Série d'exercices sur les fonctions réciproques 1e S

 

Exercice 1

On pose pour a réel strictement positif la fonction fa définie sur [0, a] par : 
 
Pour tout x[0, a], fa(x)=axa(a+x.
 
1) Montrer que fa réalise une bijection de [0; a] sur [0; 1a]. On note f1a sa bijection réciproque.

2) Donner le tableau des variations de f1a en précisant les valeurs aux bornes.

3) Montrer que f1a=f1a

Exercice 2

Soit f la fonction définie sur [0, +[ par f(x)=4x2+x+2x+1

1) Etudier la continuité et la dérivabilité de f sur [0, +[

2) Montrer que f est une bijection de [0, +[ sur un intervalle J que l'on précisera

3) Sur quel ensemble f1 est-elle continue ?

4) Expliciter f1(x) pour xJ

5) Montrer que l'équation f(x)=x+2 admet une solution unique a]14, 12[

Exercice 3

Soit f : xf(x)=x1x
 
1) Déterminer le domaine de définition Df de f.

2) Etudier la dérivabilité de f sur Df.

3) Montrer que f est une bijection de [0, 1[ sur un intervalle J que l'on précisera.

4) Expliciter f1(x) pour xJ

Exercice 4

Soit f : xf(x)=1+x1+x2
 
1) Etudier la dérivabilité de f sur R.

2) Montrer que f est une bijection de R sur un intervalle J que l'on précisera

3) Expliciter f1(x) pour xJ

4) Montrer que f1 est dérivable sur J et calculer (f1)(1).

Exercice 5

On considère la fonction f définie sur [1, 1]{0} par f(x)=1+1x2x
 
On note par C sa courbe représentative dans un repère orthonormé R.

Partie A

1) Calculer limx0+f(x); limx0f(x) et interpréter les résultats obtenus

2) Etudier la dérivabilité de f en point d'abscisse x=1 et interpréter le résultat obtenu.

3) Etudier la dérivabilité de f en point d'abscisse x=1 et interpréter le résultat obtenu.

4) Montrer que : x[1, 1]{0}  :  f(x)=1x21x2

5) Dresser le tableau de variation de la fonction f.

6) Montrer que f réalise une bijection de ]0, 1[ sur un intervalle J que l'on précisera.

7) Expliciter f1(x) pour tout x de J.

8) Représenter dans le même repère R la courbe C et C de f1.

Partie B

Soit g la fonction définie sur [0, π2[ par g(x)=f(cosx)
 
1) Montrer que pour tout x de [0, π2[, g(x)=1+tan(x)

2) Etudier le sens de variation de la fonction g

3) Montrer que l'équation : g(x)=x admet une unique solution α dans [0, π2[ et vérifier que 0<α<π4

4) Montrer que g réalise une bijection de [0, π2[ sur un intervalle K que l'on précisera

5) Montrer que g1 est dérivable sur K et xK  :  (g1)(x)=1x22x+2

Exercice 6

Soit la fonction f définie sur [1, +[ par : f(x)=x+x21

1) Montrer que f est dérivable sur ]1, +[ et calculer f(x).

2) Etudier la dérivabilité de f à droite en 1 et interpréter le résultat obtenu.

3) Dresser le tableau de variation de f.

4) Montrer que f réalise une bijection de [1, +[ sur un intervalle J que l'on précisera.

5) Montrer que pour tout x de J  :  f1(x)=1+x22x

6) On désigne par C et C les courbes respectives de f et f1 dans le même repère orthonormé.

montrer que la droite D  :  y=2x est une asymptote oblique à C.

7) Tracer C et C

8) Soit g la fonction définie sur [0, π2[ par g(x)=f(1cos(x))

a) Montrer que pour tout x de  [0, π2[, g(x)=1+sin(x)cos(x)

b) Montrer que g réalise une bijection de  [0, π2[ sur un intervalle K que l'on précisera.

c) Montrer que g1 est dérivable sur K et pour tout x de K : (g1)(x)=21+x2

Exercice 7

Soit f : RRx{x3+12x+1six], 0]1+x2xsix]0, +[
 
1) Calculer : limx+f(x) et limxf(x)

2) Etudier la continuité de f sur Df

3) Etudier la dérivabilité de f en 0.

