Solutions des exercices : Fonctions polynômes - 1e S

Classe: 
Première
 

Exercice 1 

1) a) degP=3 si et seulement si m2m0, ce qui équivaut à : m=0oum=1.
 
b) degP=3 si et seulement si {m2m=0etm0
 
Ces conditions équivalent à m=1.
 
c) degP=1 si et seulement si {m2m=0m=0m10
 
Ces conditions équivalent à m=0.
 
2) a) degQ=3 si et seulement si m3m26m=0, ce qui équivaut à :
 
m(m2m6)=0m=0oum=2oum=3.
 
b) degQ=2 si et seulement si {m3m26m=0etm2+m20
 
Ces conditions équivalent à : {m=0oum=2oum=3etm1etm2

Soit à : m=0oum=3.
 
c) degP=1 si et seulement si
 
{m3m26m=0m2+m2=0m1{m=0oum=2oum=3m=1oum=2m1
 
Ces conditions simultanées équivalent à m=2.

Exercice 2

a) Le degré de f est toujours égal à 5 car le coefficient de x5 est constant (et égal à 2).
 
b) Le degré de f est toujours égal à 2 car le coefficient de x2 est m2+1 qui ne s s'annule jamais.
 
c) Le degré de f est égal à 3 si m1, à 2 si m=1. 
 
Il n'est jamais égal à 1 car (m1) et (m+1) ne s'annulent pas simultanément.
 
d) Le degré de f est égal à 3 si m1 et m1, à 2 si m=1 car alors le coefficient de x3 s'annule, mais pas celui de x2 et à 1 si m2 et à 1 si m=1, car alors les coefficients de x3 et de x2 s'annulent tandis que celui de x reste non nul (égal à 3).

Exercice 3

On fait usage dans chaque cas du tableau de Hörner :
 
1) 
1021363393613120
 
L'équation x23x+12=0 n'a pas de racines. 
 
P(x)=(x3)(x23x+12)
 
2) En utilisant la même méthode, on trouve : P(x=(x+1)2(2x1)
 
3) En utilisant la même méthode, on trouve : P(x)=(x3)(x25x+8)
 
4) En utilisant la même méthode, on trouve : P(x)=(x+1)(x4)(2x1)
 
5) En utilisant la même méthode, on trouve : P(x)=(x1)(x+1)(3x22x+3)
 
6) En utilisant la même méthode, on trouve : P(x)=(x3)(x+3)(3x+2)
 
7) En utilisant la même méthode, on trouve : P(x)=(x+2)(x1)2(2x+1)
 
8) En utilisant la même méthode, on trouve : P(x)=(x2)(x+1)(x2+x+1)

Exercice 4

1) On cherche P(x) sous la forme P(x)=ax2+bx+c.
 
 Alors,P(x)P(x1)=ax2+bx+c[a(x1)2+b(x1)+c]=2axa+b

(après calcul et simplification). 

 
Par identification, on obtient :
 
{2a=1a+b=0, soit a=b=12, c étant arbitraire.
 
P(x) est donc de la forme 12x2+12x+c
 
2) L'égalité P(x)P(x1)=x, appliquée successivement aux entiers 1, 2,, n, donne : 
{(P(1)P(0))=1(P(2)P(1))=2(P(n1)P(n2))=n1P(n)(P(n1))=n
 
D'où, par addition membre à membre, certains termes se « télescopant », on a :
 
P(n)P(0)=1+2+3++n().
 
Mais on a aussi : 
 
P(n)=12n2+12n+c et P(0)=c, d'où P(n)P(0)=12n2+12n()
 
Par comparaison de () et de (), on en déduit que : 
 
1+2+3++n=12n2+12n=n(n+1)2.

Exercice 5

1) On cherche P(x) sous la forme P(x)=ax3+bx2+cx+d.
  
 Alors,P(x)P(x1)=ax3+bx2+cx+d[a(x1)3+b(x1)2+c(x1)+d]=3ax2+(2b3a)x+ab+c

(après calcul et simplification). 

 
Par identification, on obtient : 
 
{3a=12b3a=0ab+c=0, soit a=13 ; b=12 ; c=16,

d étant arbitraire.

 
P(x) est donc de la forme
13x3+12x2+16x+d=2x3+3x2+x6d=x(x+1)(2x+1)6d
 
2) L'égalité P(x)P(x1)=x2, appliquée successivement aux entiers 1, 2,, n, donne : 
{(P(1)P(0))=12(P(2)P(1))=22(P(n1)P(n2))=(n1)2P(n)(P(n1))=n2
 
D'où, par addition membre à membre, certains termes se « télescopant », on a :
 
P(n)P(0)=12+22+32++n2().
 
