Série d'exercices sur les fonctions réciproques 1e S
Exercice 1
On pose pour a réel strictement positif la fonction fa définie sur [0, a] par :
Pour tout x∈[0, a], fa(x)=a−xa(a+x.
1) Montrer que fa réalise une bijection de [0; a] sur [0; 1a]. On note f−1a sa bijection réciproque.
2) Donner le tableau des variations de f−1a en précisant les valeurs aux bornes.
3) Montrer que f−1a=f1a
Exercice 2
Soit f la fonction définie sur [0, +∞[ par f(x)=√4x2+x+2x+1
1) Etudier la continuité et la dérivabilité de f sur [0, +∞[
2) Montrer que f est une bijection de [0, +∞[ sur un intervalle J que l'on précisera
3) Sur quel ensemble f−1 est-elle continue ?
4) Expliciter f−1(x) pour x∈J
5) Montrer que l'équation f(x)=x+2 admet une solution unique a∈]14, 12[
Exercice 3
Soit f : x⟼f(x)=√x1−x
1) Déterminer le domaine de définition Df de f.
2) Etudier la dérivabilité de f sur Df.
3) Montrer que f est une bijection de [0, 1[ sur un intervalle J que l'on précisera.
4) Expliciter f−1(x) pour x∈J
Exercice 4
Soit f : x⟼f(x)=1+x√1+x2
1) Etudier la dérivabilité de f sur R.
2) Montrer que f est une bijection de R sur un intervalle J que l'on précisera
3) Expliciter f−1(x) pour x∈J
4) Montrer que f−1 est dérivable sur J et calculer (f−1)(1).
Exercice 5
On considère la fonction f définie sur [−1, 1]−{0} par f(x)=1+√1−x2x
On note par C sa courbe représentative dans un repère orthonormé R.
Partie A
1) Calculer limx→0+f(x); limx→0−f(x) et interpréter les résultats obtenus
2) Etudier la dérivabilité de f en point d'abscisse x=1 et interpréter le résultat obtenu.
3) Etudier la dérivabilité de f en point d'abscisse x=−1 et interpréter le résultat obtenu.
4) Montrer que : ∀x∈[−1, 1]−{0} : f′(x)=−1x2√1−x2
5) Dresser le tableau de variation de la fonction f.
6) Montrer que f réalise une bijection de ]0, 1[ sur un intervalle J que l'on précisera.
7) Expliciter f−1(x) pour tout x de J.
8) Représenter dans le même repère R la courbe C et C′ de f−1.
Partie B
Soit g la fonction définie sur [0, π2[ par g(x)=f(cosx)
1) Montrer que pour tout x de [0, π2[, g(x)=1+tan(x)
2) Etudier le sens de variation de la fonction g
3) Montrer que l'équation : g(x)=x admet une unique solution α dans [0, π2[ et vérifier que 0<α<π4
4) Montrer que g réalise une bijection de [0, π2[ sur un intervalle K que l'on précisera
5) Montrer que g−1 est dérivable sur K et ∀x∈K : (g−1)′(x)=1x2−2x+2
Exercice 6
Soit la fonction f définie sur [1, +∞[ par : f(x)=x+√x2−1
1) Montrer que f est dérivable sur ]1, +∞[ et calculer f′(x).
2) Etudier la dérivabilité de f à droite en 1 et interpréter le résultat obtenu.
3) Dresser le tableau de variation de f.
4) Montrer que f réalise une bijection de [1, +∞[ sur un intervalle J que l'on précisera.
5) Montrer que pour tout x de J : f−1(x)=1+x22x
6) On désigne par C et C′ les courbes respectives de f et f−1 dans le même repère orthonormé.
montrer que la droite D : y=2x est une asymptote oblique à C.
7) Tracer C et C′
8) Soit g la fonction définie sur [0, π2[ par g(x)=f(1cos(x))
a) Montrer que pour tout x de [0, π2[, g(x)=1+sin(x)cos(x)
b) Montrer que g réalise une bijection de [0, π2[ sur un intervalle K que l'on précisera.
c) Montrer que g−1 est dérivable sur K et pour tout x de K : (g−1)′(x)=21+x2
Exercice 7
Soit f : R→Rx⟼{x3+12x+1six∈]−∞, 0]√1+x2−xsix∈]0, +∞[
1) Calculer : limx→+∞f(x) et limx→−∞f(x)
2) Etudier la continuité de f sur Df
3) Etudier la dérivabilité de f en 0.
