Fonction Logarithme népérien

Definition:

La fonction logarithme népérien, notée ln, est la bijection réciproque de la fonction exp pour tout x de ]0,+[ et pour tout y de R, lnx=y, si et seulement si ey=x

Propriétés

    Pour tout x element de ]0,+[, on a elnx=x
    Pour tout x de R, lnex=x
    ln1=0
    lne=1
    {x]0,+[y=lnxx=ey
    La fonction logarithme népérien est une bijection de ]0,+[ dans R

Propriétés

La fonction ln est définie sur ]0,+[ et verifie pour tout x, y element de ]0,+[,

    lnxy=lnx+lny
    ln1x=lnx
    lnxy=lnxlny
    lnx=12lnx
    Pour tout nZ, lnxn=nlnx

Propriétés

 Soient a1,a2,...,an n réels strictement positives, on a:

      ln(a1a2...an)=lna1+lna2+...lnan

Limite et continuité

La fonction ln est continue sur ]0,+[, et on a:

pour tout x appartenant à ]0,+[,

    limx+lnx=+
    limx0lnx=
    limx+lnxxr=0 si r>0
    limh(x)0ln(1+h(x))h(x)=1
     limx0xrlnx=0 si r>0

Dérivation

    La fonction ln est dérivable sur ]0,+[, et on a pour tout x>0,

(lnx)=1x

    La fonction ln est strictement croissante sur ]0;+[, et on a pour tout x>0,y>0,

x<ylnx<lny
x=ylnx=lny

     Si une fonction u est positive et ne s'annule pas sur un intervalle I, alors lnu estdérivable sur I, et pour tout x de I:

(ln(u))=u(x)u(x)

Fonction logarithme décimal

On appelle fonction logarithme décimal, la fonction noté log définie sur ]0;+[ par

logx=lnx10

La démonstration des propriétés est en cours.
 

Commentaires

Ses trop cool ce site cela vas beaucoup m'aider

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