Mais on a aussi : 
 
P(n)=n(n+1)(2n+1)6+d et P(0)=d
 
d'où P(n)P(0)=n(n+1)(2n+1)6()
 
Par comparaison de () et de (), on en déduit que :
 
12+22+32++n2=n(n+1)(2n+1)6.

Exercice 6

1) On cherche P(x) sous la forme P(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e.
  
Alors
 
P(x)P(x1)=ax4+bx3+cx2+dx+e[a(x1)4+b(x1)3+c(x1)2+d(x1)+e]=4ax3+(3b6a)x2+(4a3b+2c)xa+bc+d
 
(après calcul et simplification). 
 
Par identification, on obtient : {4a=13b6a=04a3b+2c=0a+bc+d=0
 
Soit a=14 ; b=12 ; c=14 ; d=0
 
e étant arbitraire.
 
P(x) est donc de la forme
 
14x4+12x3+14x2+e=x4+2x3+x24+e=x2(x+1)24d
 
2) L'égalité P(x)P(x1)=x3, appliquée successivement aux entiers 1, 2,, n, donne : 
{(P(1)P(0))=13(P(2)P(1))=23(P(n1)P(n2))=(n1)3P(n)(P(n1))=n3
 
D'où, par addition membre à membre, certains termes se « télescopant », on a :
 
P(n)P(0)=13+23+33++n3().
 
Mais on a aussi : 
 
P(n)=n2(n+1)24+e et P(0)=e, d'où P(n)P(0)=n2(n+1)24()
 
Par comparaison de () et de (), on en déduit que :
 
13+23+33++n3=n2(n+1)24 
 
Mais on avait vu à l'exercice 4 que : 
 
1+2+3++n=12n2+12n=n(n+1)2.
 
Il en résulte aussitôt que : 
 
13+23+33++n3=(1+2+3++n)2.

Exercice 7

1) On cherche P(x) sous la forme P(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e. 
 
Alors, comme ci-dessus,
 
P(x)P(x1)=ax4+bx3+cx2+dx+e[a(x1)4+b(x1)3+c(x1)2+d(x1)+e]=4ax3+(3b6a)x2+(4a3b+2c)xa+bc+d
 
(après calcul et simplification). 
 
D'autre part, (2x1)3=8x312x2+6x1
 
Par identification, on obtient : {4a=83b6a=124a3b+2c=6a+bc+d=1
 
a=2 ; b=0 ; c=1 ; d=0, e étant arbitraire.
 
P(x) est donc de la forme 2x4x2+e
 
2) L'égalité P(x)P(x1)=(2x1)3, appliquée successivement aux entiers 1, 2,, n, donne : 
{(P(1)P(0))=13(P(2)P(1))=33(P(n1)P(n2))=(2n3)3P(n)(P(n1))=(2n1)3
 
D'où, par addition membre à membre, certains termes se « télescopant », on a :
 
P(n)P(0)=13+33+53++(2n1)3().
 
Mais on a aussi : 
 
P(n)=2n4n2+e et P(0)=e, d'où P(n)P(0)=2n4n2()
 
Par comparaison de () et de (), on en déduit que :
 
13+23+53++(2n1)3=2n4n2 

Exercice 8

Il y a une erreur de frappe dans l'énoncé. 
 
Il fallait lire degré 3.
 
1) On cherche P(x) sous la forme P(x)=ax3+bx2+cx+d. 
 
 Alors,P(x)P(x1)=ax3+bx2+cx+d[a(x1)3+b(x1)2+c(x1)+d]=3ax2+(2b3a)x+ab+c
 
(après calcul et simplification). 
 
Par identification, on obtient : 
 
{3a=12b3a=1ab+c=0
 
Soit a=13 ; b=1 ; c=23, d étant arbitraire.
 
P(x) est donc de la forme
 
13x3+23x++d=x3+2x2+2x3+d=x(x+1)(x+2)3+d
 
2) L'égalité P(x)P(x1)=x2, appliquée successivement aux entiers 1, 2, , n, donne : 
{(P(1)P(0))=12+1=1×2(P(2)P(1))=22+2=2×3(P(n1)P(n2))=(n1)2+(n1)=(n1)×nP(n)(P(n1))=n2+n=n(n+1)
 
D'où, par addition membre à membre, certains termes se « télescopant », on a :
 
P(n)P(0)=(1×2)+(2×3)++n(n+1)(). 
 
