Bac Maths D, Niger 2010

 

Exercice 1 

On considère, dans C, l'équation : (E) : z333iz2(933i)z+8=0     
 
1. Montrer que (E) possède une solution réelle z1 que l'on déterminera. 
 
2. Résoudre (E). 
 
3. Écrire les trois solutions z1z2, z3 sous forme trigonométrique. 
(|z2|<|z3|) 
 
4. Dans le plan P muni d'un repère orthonormé direct (O, I, J), on considère les trois points : 
 
M1 d'affixe z1, M2 d'affixe z2 et M3 d'affixe Z3. 
 
Soit S la similitude plane directe transformant M1 en M2 et M2 en M3. 
 
Préciser les éléments caractéristiques de S. 

Exercice 2 

On considère l'équation différentielle : y+4y=3sin(x)(1)
 
1. Déterminer le réel α pour que la fonction g, définie par g(x)=αsin(x) soit une solution de (1). 
 
2. a) Démontrer qu'une fonction f, deux fois dérivable sur R, est solution de (1) si et seulement si la fonction fg est solution de l'équation différentielle :   y+4y=0(2). 
 
b) Résoudre l'équation différentielle (2). 
 
C) En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle (1). 
 
d) Trouver la solution de (1) vérifiant les conditions : f(π2)=0etf(π)=0. 

Problème 

A. On considère la fonction numérique f définie sur R par : 
f(x)=|x+1|+1x1
                                                                                                       
1. Donner le domaine de définition de  f et écrire f(x) sans le symbole de valeur absolue. 
 
2. Étudier les limites aux bornes du domaine de définition de f. 
 
3. Étudier la dérivabilité de f en 1. 
 
4. Étudier la variation de f et dresser son tableau de variation. 
 
5. Montrer que la courbe représentative (C) de f admet trois asymptotes dont on donnera les équations. 
 
6. Construire la courbe représentative (Cf) dans un repère orthonormé (O, I, J) (unité : 2cm). 
 
7. Montrer que la restriction de f à [0, 1[ est une bijection de [0, 1[ sur un intervalle J que l'on précisera. 
 
Tracer la courbe représentative de cette bijection sur le même graphique que (C). 
 
8. a) Calculer les intégrales : S1=12f(x)dxetS2=01f(x)dx. 
 
b) En déduire l'aire de la portion du plan limitée par la courbe (C), l'axe des abscisses et les droites d'équations x=2 et x=0. 
 
B. a) A toute suite (Un)nN, de nombres réels strictement supérieurs à 1, on associe la suite (Vn)nN définie par Vn=ln(Un1). 
 
Sachant que (Vn) est une suite arithmétique, de raison (r0) et de premier terme V1=0, donner l'expression du terme général Un en fonction de n et de r. 
 
b) Comment choisir le réel r pour que la suite (Un)nN soit convergente ? 
 
Donner la limite. 
 
c) Calculer, en fonction de Un, l'aire de la partie du plan limitée par la courbe (C) de f, les droites d'équations y=x+1, x=2 et x=Un. 
 

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