4) Calculer f′(x) puis dresser la table de variation de f.
5) Montrer que l'équation f(x)=0 admet dans ]−∞,0] une solution unique α.
Vérifier que α∈]−112, 0]
6) Soit g la restriction de f sur ]0, +∞[
a) Montrer que g réalise une bijection de ]0, +∞[ sur un intervalle J que l'on précisera.
b) Soit g−1 la fonction réciproque de g.
(i) Etudier la continuité et la dérivabilité de g−1 sur J
(ii) Expliciter g−1(x) : pour tout x de J.
Exercice 8
Soit f : x⟼ {√x2+1−1x2six>012tan(x+π4)si−π4≤x≤0
1) Etudier la continuité et la dérivabilité de f sur son domaine de définition.
2) Soit g la restriction de f à [−π4, 0]
a) Montrer que g est une bijection de [−π4, 0] sur un intervalle J que l'on précisera.
b) Déterminer le domaine de dérivabilité de g−1, puis expliciter (g−1)′(x)
3) a) Montrer que l'équation g(x)+x=0 admet une solution unique α∈]−π4, 0[
b) En déduire que le point I(−α, α)∈(ξg−1)∩D où (ξg−1) est la courbe représentative de g−1 dans un repère orthonormé et D est la droite dont une équation cartésienne est : y=−x
Exercice 9
Soit f la fonction définie sur ]−π2, π2[ par f(x)=tanx.
1) Montrer que f réalise une bijection de ]−π2, π2[ sur R.
2) Soit h la fonction réciproque de f. Montrer que h est dérivable sur R et calculer h′(x) pour tout x∈R
3) Soit φ la fonction définie sur [0, 1[ par : φ(x)=h(1+x1−x).
a) Montrer que φ est dérivable sur [0, 1[ et calculer φ′(x) pour tout x∈[0, 1[.
b) En déduire que : ∀x∈[0, 1[, φ(x)=π4+h(x).
4) Soit g la fonction définie sur [0, 1[ par g(x)=h(1+x1−x)−(1+2x)h(x).
a) Montrer que g est deux fois dérivable sur [0, 1[ te calculer g′(x) et g″.
b) Etudier les variations de g'sur [0\;,\ 1[ puis en déduire celle de g.
c) En déduire qu'il existe un unique réel c\in\; ]0\;,\ 1[ tel que c=\tan\frac{\pi}{8c}
5) a) Montrer que : h(2-x)=2h(x) admet au moins une solution \alpha\in \mathbb{R}
b) Montrer que \alpha vérifie : \alpha^{3}-\alpha^{2}+3\alpha+1=0
Exercice 10
Soit f\ :\ x\longmapsto \dfrac{\sqrt[3]{x+1}-1}{\sqrt{x+1}-1}
1) Déterminer le domaine de définition D_{f} de f.
2) Etudier la continuité et la dérivabilité de f sur D_{f}.
3) Montrer que f admet un prolongement par continuité en 0, définir ce prolongement.
Exercice 11
Soit f la fonction définie sur \left[0\;,\ \frac{\pi}{3}\right] par f(x)=\sqrt[3]{2\cos x -1}
1) Etudier la dérivabilité de f sur \left[0\;,\ \frac{\pi}{3}\right].
2) Montrer que f est une bijection de \left[0\;,\ \frac{\pi}{3}\right] sur [0\;,\ 1]
3) Soit f^{-1} la réciproque de f, calculer \left(f^{-1}\right)'(x)\left(\sqrt[3]{\sqrt{3}-1}\right).
4) Préciser le domaine K de la dérivabilité de f^{-1}.
5) Déterminer l'expression de \left(f^{-1}\right)'(x) pour tout x de K.
Exercice 12
Soit f la fonction définie sur [0\;,\ +\infty[ par f(x)=x+\sqrt[3]{x}.
