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Série d'exercices : Calcul dans ℝ 2nd L

Classe:

Seconde

Exercice 1 :

1. Calculer les nombres suivants en présentant les résultats sous forme d'une fraction irréductible :

$A=\dfrac{1}{\dfrac{2}{3}}$ ;

$B=\dfrac{1}{\dfrac{2}{3}}$ ;

$C=\dfrac{4}{3}\times\left(-\dfrac{9}{12}\right)$ ;

$D=-\dfrac{3}{4}-\dfrac{2}{3}$ ;

$E=\dfrac{2}{\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{5}}$ ;

$F=\dfrac{1\dfrac{4}{5}}{3+\dfrac{2}{5}}$ ;

$G=\dfrac{\dfrac{7}{2}+\dfrac{1}{3}}{8}$ ;

$H=\dfrac{\dfrac{4}{3}-\dfrac{6}{7}}{\dfrac{3}{8}}$ ;

$I=\dfrac{\dfrac{3}{2}-\dfrac{2}{5}}{4+\dfrac{2}{5}}/\dfrac{\dfrac{4}{5}-\dfrac{6}{7}}{\dfrac{7}{5}+\dfrac{3}{7}}$

$J=\left(\dfrac{5}{7}-\dfrac{1}{3}\right)\left(\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{2}\right)$

Exercice 2 :

1. Rentre rationnel le dénominateur de chacune des fractions suivantes

$A=\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ ;

$B=\dfrac{2}{1+\dfrac{2}{1+\sqrt{2}}}$ ;

$C=\dfrac{3}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}$ ;

$D=\dfrac{1-\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}}$ ;

2. Simplifier les expressions suivantes :

$A=-2\sqrt{8}-5\sqrt{32}+5\sqrt{16}-\sqrt{18}$ ;

$B=\dfrac{\sqrt{20}+\sqrt{45}-\sqrt{80}}{\sqrt{135}-\sqrt{35}}$ ;

$C=\sqrt{3(\left(3\sqrt{3}-2\right)^{2}}-\sqrt{4\left(1-\sqrt{3}\right)^{2}}$

Exercice 3:

1.Développer et réduire en utilisant les identités remarquables :

$A=\left(x-\sqrt{2}\right)^{3}$ ;

$B=\left(\dfrac{x+y}{2}\right)^{2}-\left(\dfrac{x-y}{2}\right)^{2}$ ;

$C=(x+1)^{3}-(x-1)^{3})$

$D=(x-3)^{2}+(2x+1)(2x-1 )+1)$

2. Factoriser les expressions suivantes :

$E(3x+1)(3x-2)-(3x-5)^{2}$ ;

$F=(x+1)^{3}-x^{2}+1$ ;

$G=4(x-1)^{2}-1$ ;

$H=x^{3}+1$ ;

$I=\left(x^{2}-6x\right)^{3}-\left(x^{2}-6x\right)$ ;

$J=x^{3}+3x^{2}+3x-\left(x^{2}-1\right)+1$

Exercice 4 :

1. Écrire les nombres réels suivants sans le symbole de la valeur absolue :

$A=|-100|$ ;

$B=|100|$ ;

$=C|\sqrt{2}-1|$ ;

$=D=|2-\sqrt{2-\sqrt{5}}|$ ;

$=E|\pi-3.2|$ ;

$G=\left|\dfrac{5-\sqrt{17}}{2}\right|$

2. Écrire les nombres réels suivants sans le radical

$I=\sqrt{\left(1-\sqrt{3}\right)^{2}}$ ;

$J=\sqrt{\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)^{2}}+\sqrt{(1-\sqrt{2})^{2}}$

Exercice 5 :

Résoudre dans

$\mathcal{R}$ les équations suivantes :

$|x-6|=3$ ;

$|x-4|+1=5$ ;

$|\dfrac{3}{5}x-1|=|x+\dfrac{1}{3}$ ;

$\left|\dfrac{x+3}{x+1}\right|=3$

$\sqrt{(3x+2)^{2}}=1$

Exercice 6 :

1. Déterminer

$|\cap J$ et

$I\cup$ dans les cas suivants

$I=]-2\ ;\ 6]$ et

$J=[-3\ ;\ +\infty[$

$I=]1\ ;\ 4[$ et

$J=[5\ ;\ 10]$

$I=]1\ ;\ 4]$ et

$J=[4\ ;\ +\infty[$

$I=]-\infty\ ;\ 7]$ et

$J=[-4\ ;\ +\infty[$

2. Traduire chacune des inégalités en termes d'intervalles :

$x\leq 3$ ;

$x>-2$ ;

$-3\leq x\leq 6$ ;

$2\leq x< 5$

3. Traduire chacun des intervalles en une inégalité

$x\in[-1\;,3]$

$x\in]-\infty\ ;\ 1]$

$x\in]2\ ;\ +\infty[$

Exercice 7 :

1. Résoudre dans

$\mathbb{R}$ chacune des inéquations suivantes :

$|6-x|\leq 3$ ;

$|2+x|\geq 5$ ;

$|x-3|-1<0$ ;

$|x+4|+1>5$ ;

$|1-x|-2\leq-1$ ;

$f\sqrt{(1-x)^{2}}<7$

2. Résoudre dans

$\mathbb{R}$ chacun des systèmes d'inéquations suivantes

$\left\lbrace\begin{array}{rcl} x+2>5\\ x-3<2 \end{array}\right.$

$\left\lbrace\begin{array}{rcl} 2x+3\leq 5\\ -x-3<2 \end{array}\right.$

Exercice 8 :

1. Une mère a

$15$ ans de plus que sa fille, dans

$10$ ans l'âge de la mère sera le double de l'âge de la fille.

