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Série d'exercices sur les fonctions réciproques 1e S

Exercice 1

On pose pour $a$ réel strictement positif la fonction $f_{a}$ définie sur $[0\;,\ a]$ par :

Pour tout $x\in [0\;,\ a]$, $f_{a}(x)=\dfrac{a-x}{a(a+x}$.

1) Montrer que $f_{a}$ réalise une bijection de $[0\;;\ a]$ sur $\left[0\;;\ \frac{1}{a}\right]$. On note $f_{a}^{-1}$ sa bijection réciproque.

2) Donner le tableau des variations de $f_{a}^{-1}$ en précisant les valeurs aux bornes.

3) Montrer que $f_{a}^{-1}=f_{\frac{1}{a}}$

Exercice 2

Soit $f$ la fonction définie sur $[0\;,\ +\infty[$ par $f(x)=\sqrt{4x^{2}+x}+2x+1$

1) Etudier la continuité et la dérivabilité de $f$ sur $[0\;,\ +\infty[$

2) Montrer que $f$ est une bijection de $[0\;,\ +\infty[$ sur un intervalle $J$ que l'on précisera

3) Sur quel ensemble $f^{-1}$ est-elle continue ?

4) Expliciter $f^{-1}(x)$ pour $x\in J$

5) Montrer que l'équation $f(x)=x+2$ admet une solution unique $a\in \left]\frac{1}{4}\;,\ \frac{1}{2}\right[$

Exercice 3

Soit $f\ :\ x\longmapsto f(x)=\sqrt{\dfrac{x}{1-x}}$

1) Déterminer le domaine de définition $D_{f}$ de $f$.

2) Etudier la dérivabilité de $f$ sur $D_{f}$.

3) Montrer que $f$ est une bijection de $[0\;,\ 1[$ sur un intervalle $J$ que l'on précisera.

4) Expliciter $f^{-1}(x)$ pour $x\in J$

Exercice 4

Soit $f\ :\ x\longmapsto f(x)=1+\dfrac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}$

1) Etudier la dérivabilité de $f$ sur $\mathbb{R}$.

2) Montrer que $f$ est une bijection de $\mathbb{R}$ sur un intervalle $J$ que l'on précisera

3) Expliciter $f^{-1}(x)$ pour $x\in J$

4) Montrer que $f^{-1}$ est dérivable sur $J$ et calculer $(f^{-1})(1)$.

Exercice 5

On considère la fonction $f$ définie sur $[-1\;,\ 1]-\{0\}$ par $f(x)=1+\dfrac{\sqrt{1-x^{2}}}{x}$

On note par $C$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $R$.

Partie A

1) Calculer $\lim_{x\rightarrow 0^{+}} f(x)$; $\lim_{x\rightarrow 0^{-}} f(x)$ et interpréter les résultats obtenus

2) Etudier la dérivabilité de $f$ en point d'abscisse $x=1$ et interpréter le résultat obtenu.

3) Etudier la dérivabilité de $f$ en point d'abscisse $x=-1$ et interpréter le résultat obtenu.

4) Montrer que : $\forall\; x\in [-1\;,\ 1]-\{0\}\ $ : $\ f'(x)=\dfrac{-1}{x^{2}\sqrt{1-x^{2}}}$

5) Dresser le tableau de variation de la fonction $f$.

6) Montrer que $f$ réalise une bijection de $]0\;,\ 1[$ sur un intervalle $J$ que l'on précisera.

7) Expliciter $f^{-1}(x)$ pour tout $x$ de $J$.

8) Représenter dans le même repère $R$ la courbe $C$ et $C'$ de $f^{-1}$.

Partie B

Soit $g$ la fonction définie sur $\left[0\;,\ \frac{\pi}{2}\right[$ par $g(x)=f(\cos x)$

1) Montrer que pour tout $x$ de $\left[0\;,\ \frac{\pi}{2}\right[$, $g(x)=1+\tan (x)$

2) Etudier le sens de variation de la fonction $g$

3) Montrer que l'équation : $g(x)=x$ admet une unique solution $\alpha$ dans $\left[0\;,\ \frac{\pi}{2}\right[$ et vérifier que $0<\alpha <\dfrac{\pi}{4}$

4) Montrer que $g$ réalise une bijection de $\left[0\;,\ \frac{\pi}{2}\right[$ sur un intervalle $K$ que l'on précisera

5) Montrer que $g^{-1}$ est dérivable sur $K$ et $\forall\;x\in K\ $ : $\ (g^{-1})'(x)=\dfrac{1}{x^{2}-2x+2}$

Exercice 6

Soit la fonction $f$ définie sur $[1\;,\ +\infty[$ par : $f(x)=x+\sqrt{x^{2}-1}$

1) Montrer que $f$ est dérivable sur $]1\;,\ +\infty[$ et calculer $f'(x)$.