1) Soit x\in ]0\;,\ +\infty[. Montrer que pou tout \beta\in [x\;,\ x+1] on a : \dfrac{1}{3\sqrt[3]{(x+1)^{2}}}+1\leq f'(\beta)\leq \dfrac{1}{3\sqrt[3]{x^{2}}}+1
2) En déduire que pour tout x\in ]0\;,\ +\infty[ on a : \dfrac{1}{3\sqrt[3]{(x+1)^{2}}}\leq \sqrt[3]{x+1}-\sqrt[3]{x}\leq \dfrac{1}{3\sqrt[3]{x^{2}}}
3) En déduire \lim_{x\to+\infty}(\sqrt[3]{x+1}-\sqrt[3]{x})
Exercice 13
Soit \begin{array}{lll} f\ :\ \mathbb{R}&\rightarrow &\mathbb{R} \\ x&\longmapsto&f(x)=\left\lbrace\begin{array}{lll} x^{3} & si & x\leq 0\\ 2x^{2} & si & 0<x<\frac{1}{2}\\ x+\sqrt{2x-1} & si & x\geq \frac{1}{2} \end{array}\right.\end{array}
1) Etudier la continuité de f sur \mathbb{R}
2) Montrer que f réalise une bijection de \mathbb{R} sur \mathbb{R}
3) Etablire que f^{-1}(x)=\left\lbrace\begin{array}{lll} -\sqrt[3]{-x} & si & x\leq 0\\ \sqrt{\dfrac{x}{2}} & si & 0<x<\frac{1}{2}\\ x+1-\sqrt{2x} & si & x\geq \frac{1}{2} \end{array}\right.
Exercice 14
Soit f la fonction définie sur \left]0\;,\ \frac{\pi}{2}\right] par : f(x)=\dfrac{1}{\sin(x)}
1) Etudier les variations de f.
2) Montrer que f est une bijection de \left]0\;,\ \frac{\pi}{2}\right] sur un intervalle I que l'on déterminera.
3) On désigne par g la fonction réciproque de f. Calculer : g(1), \ g(\sqrt{2}) et g(2).
4) Montrer que g est dérivable sur I et que ; \forall\; x\in I : \ g'(x)=\dfrac{-1}{x\sqrt{1+x^{2}}}
5) Soit h la fonction numérique définie sur \left]0\;,\ \frac{\pi}{2}\right] par : h(x)=f(x)+\dfrac{1}{4}
Montrer que l'équation h(x)=x admet une solution unique x_{0} telle que \frac{\pi}{3}<x_{0}<\frac{\pi}{2}.
Exercice 15
Partie I
On considère la fonction g définie sur [0\;,\ 1[ par : g(x)=\sqrt{\dfrac{2x}{1-x^{2}}}.
1) Montrer que g n'est pas dérivable à droite en 0.
2) Etudier les variations de g et en déduire que g admet une fonction réciproque g^{-1} définie sur un intervalle I que l'on déterminera.
3) Expliciter g^{-1}(x) pour x\in I
4) Vérifier que pour tout x\in \left[0\;,\ \frac{\pi}{2}\right[\ : \ g\left(\tan\frac{x}{2}\right)=\sqrt{\tan x}.
Partie II
On considère la fonction f définie sur \left[0\;,\ \frac{\pi}{2}\right[ par : f(x)=2\sqrt{\tan x}-1
1) Etudier la dérivabilité de f à droite en 0. Interpréter graphiquement le résultat.
2) Dresser le tableau de variations de f et en déduire que f est une bijection de \left[0\;,\ \frac{\pi}{2}\right[ sur un intervalle J que l'on déterminera.
3) Montrer que pour tout x de \left]0\;,\ \frac{\pi}{2}\right[ : f'(x)>1.
4) Montrer que l'équation f(x)=x admet dans\left]0\;,\ \frac{\pi}{2}\right[ une solution unique \alpha et vérifier que \alpha\in \left]\frac{\pi}{6}\;,\ \frac{\pi}{4}\right[
5) En déduire le signe de : f(x)-x
6) On considère la suite u définie sur \mathbf{N} par \left\lbrace\begin{array}{lll} u_0=2\\ u_{n+1}=f^{-1}(u_n)\end{array}\right.
a) Montrer que pour tout n de \mathbb{N} : u_{n}\geq\alpha
b) Montrer que la suite u est décroissante.
c) En déduire que u est convergente et donner sa limite.
Partie III
On considère la fonction \varphi définie sur \left[0\;,\ \frac{\pi}{2}\right[ par \varphi(x)=\sqrt{\tan x}
1) Montrer que \varphi admet une fonction réciproque \varphi^{-1} définie sur un intervalle J' que l'on déterminera.