Mais on a aussi : 
 
P(n)=n(n+1)(n+2)6+d et P(0)=d
 
d'où P(n)P(0)=(n+1)(2n+1)6()
 
Par comparaison de () et de (), on en déduit que :
 
(1×2)(2×3)++n(n+1)=n(n+1)n+2)2 
 
Mais on avait vu à l'exercice 4 que : 
 
1+2+3++n=12n2+12n=n(n+1)2.
 
Il en résulte aussitôt que : 
 
13+23+33++n3=(1+2+3++n)2.

Exercice 9

Il y a une erreur de frappe dans l'énoncé. 
 
Il fallait lire degré 4.
 
1) On cherche P(x) sous la forme P(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e. 
 
Alors, comme ci-dessus
P(x)P(x1)=ax4+bx3+cx2+dx+e[a(x1)4+b(x1)3+c(x1)2+d(x1)+e]=3ax3+(2b6a)x2+(4a3b+2c)xa+bc+d
 
(après calcul et simplification). 
 
Par identification, on obtient : {4a=13b6a=34a3b+2c=2a+bc+d=0
 
Soit a=14 ; b=32 ; c=114 ; d=32, e étant arbitraire.
 
P(x) est donc de la forme
 
14x4+32x3+114x2+32x+e=x(x+1)(x+2)(x+3)4+e
 
2) L'égalité P(x)P(x1)=x(x+1)(x+2), appliquée successivement aux entiers 1, 2, , n, donne : 
{(P(1)P(0))=1×2×3(P(2)P(1))=2×3×4(P(n1)P(n2))=(n1)×n×(n+1)P(n)(P(n1))=n(n+1)(n+2)
 
D'où, par addition membre à membre, certains termes se « télescopant », on a :
 
P(n)P(0)=(1×2×3)+(2×3×4)+(3×4×5)++n(n+1)(n+2)(). 
 
Mais on a aussi : 
 
P(n)=x(x+1)(x+2)(x+3)4+e et P(0)=e
 
d'où P(n)P(0)=x(x+1)(x+2)(x+3)4()
 
Par comparaison de () et de (), on en déduit que :
 
(1×2×3)+(2×3×4)+(3×4×5)+n(n+1)(n+2)=x(x+1)(x+2)(x+3)4 
 
Mais on avait vu à l'exercice 4 que : 
 
1+2+3++n=12n2+12n=n(n+1)2.
 
Il en résulte aussitôt que : 
 
13+23+33++n3=(1+2+3++n)2.

Exercice 10

On cherche a priori P sous la forme P(x)=ax2+bx+c. 
 
Les deux premières hypothèses entraînent que : P(2)=0 et P(1)=0.
 
Donc on a simultanément 
 
4a+2b+c=0(1)etab+c=0(2). 
 
La dernière hypothèse se traduit par : P(x)=(x1)Q(x)+5, où Q est un polynôme, d'où P(1)=5.
 
On a donc aussi : a+b+c=5(3).
 
La résolution du système formé par les équations (1), (2) et (3) (par la méthode du pivot, par exemple), donne : 
 
a=52 ; b=52 et c=5.
 
Le polynôme P(x)=52x2+52x+5 répond à la question.

Exercice 11

Soit P ce polynôme.
 
On peut chercher P sous la forme P(x)=ax3+bx2+cx+d, où a, b, c et d sont des réels donnés.
 
Les hypothèses se traduisent par : P(1)=0 ; P(2)=0 ; P(1)=10 et P(3)=30
 
D'où le système {a+b+c+d=08a+4b2c+d=a+bc+d=1027a+9b+3c+d=30
 
dont la résolution, par la méthode du pivot par exemple, fournit : a=2 ; b=1 ; c=7 ; d=6
 
On a P(x)=2x3x27x+6

Exercice 12

1. Appliquer l'algorithme de division euclidienne.
 
On trouve Q(x)=2x+1 et R(x)=5x
 
2. Appliquer l'algorithme de division euclidienne. 
 
On trouve Q(x)=x23x+6 et R(x)=5x2+11x3
 
3. Appliquer l'algorithme de division euclidienne.
 
On trouve Q=2x2x+1 et R(x)=0
 
A chaque fois, il faut vérifier que le degré du reste est strictement inférieur à celui du diviseur, ou alors qu'il est nul, comme dans le 3^{ième} cas.

Exercice 13 

C'est un exercice de calcul pur.
 
Il suffit, dans chaque cas, de factoriser le polynôme au numérateur et celui au dénominateur, puis simplifier par un éventuel facteur commun.
 