2) Etudier la dérivabilité de $f$ à droite en 1 et interpréter le résultat obtenu.

3) Dresser le tableau de variation de $f$.

4) Montrer que $f$ réalise une bijection de $[1\;,\ +\infty[$ sur un intervalle $J$ que l'on précisera.

5) Montrer que pour tout $x$ de $J\ $ : $\ f^{-1}(x)=\dfrac{1+x^{2}}{2x}$

6) On désigne par $C$ et $C'$ les courbes respectives de $f$ et $f^{-1}$ dans le même repère orthonormé.

montrer que la droite $D\ $ : $\ y=2x$ est une asymptote oblique à $C$.

7) Tracer $C$ et $C'$

8) Soit $g$ la fonction définie sur $\left[0\;,\ \frac{\pi}{2}\right[$ par $g(x)=f\left(\frac{1}{\cos(x)}\right)$

a) Montrer que pour tout $x$ de $\left[0\;,\ \frac{\pi}{2}\right[$, $g(x)=\dfrac{1+\sin(x)}{\cos(x)}$

b) Montrer que $g$ réalise une bijection de $\left[0\;,\ \frac{\pi}{2}\right[$ sur un intervalle $K$ que l'on précisera.

c) Montrer que $g^{-1}$ est dérivable sur $K$ et pour tout $x$ de $K$ : $\left(g^{-1}\right)'(x)=\dfrac{2}{1+x^{2}}$

Exercice 7

Soit $\begin{array}{lll} f\ :\ \mathbb{R}&\rightarrow &\mathbb{R} \\ x&\longmapsto& \left\{\begin{array}{lll} x^{3}+12x+1 & si & x\in ]-\infty\;,\ 0]\\ \sqrt{1+x^{2}}-x & si & x\in ]0\;,\ +\infty[ \end{array}\right. \end{array}$

1) Calculer : $\lim_{x\rightarrow +\infty} f(x)$ et $\lim_{x\rightarrow -\infty} f(x)$

2) Etudier la continuité de $f$ sur $D_{f}$

3) Etudier la dérivabilité de $f$ en 0.

4) Calculer $f'(x)$ puis dresser la table de variation de $f$.

5) Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet dans $]-\infty, 0]$ une solution unique $\alpha$.

Vérifier que $\alpha \in\;]-\frac{1}{12}\;,\ 0]$

6) Soit $g$ la restriction de $f$ sur $]0\;,\ +\infty[$

a) Montrer que $g$ réalise une bijection de $]0\;,\ +\infty[$ sur un intervalle $J$ que l'on précisera.

b) Soit $g^{-1}$ la fonction réciproque de $g$.

(i) Etudier la continuité et la dérivabilité de $g^{-1}$ sur $J$

(ii) Expliciter $g^{-1}(x)$ : pour tout $x$ de $J$.

Exercice 8

Soit $f\ :\ x\longmapsto\ \left\lbrace\begin{array}{lll}\dfrac{\sqrt{x^{2}+1}-1}{x^{2}} & si & x>0\\ \dfrac{1}{2}\tan\left(x+\frac{\pi}{4}\right) & si & -\frac{\pi}{4}\leq x\leq 0 \end{array}\right. $

1) Etudier la continuité et la dérivabilité de $f$ sur son domaine de définition.

2) Soit $g$ la restriction de $f$ à $\left[-\frac{\pi}{4}\;,\ 0\right]$

a) Montrer que $g$ est une bijection de $\left[-\frac{\pi}{4}\;,\ 0\right]$ sur un intervalle $J$ que l'on précisera.

b) Déterminer le domaine de dérivabilité de $g^{-1}$, puis expliciter $\left(g^{-1}\right)'(x)$

3) a) Montrer que l'équation $g(x)+x=0$ admet une solution unique $\alpha\in \left]-\frac{\pi}{4}\;,\ 0\right[$

b) En déduire que le point $I(-\alpha\;,\ \alpha)\in \left(\xi_{g^{-1}}\right)\cap D$ où $\left(\xi_{g^{-1}}\right)$ est la courbe représentative de $g^{-1}$ dans un repère orthonormé et $D$ est la droite dont une équation cartésienne est : $y=-x$

Exercice 9

Soit $f$ la fonction définie sur $\left]-\frac{\pi}{2}\;,\ \frac{\pi}{2}\right[$ par $f(x)=\tan x$.

1) Montrer que $f$ réalise une bijection de $\left]-\frac{\pi}{2}\;,\ \frac{\pi}{2}\right[$ sur $\mathbb{R}$.