2) Montrer que pour tout x de ]0\;,\ +\infty[ on a : \left(\varphi^{-1}\right)'(x)=\dfrac{2x}{1+x^{4}}
3) Calculer \varphi^{-1}(1) et montrer que pour tout x de ]0\;,\ +\infty[ : \varphi^{-1}(x)+\varphi^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{\pi}{2}
Exercice 16
Partie I
Soit la fonction f définie sur ]-1\;,\ 1[ par f(x)=-1+\dfrac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}
1) Etudier les variations de f.
2) Montrer que l'équation f(x)=x admet dans ]-1\;,\ 1[ une solution unique \alpha et que \alpha>\frac{4}{5}
3) En déduire le signe de f(x)-x.
4) Montrer que f réalise une bijection de ]-1\;,\ 1[ sur \mathbb{R}
5) Montrer que pour tout x de \mathbb{R} on a : f^{-1}(x)=\dfrac{x+1}{\sqrt{1+(x+1)^{2}}}
Partie II
Soit la suite u définie sur \mathbb{N} par \left\lbrace\begin{array}{lll} u_0 \in [0\;,\ \alpha]\\ u_{n+1}=f^{-1}(u_{n})\end{array}\right.
1) a) Montrer que, pour tout n\in \mathbb{N} on a : 0\leq u_{n}\leq \alpha
b) Montrer que la suite u est croissante.
c) En déduire que uest convergente et calculer sa limite.
2) Montrer que pour tout x\in \mathbb{R}_{+} on a : \left|\left(f^{-1}\right)'(x)\right|\leq \dfrac{1}{2\sqrt{2}}
3) Montrer que pour tout n de \mathbb{N} on a : |u_{n+1}-\alpha|\leq \dfrac{1}{2\sqrt{2}}|u_{n}-\alpha|
4) En déduire que pour tout n de \mathbb{N} on a |u_{n}-\alpha|\leq \left(\frac{1}{2\sqrt{2}}\right)^{n}|u_{0}-\alpha|. Retrouver \lim_{n \to +\infty}u_{n}
Partie III
Soit la fonction h définie sur ]-1\;,\ 1[ par : h(x)=f\left(-\sin\left(\frac{\pi}{2}x\right)\right).
1) Montrer que pour tout x de ]-1\;,\ 1[ : h(x)=-1-\tan\left(\frac{\pi}{2}x\right)
2) Montrer que h établit une bijection de ]-1\;,\ 1[ sur \mathbb{R}
3) Montrer que h^{-1} est dérivable sur \mathbb{R} et que (h^{-1})'(x)=\dfrac{-2}{\pi(1+(x+1)^{2})}
4) Soit pour tout x de \mathbb{R^{*}} la fonction H tel que : H(x)=h^{-1}(x-1)+h^{-1}\left(\frac{1}{x}-1\right).
a) Montrer que H est dérivable sur \mathbb{R} et déterminer H'(x).
b) Calculer H\left(\frac{1}{2}\right) etH\left(-\frac{1}{2}\right). En déduire que H(x)=\left\lbrace\begin{array}{lll} -1&\text{si}&x>0\\ 1&\text{si}&x<0\end{array}\right.
5) Pour tout n de \mathbb{N} on a : v_{n}\sum_{k=1}^{n}\left(h^{-1}\left(\frac{1}{k}\right)+h^{-1}\left(-\frac{1}{k}\right)\right) et w_{n}=\dfrac{v_{n}}{n}
a) Donner la valeur de H\left(1+\frac{1}{k}\right). En déduire que : \forall\;k\in \mathbb{N}^{*} : h^{-1}\left(\frac{1}{k}\right)+h^{-1}\left(-\frac{1}{k+1}\right)=-1
b) Montrer que pour tout n\in \mathbb{N}^{*} : v_{n}=n-h^{-1}\left(-\frac{1}{n+1}\right). En déduire que la suite w est convergente et donner sa limite.
Commentaires
Anonyme (non vérifié)
sam, 05/01/2021 - 01:14
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correction svp
Yannick (non vérifié)
sam, 11/12/2022 - 08:36
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Élève
Karim (non vérifié)
mer, 03/23/2022 - 20:15
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Procédure
Élève (non vérifié)
jeu, 02/09/2023 - 20:07
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Stp
Danso Djibril (non vérifié)
mar, 04/30/2024 - 11:05
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Irakoze (non vérifié)
ven, 07/26/2024 - 06:09
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Irakoze (non vérifié)
ven, 07/26/2024 - 06:12
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