Bac Maths D, Union des Comores 2018

Exercice 1 

Comores Télécom propose un jeu qui consiste à tirer au hasard, successivement et sans remise deux téléphones dans un carton qui contient deux téléphones de marque Samsung et cinq de marques ALCATEL.

Soit l'évènement A : « obtenir deux téléphones de marques différentes » (Les résultats seront donnés sous forme d'une fraction irréductible)

1. Calculer la probabilité de l'évènement A.

2. Soit X la variable aléatoire qui à chaque tirage de deux téléphones associe le nombre de téléphones de marque Samsung obtenu.

a) Définir l'évènement suivant : (X=2).

b) Calculer la probabilité de l'évènement (X=2).

c) En déduire : P[(X=2]A.

3. Maintenant, on suppose que le carton contient n téléphones dont deux de marques Samsung et les autres de marques ALCATEL où n est un naturel non nul.  

On tire au hasard successivement et sans remise deux téléphones.

On note par Pn la probabilité de l'évènement A.

a) Montrer que Pn=4(n2)n(n1)
 
b) Retrouver le résultat de la question 1.   

Exercice 2

Une région est attaquée par une épidémie.

On a relevé les différents cas constatés durant les semaines.

Les résultats sont donnés dans le tableau ci-dessous :     
Rang de la123456semaine : xiNombre des112334cas identifiés : yi

On définit ainsi une série statistique double.

1. Représenter les nuages des points de cette série, dans un repère orthonormé.  

2. Calculer les coordonnées du point moyen G de cette série.

Placer le point G.

3. En utilisant la méthode de MAYER, montrer que, la droite de régression de y en x, notée (d), a pour équation y=23x.

Tracer (d).

4. En supposant que cette tendance reste uniforme, déterminer le nombre des cas de cette épidémie à la douzième semaine.

Exercice 3

Partie A

Racine d'une équation du second degré à coefficient réel, dans l'ensemble des nombres complexes.

On considère l'équation (E), à variable complexe : z22z+5=0.

1. Montrer que si un nombre complexe z0 est une solution de l'équation (E), alors son conjugué ¯z0 est aussi solution de (E).

2. Vérifier que le nombre complexe 12i est une racine de l'équation (E).

3. En déduire la deuxième racine, notée z1 de l'équation (E).

Partie B Complexe et géométrie

Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct (O ; u ; v), on donne les points E, B et P d'affixe respectives 3 ; 12i et 1+2i.

1. Placer ces points dans le repère.

(on complétera au fur et à mesure).

2. a) Écrire le nombre complexe zBzEzPzE sous forme algébrique.

b) En déduire la nature du triangle BEP.

3. Déterminer l'affixe du point C pour que le quadrilatère BEPC soit un carré.

4. S la similitude plane directe du plan qui transforme E en B et le point B en C.

a) Montrer que l'écriture complexe de S est : z=iz+1+i.

b) En déduire les éléments caractéristiques de S.

c) Quelle est l'image, par la similitude S, du carré BEPC.

5. Calculer, en cm2, la surface du quadrilatère BEPC.

Problème

La partie A est largement indépendante des deux dernières (B et C).

Partie A  

On considère l'équation différentielle suivante : (E) : y   
 
1. Vérifier que la fonction U et V définies sur \mathbb{R} par U(x)=\mathrm{e}^{-2x}\quad\text{et}\quad V(x)=\mathrm{e}^{x}, sont les solutions de (E).

2. Montrer que, la fonction g définie sur \mathbb{R} par, g(x)=aU(x)+bV(x), est solution de (E)a et b sont des constantes réelles.

3. Déterminer alors, l'unique solution g de (E) vérifiant : g(0)=1 et g'(0)=-2.

Partie B Étude d'une fonction

Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par : f(x)=(1+2x)\mathrm{e}^{-2x}.

On note par \left(\mathcal{C}_{f}\right) la courbe représentative de f dans un repère orthonormé (O\ ;\ \vec{\mathrm{i}}\ ;\ \vec{j}).

1. Dresser le tableau de variation de f.

2. Tracer \left(\mathcal{C}_{f}\right).

3. a) Montrer que la fonction H(x)=(−x-1)\mathrm{e}^{-2n} est une primitive de f sur \mathbb{R}.

b) Calculer alors la valeur exacte de la surface du domaine du plan limité par \left(\mathcal{C}_{f}\right), l'axe des abscisses et les droites d'équations x=0 et x=1.

Partie C Étude d'une suite  

On considère les suites \left(V_{n}\right) et \left(S_{n}\right) définies par :  
V_{n}=\int^{n}_{0}f(x)\mathrm{d}x\quad\text{et}\quad S_{n}=f(0)+f(1)+f(2)+\ldots+f(n)\ ;\ pour tout entier n.

1. a) Montrer que, pour tout entier naturel n, on a : V_{n}=1-(n+1)\mathrm{e}^{-2n}.

b) Déterminer alors la limité de la suite \left(V_{n}\right).
 
2. a) Montrer que, pour entier naturel k, tel que 0\leq k\leq n-1 on a :  
f(k+1)\leq\int^{k+1}_{k}f(x)\mathrm{d}x\leq f(k).
                                                                                                     
b) En déduire que, pour tout entier naturel n, on a :  S_{n}-f(0)\leq V_{n}\leq S_{n}-f(n).  

3. Établir que, pour tout entier nature n, on a :  
V_{n}+(1+2n)\mathrm{e}^{-2n}\leq S_{n}\leq 1+V_{n}.  

4. On admet que la suite \left(S_{n}\right) converge vers un réel L.

Justifier que 1\leq L\leq 2.

 

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