\bullet\ \text{Pour }A(x), on a : x^{3}-10x+3=(x-3)\left(x^{2}+3x-1\right) 
 
et x^{2}-5x+6=(x-3)(x-2)
 
D'où \boxed{A(x)=\dfrac{x^{2}+3x-1}{x-2}}
 
Simplification valable pour tout réel x tel que x\neq 3 et x\neq 2
 
\bullet\ \text{Pour }B(x), on a : x^{4}+4x^{3}-6x^{2}-7x-10=(x-2)(x+5)\left(x^{2}+x+1\right) 
 
et x^{2}+3x-10=(x-2)(x+5)
 
D'où \boxed{B(x)=x^{2}+x+1}
 
Simplification valable pour tout réel x tel que x\neq 2 et x\neq -5
 
\bullet\ \text{Pour }C(x), on a : 2x^{3}+17x^{2}+20x-75=(x+5)^{2}(2x-3) 
 
et x^{3}+9x^{2}+15x-25=(x-1)(x+5)^{2}
 
D'où \boxed { C(x)=\dfrac {2x-3} {x-1} }
 
Simplification valable pour tout réel x tel que x\neq 1 et x\neq -5
 
\bullet\ \text{Enfin}, pour D(x), on a : x^{4}+x^{3}-x-1=(x-1)(x+5)^{2} 
 
et x^{4}-3x^{4}-3x^{3}+4x^{2}+3x-5=(x+1)(x-1)\left(x^{2}-3x+5\right)
 
\boxed { D(x)=\dfrac {(x+5)^{2} } { (x+1)\left (x^{2}-3x+5\right) }}
 
Simplification valable pour tout réel x tel que x\neq-1 et x\neq 1

Exercice 14

On vérifie aisément que l'on a : P(a)=P(b)=P(c)=1
 
Le polynôme Q définit par : Q(x)=P(x)-1 a donc au moins 3 racines, a, b et c comme il est de degré au plus égal à 3, il s'écrit Q(x)=\gamma(x-b)(x-b)(x-c), où \gamma est une constante. 
 
Par suite, P(x)=1+\gamma(x-a)(x-b)(x-c).
 
Observant ensuite que P(0)=0, il vient : P(0)=1-\gamma abc=0
 
D'où \gamma=\dfrac{1}{abc}
 
Par conséquent, \boxed{P(x)=\dfrac{(x-a)(x-b)(x-c)}{abc}+1}

Exercice 15 

Il y' a une faute de frappe dans l'écriture de P(x).
 
Il fallait lire P(x)=2x^{4}-x^{3}-10x^{2}+3
 
1. On peut chercher Q(x) sous la forme ax^{2}+bx+c et R(x) sous la forme px+q, puis procéder par identification ou effectuer une division euclidienne.
 
En tout état de cause, on trouve : 
 
Q(x)=2x^{2}+3x-2 et R(x)=-x+1
 
2. Par une résolution de l'équation x^{2}-2x-1=0, on trouve que le trinôme x^{2}-2x-1 a pour racines 1-\sqrt{2} et 1+\sqrt{2}
 
3. On a donc x^{2}-2x-1=(x-1+\sqrt{2})(x-1-\sqrt{2})
 
Tenant compte des résultats précédents, il vient :
 
4. P(x)=(x-1-\sqrt{2})(x-1+\sqrt{2})\left(2x^{2}+3x-2\right)-x+1
 
égalité qui peut encore s'écrire : P(x)=(x-1-\sqrt{2})(x-1+\sqrt{2})\left(2x^{2}+3x-2\right)-x+1+\sqrt{2}-\sqrt{2}
 
ou encore :
 
P(x)=(x-1-\sqrt{2})(x-1+\sqrt{2})\left(2x^{2}+3x-2\right)-(x-1-\sqrt{2}-\sqrt{2}
 
On peut alors mettre (x-1-\sqrt{2}) en facteur dans les deux premiers termes termes de cette somme, d'où : P(x)=(x-1-\sqrt{2})\left[(x-1+\sqrt{2})\left(2x^{2}+3x-2\right)\right]-\sqrt{2}
 
Le quotient de la division de P(x) par (x-1-\sqrt{2}) est donc :
 
(x-1+\sqrt{2})\left(2x^{2}+3x-2\right)-1=2x^{3}+(1+2\sqrt{2})x^{2}+(3\sqrt{2}-5)x+1-2\sqrt{2} et le reste est -\sqrt{2}

 

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Commentaires

Je veux le traité de l’exerce 16

Je veux la correction d'exercices 18

Je suis vraiment ravi et très content sur les cours et les exercices que vous nous proposez

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