace un triangle ABC et, sans mesurer, complète :
AC+CB⋯AB,AB+BC⋯AC,BA+AC⋯BC
![](https://sunudaara.com/sites/default/files/fig42_19.png)
AC+CB>AB,AB+BC>AC,BA+AC>BC
Propriété 3
Si M n'appartient pas à [AB] alors, on a :
AM+MB>AB
Exercice d'application
Soit ABC un triangle tel que AB=2cm, BC=3cm et AC=4cm.
Montrer que A n'appartient pas à [BC]
Solution
![](https://sunudaara.com/sites/default/files/fig43_16.png)
Calculons BA+AC
On a : BA+AC=2cm+4cm=6cm
Par suite, nous constatons que : BA+AC>BC
Ce qui montre que le point A n'appartient pas au segment [BC].
Commentaires
Marie tening (non vérifié)
sam, 11/28/2020 - 21:17
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Deux segments qui ont les
fdini
dim, 11/29/2020 - 11:17
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un segment a deux extrémités
un segment a deux extrémités donc, si deux segments [AB] et [CD] ont les mêmes extrémités cela veut dire par exemple que A=C et B=D ou encore, A=D et B=C d'où [AB]=[CD]
En fait il ne faut pas confondre avec les extémités des vecteurs ; c'est différent
deux vecteurs peuvent avoir les mêmes extrémités sans être égaux
Mor Ndiaye sow (non vérifié)
lun, 04/05/2021 - 20:34
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si vous connaissez un
Anonyme (non vérifié)
mer, 05/19/2021 - 20:00
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<script>alert('Bienvenue !')<
Anonyme (non vérifié)
lun, 10/25/2021 - 11:38
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Je souhaiterais avoir le
Anonyme (non vérifié)
mar, 02/15/2022 - 01:10
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pdf
Anonyme (non vérifié)
mar, 02/15/2022 - 01:12
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puis-je avoir ce document
Anonyme (non vérifié)
ven, 07/14/2023 - 10:57
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bien
Wan- gbi dackis... (non vérifié)
mar, 12/10/2024 - 05:19
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Avoir des notions sur la géométrie de sixieme
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