4) Calculer f(x) puis dresser la table de variation de f.

5) Montrer que l'équation f(x)=0 admet dans ],0] une solution unique α.

Vérifier que α]112, 0]

6) Soit g la restriction de f sur ]0, +[

a) Montrer que g réalise une bijection de ]0, +[ sur un intervalle J que l'on précisera.

b) Soit g1 la fonction réciproque de g.

(i) Etudier la continuité et la dérivabilité de g1 sur J

(ii) Expliciter g1(x) : pour tout x de J.

Exercice 8

Soit f : x {x2+11x2six>012tan(x+π4)siπ4x0
 
1) Etudier la continuité et la dérivabilité de f sur son domaine de définition.

2) Soit g la restriction de f à [π4, 0]

a) Montrer que g est une bijection de [π4, 0] sur un intervalle J que l'on précisera.

b) Déterminer le domaine de dérivabilité de g1, puis expliciter (g1)(x)

3) a) Montrer que l'équation g(x)+x=0 admet une solution unique α]π4, 0[

b) En déduire que le point I(α, α)(ξg1)D(ξg1) est la courbe représentative  de g1 dans un repère orthonormé et D est la droite dont une équation cartésienne est : y=x

Exercice 9

Soit f la fonction définie sur ]π2, π2[ par f(x)=tanx.

1) Montrer que f réalise une bijection de ]π2, π2[ sur R.

2) Soit h la fonction réciproque de f. Montrer que h est dérivable sur R et calculer h(x) pour tout xR

3) Soit φ la fonction définie sur [0, 1[ par : φ(x)=h(1+x1x).

a) Montrer que φ est dérivable sur [0, 1[ et calculer φ(x) pour tout x[0, 1[.

b) En déduire que : x[0, 1[, φ(x)=π4+h(x).

4) Soit g la fonction définie sur [0, 1[ par g(x)=h(1+x1x)(1+2x)h(x).

a) Montrer que g est deux fois dérivable sur [0, 1[ te calculer g(x) et g.

b) Etudier les variations de g'sur [0\;,\  1[ puis en déduire celle de g.

c) En déduire qu'il existe un unique réel c\in\; ]0\;,\  1[ tel que c=\tan\frac{\pi}{8c}

5) a) Montrer que : h(2-x)=2h(x) admet au moins une solution \alpha\in \mathbb{R} 

b) Montrer que \alpha vérifie : \alpha^{3}-\alpha^{2}+3\alpha+1=0

Exercice 10

Soit f\ :\ x\longmapsto \dfrac{\sqrt[3]{x+1}-1}{\sqrt{x+1}-1}

1) Déterminer le domaine de définition D_{f} de f.

2) Etudier la continuité et la dérivabilité de f sur D_{f}.

3) Montrer que f admet un prolongement par continuité en 0, définir ce prolongement.

Exercice 11

Soit f la fonction définie sur \left[0\;,\  \frac{\pi}{3}\right] par f(x)=\sqrt[3]{2\cos x -1}

1) Etudier la dérivabilité de f sur \left[0\;,\  \frac{\pi}{3}\right].

2) Montrer que f est une bijection de \left[0\;,\  \frac{\pi}{3}\right] sur [0\;,\  1]

3) Soit f^{-1} la réciproque de f, calculer \left(f^{-1}\right)'(x)\left(\sqrt[3]{\sqrt{3}-1}\right).

4) Préciser le domaine K de la dérivabilité de f^{-1}.

5) Déterminer l'expression de \left(f^{-1}\right)'(x) pour tout x de K.

Exercice 12

Soit f la fonction définie sur [0\;,\  +\infty[ par f(x)=x+\sqrt[3]{x}.