2) Soit $h$ la fonction réciproque de $f$. Montrer que $h$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et calculer $h'(x)$ pour tout $x\in \mathbb{R}$

3) Soit $\varphi$ la fonction définie sur $[0\;,\ 1[$ par : $\varphi(x)=h\left(\frac{1+x}{1-x}\right)$.

a) Montrer que $\varphi$ est dérivable sur $[0\;,\ 1[$ et calculer $\varphi'(x)$ pour tout $x\in [0\;,\ 1[$.

b) En déduire que : $\forall\;x\in [0\;,\ 1[$, $\varphi(x)=\dfrac{\pi}{4}+h(x)$.

4) Soit $g$ la fonction définie sur $[0\;,\ 1[$ par $g(x)=h\left(\frac{1+x}{1-x}\right)-(1+2x)h(x)$.

a) Montrer que $g$ est deux fois dérivable sur $[0\;,\ 1[$ te calculer $g'(x)$ et $g''(x)$.

b) Etudier les variations de $g'$sur $[0\;,\ 1[$ puis en déduire celle de $g$.

c) En déduire qu'il existe un unique réel $c\in\; ]0\;,\ 1[$ tel que $c=\tan\frac{\pi}{8c}$

5) a) Montrer que : $h(2-x)=2h(x)$ admet au moins une solution $\alpha\in \mathbb{R}$

b) Montrer que $\alpha$ vérifie : $\alpha^{3}-\alpha^{2}+3\alpha+1=0$

Exercice 10

Soit $f\ :\ x\longmapsto \dfrac{\sqrt[3]{x+1}-1}{\sqrt{x+1}-1}$

1) Déterminer le domaine de définition $D_{f}$ de $f$.

2) Etudier la continuité et la dérivabilité de $f$ sur $D_{f}$.

3) Montrer que $f$ admet un prolongement par continuité en 0, définir ce prolongement.

Exercice 11

Soit $f$ la fonction définie sur $\left[0\;,\ \frac{\pi}{3}\right]$ par $f(x)=\sqrt[3]{2\cos x -1}$

1) Etudier la dérivabilité de $f$ sur $\left[0\;,\ \frac{\pi}{3}\right]$.

2) Montrer que $f$ est une bijection de $\left[0\;,\ \frac{\pi}{3}\right]$ sur $[0\;,\ 1]$

3) Soit $f^{-1}$ la réciproque de $f$, calculer $\left(f^{-1}\right)'(x)\left(\sqrt[3]{\sqrt{3}-1}\right)$.

4) Préciser le domaine $K$ de la dérivabilité de $f^{-1}$.

5) Déterminer l'expression de $\left(f^{-1}\right)'(x)$ pour tout $x$ de $K$.

Exercice 12

Soit $f$ la fonction définie sur $[0\;,\ +\infty[$ par $f(x)=x+\sqrt[3]{x}$.

1) Soit $x\in ]0\;,\ +\infty[$. Montrer que pou tout $\beta\in [x\;,\ x+1]$ on a : $\dfrac{1}{3\sqrt[3]{(x+1)^{2}}}+1\leq f'(\beta)\leq \dfrac{1}{3\sqrt[3]{x^{2}}}+1$

2) En déduire que pour tout $x\in ]0\;,\ +\infty[$ on a : $\dfrac{1}{3\sqrt[3]{(x+1)^{2}}}\leq \sqrt[3]{x+1}-\sqrt[3]{x}\leq \dfrac{1}{3\sqrt[3]{x^{2}}}$

3) En déduire $\lim_{x\to+\infty}(\sqrt[3]{x+1}-\sqrt[3]{x})$

Exercice 13

Soit $\begin{array}{lll} f\ :\ \mathbb{R}&\rightarrow &\mathbb{R} \\ x&\longmapsto&f(x)=\left\lbrace\begin{array}{lll} x^{3} & si & x\leq 0\\ 2x^{2} & si & 0<x<\frac{1}{2}\\ x+\sqrt{2x-1} & si & x\geq \frac{1}{2} \end{array}\right.\end{array} $

1) Etudier la continuité de $f$ sur $\mathbb{R}$

2) Montrer que $f$ réalise une bijection de $\mathbb{R}$ sur $\mathbb{R}$

3) Etablire que $f^{-1}(x)=\left\lbrace\begin{array}{lll} -\sqrt[3]{-x} & si & x\leq 0\\ \sqrt{\dfrac{x}{2}} & si & 0<x<\frac{1}{2}\\ x+1-\sqrt{2x} & si & x\geq \frac{1}{2} \end{array}\right. $

Exercice 14

Soit $f$ la fonction définie sur $\left]0\;,\ \frac{\pi}{2}\right]$ par : $f(x)=\dfrac{1}{\sin(x)}$

1) Etudier les variations de $f$.

2) Montrer que $f$ est une bijection de $\left]0\;,\ \frac{\pi}{2}\right]$ sur un intervalle $I$ que l'on déterminera.

