Bac Maths D, Togo 2019

Exercice 1

Soit les deux intégrales définies par : $$I=\int_{0}^{\pi}\mathrm{e}^{x}\cos^{2}x\mathrm{d}x\quad\text{et}\quad J=\int_{0}^{\pi}\mathrm{e}^{x}\sin^{2}x\mathrm{d}x$$  

1. Calculer $I+J.$

2. a) Montrer que $$J-I =\int_{\pi}^{0}\mathrm{e}^{x}\cos ax\mathrm{d}x$$ où $a$ est un réel à déterminer.

b) A l'aide d'une double intégration par partie, démontrer que $$J-I=\dfrac{1}{5}\left(1-\mathrm{e}^{\pi}\right).$$
 
3. Déterminer les valeurs exactes de $I$ et de $J.$

Exercice 2 

I. Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé $\left(O\;,\ \vec{u}\;,\ \vec{v}\right)$ on considère les points $A$, $B$, $C$ et $D$ d'affixes respectives : $$z_{A}=-\mathrm{i}\ ;\ z_{B}=1+\mathrm{i}\ ;\ z_{C}=-1+2\mathrm{i}\ ;\ z_{D}=-2.$$

1. Placer sur une figure les points $A$, $B$, $C$ et $D.$

2. a) Interpréter géométriquement le module et l'argument du nombre complexe $\dfrac{z_{A}−z_{C}}{z_{B}−z_{D}}=z.$

b) calculer le nombre complexe $z.$    

3. Déterminer le module et l'argument de $z$ puis en déduire la nature du quadrilatère $ABCD.$

II. Soit $\lambda$ un nombre complexe de module $1$ différent de $1.$

On définit, pour tout entier naturel $n$ la suite  $\left(z_{n}\right)$ de nombres complexes par :
$$\left\lbrace\begin{array}{lcl} z_{0}&=&0\\ z_{n+1}&=&\lambda z_{n}-\mathrm{i} \end{array}\right\rbrace$$

On note $M_{n}$ le point d'affixe $z_{n}.$

1. a) Calculer $z_{1}$ ; $z_{2}$ et $z_{3}.$

b) Démontrer que $$\forall\,n\in\mathbb{N^{\ast}}\;,\ z_{n}=-\left(\lambda^{n-1}+\lambda^{n-2}+\ldots+\lambda+1\right)\mathrm{i}.$$  

c) En déduire que $\forall\,n\in\mathbb{N^{\ast}}\;,\ z_{n}=\dfrac{1-\lambda^{n}}{\lambda-1}\mathrm{i}.$      

2. On suppose qu'il existe un entier naturel $k$ tel que $\lambda^{k}=1.$

Démontrer que pour tout entier naturel, $z_{n+k}=z_{k}.$      

3. Étude du cas $\lambda=\mathrm{i}.$          

a) Montrer que $\forall\,n\in\mathbb{N}\;,\ \forall\,k\in\mathbb{N}\;,\ z_{k}=z_{4n+k}.$

b) Montrer que $M_{n+1}$ est l'image de $M_{n}$ par une rotation $\phi$ dont on précisera le centre et l'angle.

c) Déterminer les images de $A$, $B$, $C$ et $D$ par $\phi$ et placer dans le repère précédent ces images.
     
d) Montrer que $\forall\,n\in\mathbb{N}\;,\ z_{4n+1}=\mathrm{i}.$   

Exercice 3 Problème

Partie A 

1. Résoudre l'équation différentielle $(E)\ :\ 2y'-y=0$ dont l'inconnue est une fonction définie et dérivable sur $\mathbb{R}.$
 
2. On considère l'équation différentielle $(E')\ :\ 2y'-y=(1-x)\mathrm{e}^{\dfrac{x}{2}}.$

a) Déterminer deux réels $m$ et $p$ tels que la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $$f(x)=(mx^{2}+px)\mathrm{e}^{\dfrac{x}{2}}$$ soit solution de $(E').$

b) Soit $g$ une fonction définie et dérivable sur $\mathbb{R}.$

b.1 Montrer que $g$ est solution de $(E')$ si, et seulement si $g-f$ est solution de $(E).$  

b.2 Résoudre l'équation $(E').$     

3. Déterminer la solution $g_{0}$ de $(E')$ dont la courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormé $\left(O\ ;\ \vec{i}\;,\ \vec{j}\right)$ passe par le point $A(1\ ;\ 0).$

Partie B 

Soit $h$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $$h(x)=-\dfrac{1}{4}(x-1)\mathrm{e}^{\dfrac{x}{2}}.$$

On désigne par $(\mathcal{C})$ se représentation graphique dans le plan muni d'un repère orthonormé $\left(O\ ;\ \vec{i}\;,\ \vec{j}\right).$

Unité graphique $1\,cm.$

1. Déterminer les limites de la fonction $h$ en $-\infty$ et en $+\infty.$

2. Étudier la dérivabilité de $h$ sur $\mathbb{R}$, et déterminer la fonction dérivée $h'$ de $h.$

3. Étudier le sens de variation de la fonction $h$ puis dresser son tableau de variation.
 
4. Soit $\phi$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $\phi(x)=-\mathrm{e}^{\dfrac{x}{2}}$ et par $(\Gamma)$ sa courbe représentative

a) Étudier les positions relatives de $(\mathcal{C})$ et $(\Gamma).$

b) Construire les courbes $(\mathcal{C})$ et $(\Gamma)$ dans le même repère.
 
5. a) Déterminer trois réels $a$, $b$ et $c$ tels que la fonction $H\ ∶\ x\longrightarrow\left(ax^{2}+bx+c\right)\mathrm{e}^{\dfrac{x}{2}}$ soit une primitive de $h$ sur $\mathbb{R}.$

b) Calculer en $cm^{2}$ l'aire $\mathcal{A}$ du domaine du plan limité par la courbe $(\mathcal{C})$, $(\Gamma)$ et les droites d'équations $x=-1$ et $x=3.$

Partie C

On pose la suite $\left(U_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : $$U_{n}=\int_{n+1}^{n+2}−h(t)\mathrm{d}t$$  

1. Interpréter géométriquement $U_{0}$

2. a) Démontrer que pour tout entier naturel $n$, $ih(n+1)\leq U_{n}\leq -n(n+2).$$

b) En déduire le sens de variation de la suite $\left(U_{n}\right).$      

3. La suite $\left(U_{n}\right)$ est-elle convergente ?