1) Soit x\in ]0\;,\  +\infty[. Montrer que pou tout \beta\in [x\;,\  x+1] on a : \dfrac{1}{3\sqrt[3]{(x+1)^{2}}}+1\leq f'(\beta)\leq \dfrac{1}{3\sqrt[3]{x^{2}}}+1

2) En déduire que pour tout x\in ]0\;,\  +\infty[ on a : \dfrac{1}{3\sqrt[3]{(x+1)^{2}}}\leq \sqrt[3]{x+1}-\sqrt[3]{x}\leq \dfrac{1}{3\sqrt[3]{x^{2}}}

3) En déduire \lim_{x\to+\infty}(\sqrt[3]{x+1}-\sqrt[3]{x})

Exercice 13

Soit  \begin{array}{lll} f\ :\ \mathbb{R}&\rightarrow &\mathbb{R} \\ x&\longmapsto&f(x)=\left\lbrace\begin{array}{lll} x^{3} & si & x\leq 0\\ 2x^{2} & si & 0<x<\frac{1}{2}\\ x+\sqrt{2x-1} & si & x\geq \frac{1}{2} \end{array}\right.\end{array}

1) Etudier la continuité de f sur \mathbb{R}

2) Montrer que f réalise une bijection de \mathbb{R} sur \mathbb{R}

3) Etablire que f^{-1}(x)=\left\lbrace\begin{array}{lll} -\sqrt[3]{-x} & si & x\leq 0\\ \sqrt{\dfrac{x}{2}} & si & 0<x<\frac{1}{2}\\ x+1-\sqrt{2x} & si & x\geq \frac{1}{2} \end{array}\right.

Exercice 14

Soit f la fonction définie sur \left]0\;,\  \frac{\pi}{2}\right] par : f(x)=\dfrac{1}{\sin(x)}

1) Etudier les variations de f.

2) Montrer que f est une bijection de \left]0\;,\  \frac{\pi}{2}\right] sur un intervalle I que l'on déterminera.

3) On désigne par g la fonction réciproque de f. Calculer : g(1), \ g(\sqrt{2}) et g(2).

4) Montrer que g est dérivable sur I et que ; \forall\; x\in I : \ g'(x)=\dfrac{-1}{x\sqrt{1+x^{2}}}

5) Soit h la fonction numérique définie sur  \left]0\;,\  \frac{\pi}{2}\right] par : h(x)=f(x)+\dfrac{1}{4}

Montrer que l'équation h(x)=x admet une solution unique x_{0} telle que \frac{\pi}{3}<x_{0}<\frac{\pi}{2}.

Exercice 15

Partie I

On considère la fonction g définie sur [0\;,\  1[ par : g(x)=\sqrt{\dfrac{2x}{1-x^{2}}}.

1) Montrer que g n'est pas dérivable à droite en 0.

2) Etudier les variations de g et en déduire que g admet une fonction réciproque g^{-1} définie sur un intervalle I que l'on déterminera.

3) Expliciter g^{-1}(x) pour x\in I

4) Vérifier que pour tout x\in \left[0\;,\ \frac{\pi}{2}\right[\ : \ g\left(\tan\frac{x}{2}\right)=\sqrt{\tan x}.

Partie II

On considère la fonction f définie sur \left[0\;,\ \frac{\pi}{2}\right[ par : f(x)=2\sqrt{\tan x}-1

1) Etudier la dérivabilité de f à droite en 0. Interpréter graphiquement le résultat.

2) Dresser le tableau de variations de f et en déduire que f est une bijection de \left[0\;,\  \frac{\pi}{2}\right[ sur un intervalle J que l'on déterminera.

3) Montrer que pour tout x de \left]0\;,\ \frac{\pi}{2}\right[ : f'(x)>1.

4) Montrer que l'équation f(x)=x admet dans\left]0\;,\ \frac{\pi}{2}\right[ une solution unique \alpha et vérifier que \alpha\in \left]\frac{\pi}{6}\;,\ \frac{\pi}{4}\right[

5) En déduire le signe de : f(x)-x

6) On considère la suite u définie sur \mathbf{N} par \left\lbrace\begin{array}{lll} u_0=2\\ u_{n+1}=f^{-1}(u_n)\end{array}\right.

a) Montrer que pour tout n de \mathbb{N} : u_{n}\geq\alpha

b) Montrer que la suite u est décroissante.

c) En déduire que u est convergente et donner sa limite.

Partie III

On considère la fonction \varphi définie sur \left[0\;,\ \frac{\pi}{2}\right[ par \varphi(x)=\sqrt{\tan x}

1) Montrer que \varphi admet une fonction réciproque \varphi^{-1} définie sur un intervalle J' que l'on déterminera.