Quel est l'âge de la mère et celui de la fille ?

2. Un Commerçant a dit qu'il a acheté avec le quart d'une somme décaissée pour acheter du ciment et les deux cinquièmes pour acheter du fer.

Il lui reste

$49000\,F$ CFA pour les autres dépenses.

Aider ce commerçant à retrouver la somme décaissée.

Exercice 9 :

Traduire sous forme d'une équation puis résoudre :

1. La somme des

$\dfrac{3}{4}$ d'un nombre et de

$\dfrac{-1}{5}$ est plus petit que le double de ce nombre augmenté

$5.$

2. Le double d'un nombre diminué de

$\dfrac{2}{5}$ est plus grand que le triple de ce nombre.

Exercice 10

Résoudre dans

$\mathbb{R}$ , les équations et inéquations suivantes :

$\sqrt{2x^{2}-8}=x-2$

$\sqrt{2x^{2}-x+1}=\sqrt{3x+1}$

$\sqrt{-2x^{2}+5x+3}\leq 2x+1$

$\sqrt{2x^{2}-3x-5}>5-x$

Exercice 11

1. Résoudre le système d'inéquations :

$\left\lbrace\begin{array}{rcl} x\geq 0\\ y\geq 0\\ 3x+2y\leq 75\\ x+2y\leq 36\\ 2x+3y\leq 60 \end{array}\right.$

2. Un fleuriste décide de fabriquer deux types de bouquets.

Les bouquets

$A$ sont composées de

$6$ roses, de

$3$ gerberas et de

$2$ branches de gypsophiles ; les bouquets B sont composées de

$4$ roses, de

$6$ gerberas et de

$3$ branches de gypsophiles.

Il rapporte chaque jour des halles

$150$ roses,

$108$ gerberas et

$60$ branches de gypsophiles.

Il réalise un bénéfice de

$18\,F$ par bouquet.

A vendu et de

$30\,F$ par bouquet

$B$ vendu.

On appelle

$x$ le nombre de bouquets

$A$ et

$y$ le nombre de bouquets

$B$ vendus par jour.

a. Écrire un système d'inéquations correspondant au problème que se pose le fleuriste puis montrer que ce système est équivalent à celui de la question

$.$

b. Exprimer le bénéfice en fonction de

$x$ et

$y$

c. Déterminer le nombre de bouquets

$A$ et le nombre de bouquets

$B$ qu'il doit fabriquer par jour pour réaliser un bénéfice maximal en supposant qu'il vend chaque jour toute sa production

Exercice 13

Partie A :

Recopie et complète : Soit

$f$ une application définie de

$A$ vers

$B$

1. Si

$f(A)=B$ alors

$f$ est

$\ldots\ldots\ldots\ldots$

2. Si

$\forall\alpha\in A\;,f(a)=f(b)\Longrightarrow a=b$ alors

$f$ est

$\ldots \ldots\ldots\ldots$

Partie B :

1. On considère les applications

$f$ et

$g$ définies par :

$f\ :\ \mathbb{R}\longrightarrow$ ;

$x\rightarrowtail f(x)=\dfrac{1-x^{2}}{1+x^{2}}$ et

$g\ :\ ]-\infty\ ;\ ]-\infty\ ;\ 2]\longrightarrow\mathbb{R}\ ;\ x\mapsto g(x)=\sqrt{2-x}$

$f$ est-elle injective ? surjective ? justifier

b. calculer

$gof(x)$

2. Soit

$k$ l'application définie par :

$k\ :\ [0\ ;\ +\infty[\rightarrow]-1\ ;\ ]\,;x\mapsto k(x)=\dfrac{1-x^{2}}{1+x^{2}}$

a. Montrer que

$k$ est bijective

b. Déterminer la bijection réciproque

$k^{-1}$ de l'application

$k$

Exercice 14

Soit

$ABCD$ n parallélogramme tel que

$AB=7\,cm$ ,

$AD=5\,cm$ et

$\widehat{ABD}=50°$

1. Construire les points

$E$ et

$F$ tels que :

$E$ est le barycentre du système

${(A\;,4)\ ;\ (B\;,5)\ ;\ (C\;,-2)\ ;\ (D\;,-1)}$ et

$F$

est le barycentre du système

${(A\;,6)\ ;\ (B\;,-5)\ ;\ (C\;,2)\ ;\ (D\;,-1)}$

2. Démontrer que les points

$A$ ,

$E$ et

$F$ sont alignés

3. Déterminer et construire l'ensemble des points M du plan tels que

$\left(E_{1}\right)$ :

$\dfrac{2}{3}||4\overline{MA}+5\overline{MB}-2\overline{MC}-\overline{MD}||=||6\overline{MA}-5\overline{MB}+2\overline{MC}+\overline{MD}||$

$\left(E_{2}\right)$ :

$4\overline{MA}+5\overline{MB}-2\overline{MC}-\overline{MD}$ soit colinéaire à

$\overline{AB}+\overline{AD}$

$\left(E_{3}\right)$ :

$6\leq||4\overline{MA}+5\overline{MB}-2\overline{MC}-\overline{MD}||\leq 24$

Commentaires

Anonyme (non vérifié)

dim, 11/10/2024 - 20:39

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Merci bcp ! ❤️

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