Bac Maths D, Burkina 2012

On considère les équations différentielles suivantes : $$\left(E_{1}\right)\ :\ y''+4y=0\quad\text{et}\quad\left(E_{2}\right)\ :\ y''+y=0$$  

1. Déterminer la solution de l'équation $\left(E_{1}\right)$ dont la courbe représentative dans un repère orthonormal $(O\ ;\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$ passe par le point $A(0\ ;\ −2)$ et admet en ce point une tangente horizontale

2. Déterminer la solution $g$ de l'équation $\left(E_{2}\right)$ vérifiant : $\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=−1$ et $g'\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=−1$

3. Soit $(\mathcal{C})$ la courbe définie par le système d'équations paramétriques :  
$$\left\lbrace\begin{array}{lcl} x(t)&=&−2\cos 2t\ ;\ \quad t\in\mathbb{R}\\                                                                                                               y(t)&=&\cos t-\sin t \end{array}\right\rbrace$$
 
a) Déterminer la période commune des fonctions $x$ et $y$ ; comparer la position des points $(t)$ et $(t+\pi)$, puis en déduire un élément de symétrie de $(\mathcal{C}).$

Justifier le choix de $[0\ ;\ \pi]$ comme ensemble d'étude.  

b) Étudier les fonctions $x$ et $y$ sur $[0\ ;\ \pi]$ et dresser leur tableau de variations conjoint.  

c) Représenter la courbe $(\mathcal{C})$ dans un repère orthonormal $(O\ ;\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$ $($unité graphique $2\,cm)$

On précisera les tangentes particulières ainsi que les tangentes en $O.$

$\sqrt{2}\simeq 1.4.$

On lance un dé tétraédrique dont les quatre faces portent les nombres $1$, $2$, $3$ et $4.$

On s'intéresse au nombre porté par la face cachée.

Pour $k\in{1\;,\ 2\;,\ 3\;,\ 4}$, on note $P_{k}$ la probabilité d'obtenir le nombre $k$ sur la face cachée.

Le dé est déséquilibré de telle sorte que les nombres $P_{1}$, $P_{2}$, $P_{3}$ et $P_{4}$ dans cet ordre forment une progression arithmétique  

1. Sachant que $P_{4}=0.4$ ; montrer que $P_{1}=0.1$ ; $P_{2}=0.2$ et $P_{3}=0.3$  

2. On lance le dé trois $(3)$ fois de suite.

On suppose que les lancers sont deux à deux indépendants  

a) Quelle est la probabilité d'obtenir dans l'ordre les nombres $1$, $2$, $4$ ?  

b) Quelle est la probabilité d'obtenir trois nombres distincts rangés dans l'ordre croissant ?  

3. On lance dix $(10)$ fois de suite le dé.

On suppose les lancers deux à deux indépendants.

On note $X$ la variable aléatoire qui décompte le nombre de fois où le chiffre $4$ est obtenu.  

a) Pour $0\leq\mathrm{i}\leq 10$, exprimer en fonction de $i$ la probabilité de l'évènement $(X=\mathrm{i})$

b) Calculer l'espérance mathématique de $X.$

Interpréter le résultat obtenu.  

c) Calculer la probabilité de l'évènement $(X\geq 1).$

On donnera une valeur arrondie au millième

4. On lance $n$ fois le dé, les lancers étant supposés indépendants.

On note $u_{n}$ la probabilité d'obtenir pour la première fois le nombre $4$ au nième lancer.  

a) Montrer que $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique et qu'elle converge.  

b) Calculer $S_{n}=u_{1}+u_{2}+\ldots+u_{n}$ en fonction de $n$ puis étudier la convergence de la suite $S_{n}$  

c) Déterminer le plus petit entier $n$ tel que $S_{n}\geq 0.999$

On donne $(0.6)^{10}\simeq 0.00604$ ;

$\ln(0.001)\simeq -6.90$ ;

$\ln(0.6)\simeq −0.51.$

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}\setminus{1}$ par : $f(x)=\dfrac{x+\ln|1-x|}{1-x}$ et $(\mathcal{C})$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormal $(O\ ;\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$ d'unité graphique $2\,cm.$  

1. Calculer les limites de $f$ aux bornes de son ensemble de définition.

En déduire les asymptotes à $(\mathcal{C})$  

2. Soit $f'$ la fonction dérivée de $f$, calculer $f'(x)$ puis étudier son signe.

En déduire le sens de variation de $f$  

3. Dresser le tableau de variations de $f$  

4. Montrer que le point $(1\ ;\ −1)$ est un centre de symétrie pour $(\mathcal{C})$  

5. Tracer $(\mathcal{C})$ et les asymptotes.  

Soit les fonctions $u$ et $v$ définies sur $]1\ ;\ +\infty[$ par : $$u(x)=\dfrac{-1}{1-x}\quad\text{et}\quad v(x)=\dfrac{\ln(x-1)}{x-1}$$

1. Déterminer une primitive de chacune des fonctions $u$ et $v$ sur $]1\ ;\ +\infty[$

2. Vérifier que pour tout réel $x>1$ ; $-1-(x)=(x)+(x)$  

3. Calculer, en $cm^{2}$, la valeur exacte de l'aire $\mathcal{S}$ du domaine plan compris entre $(\mathcal{C})$ et les droites d'équations respectives $y=-1$, $x=2$ et $x=3$  

On considère la suite $\left(U_{n}\right)$ définie sur $\mathcal{N}$ par :
$$\left\lbrace\begin{array}{lcl} &u_{0}&\\  u_{n+1}&=&4-\mathrm{e}^{-u_{n} }\\ \end{array}\right\rbrace$$ pour tout $n\in\mathbb{N}.$

1. Montrer, par récurrence, que pour tout entier non nul $n\;,\ 3<u_{n}<4$

2. a) Montrer que, pour tout entier naturel non nul $n\;,\ u_{n+1}-u_{n}$ et $u_{n}-u_{n−1}$ sont de même signe       

b) Étudier le sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$   

3. Étudier la convergence de la suite $\left(u_{n}\right)$

N.B :

On donne : $\mathrm{e}^{−3}\simeq 0.05$ et $\mathrm{e}^{−4}\simeq 0.0$