2) Montrer que pour tout x de ]0\;,\ +\infty[ on a : \left(\varphi^{-1}\right)'(x)=\dfrac{2x}{1+x^{4}}

3) Calculer \varphi^{-1}(1) et montrer que pour tout x de ]0\;,\ +\infty[ : \varphi^{-1}(x)+\varphi^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{\pi}{2}

Exercice 16

Partie I

Soit la fonction f définie sur ]-1\;,\ 1[ par f(x)=-1+\dfrac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}

1) Etudier les variations de f.

2) Montrer que l'équation f(x)=x admet dans ]-1\;,\ 1[ une solution unique \alpha et que \alpha>\frac{4}{5}

3) En déduire le signe de f(x)-x.

4) Montrer que f réalise une bijection de ]-1\;,\ 1[ sur \mathbb{R}

5) Montrer que pour tout x de \mathbb{R} on a : f^{-1}(x)=\dfrac{x+1}{\sqrt{1+(x+1)^{2}}}

Partie II

Soit la suite u définie sur \mathbb{N} par \left\lbrace\begin{array}{lll} u_0 \in [0\;,\ \alpha]\\ u_{n+1}=f^{-1}(u_{n})\end{array}\right.

1) a) Montrer que, pour tout n\in \mathbb{N} on a : 0\leq u_{n}\leq \alpha
 
b) Montrer que la suite u est croissante.

c) En déduire que uest convergente et calculer sa limite.

2) Montrer que pour tout x\in \mathbb{R}_{+} on a : \left|\left(f^{-1}\right)'(x)\right|\leq \dfrac{1}{2\sqrt{2}}

3) Montrer que pour tout n de \mathbb{N} on a : |u_{n+1}-\alpha|\leq \dfrac{1}{2\sqrt{2}}|u_{n}-\alpha|

4) En déduire que pour tout n de \mathbb{N} on a |u_{n}-\alpha|\leq \left(\frac{1}{2\sqrt{2}}\right)^{n}|u_{0}-\alpha|. Retrouver \lim_{n \to +\infty}u_{n}

Partie III

Soit la fonction h définie sur ]-1\;,\ 1[ par : h(x)=f\left(-\sin\left(\frac{\pi}{2}x\right)\right).

1) Montrer que pour tout x de ]-1\;,\ 1[ : h(x)=-1-\tan\left(\frac{\pi}{2}x\right)

2) Montrer que h établit une bijection de ]-1\;,\ 1[ sur \mathbb{R}

3) Montrer que h^{-1} est dérivable sur \mathbb{R} et que (h^{-1})'(x)=\dfrac{-2}{\pi(1+(x+1)^{2})}

4) Soit pour tout x de \mathbb{R^{*}} la fonction H tel que : H(x)=h^{-1}(x-1)+h^{-1}\left(\frac{1}{x}-1\right).

a) Montrer que H est dérivable sur \mathbb{R} et déterminer H'(x).

b) Calculer H\left(\frac{1}{2}\right) etH\left(-\frac{1}{2}\right). En déduire que H(x)=\left\lbrace\begin{array}{lll} -1&\text{si}&x>0\\ 1&\text{si}&x<0\end{array}\right.

5) Pour tout n de \mathbb{N} on a : v_{n}\sum_{k=1}^{n}\left(h^{-1}\left(\frac{1}{k}\right)+h^{-1}\left(-\frac{1}{k}\right)\right) et w_{n}=\dfrac{v_{n}}{n}

a) Donner la valeur de H\left(1+\frac{1}{k}\right). En déduire que : \forall\;k\in \mathbb{N}^{*} : h^{-1}\left(\frac{1}{k}\right)+h^{-1}\left(-\frac{1}{k+1}\right)=-1

b) Montrer que pour tout n\in \mathbb{N}^{*} : v_{n}=n-h^{-1}\left(-\frac{1}{n+1}\right). En déduire que la suite w est convergente et donner sa limite.
 

Commentaires

correction svp

Svp je voudrais la correction

Stp je voudrais avoir la correction

J'aimerai à ce que vous propposiez des corrections pour cette série car je la trouve très interessante

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