3) On désigne par $g$ la fonction réciproque de $f$. Calculer : $g(1)$, $\ g(\sqrt{2})$ et $g(2)$.

4) Montrer que $g$ est dérivable sur $I$ et que ; $\forall\; x\in I$ : $\ g'(x)=\dfrac{-1}{x\sqrt{1+x^{2}}}$

5) Soit $h$ la fonction numérique définie sur $\left]0\;,\ \frac{\pi}{2}\right]$ par : $h(x)=f(x)+\dfrac{1}{4}$

Montrer que l'équation $h(x)=x$ admet une solution unique $x_{0}$ telle que $\frac{\pi}{3}<x_{0}<\frac{\pi}{2}$.

Exercice 15

Partie I

On considère la fonction $g$ définie sur $[0\;,\ 1[$ par : $g(x)=\sqrt{\dfrac{2x}{1-x^{2}}}$.

1) Montrer que $g$ n'est pas dérivable à droite en 0.

2) Etudier les variations de $g$ et en déduire que $g$ admet une fonction réciproque $g^{-1}$ définie sur un intervalle $I$ que l'on déterminera.

3) Expliciter $g^{-1}(x)$ pour $x\in I$

4) Vérifier que pour tout $x\in \left[0\;,\ \frac{\pi}{2}\right[\ $ : $\ g\left(\tan\frac{x}{2}\right)=\sqrt{\tan x}$.

Partie II

On considère la fonction $f$ définie sur $\left[0\;,\ \frac{\pi}{2}\right[$ par : $f(x)=2\sqrt{\tan x}-1$

1) Etudier la dérivabilité de $f$ à droite en 0. Interpréter graphiquement le résultat.

2) Dresser le tableau de variations de $f$ et en déduire que $f$ est une bijection de $\left[0\;,\ \frac{\pi}{2}\right[$ sur un intervalle $J$ que l'on déterminera.

3) Montrer que pour tout $x$ de $\left]0\;,\ \frac{\pi}{2}\right[$ : $f'(x)>1$.

4) Montrer que l'équation $f(x)=x$ admet dans$\left]0\;,\ \frac{\pi}{2}\right[$ une solution unique $\alpha$ et vérifier que $\alpha\in \left]\frac{\pi}{6}\;,\ \frac{\pi}{4}\right[$

5) En déduire le signe de : $f(x)-x$

6) On considère la suite $u$ définie sur $\mathbf{N}$ par $\left\lbrace\begin{array}{lll} u_0=2\\ u_{n+1}=f^{-1}(u_n)\end{array}\right. $

a) Montrer que pour tout $n$ de $\mathbb{N}$ : $u_{n}\geq\alpha$

b) Montrer que la suite $u$ est décroissante.

c) En déduire que $u$ est convergente et donner sa limite.

Partie III

On considère la fonction $\varphi$ définie sur $\left[0\;,\ \frac{\pi}{2}\right[$ par $\varphi(x)=\sqrt{\tan x}$

1) Montrer que $\varphi$ admet une fonction réciproque $\varphi^{-1}$ définie sur un intervalle $J'$ que l'on déterminera.

2) Montrer que pour tout $x$ de $]0\;,\ +\infty[$ on a : $\left(\varphi^{-1}\right)'(x)=\dfrac{2x}{1+x^{4}}$

3) Calculer $\varphi^{-1}(1)$ et montrer que pour tout $x$ de $]0\;,\ +\infty[$ : $\varphi^{-1}(x)+\varphi^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{\pi}{2}$

Exercice 16

Partie I

Soit la fonction $f$ définie sur $]-1\;,\ 1[$ par $f(x)=-1+\dfrac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}$

1) Etudier les variations de $f$.

2) Montrer que l'équation $f(x)=x$ admet dans $]-1\;,\ 1[$ une solution unique $\alpha$ et que $\alpha>\frac{4}{5}$

3) En déduire le signe de $f(x)-x$.

4) Montrer que $f$ réalise une bijection de $]-1\;,\ 1[$ sur $\mathbb{R}$

5) Montrer que pour tout $x$ de $\mathbb{R}$ on a : $f^{-1}(x)=\dfrac{x+1}{\sqrt{1+(x+1)^{2}}}$

Partie II

Soit la suite $u$ définie sur $\mathbb{N}$ par $\left\lbrace\begin{array}{lll} u_0 \in [0\;,\ \alpha]\\ u_{n+1}=f^{-1}(u_{n})\end{array}\right. $

1) a) Montrer que, pour tout $n\in \mathbb{N}$ on a : $0\leq u_{n}\leq \alpha$

b) Montrer que la suite $u$ est croissante.

c) En déduire que $u$est convergente et calculer sa limite.

2) Montrer que pour tout $x\in \mathbb{R}_{+}$ on a : $\left|\left(f^{-1}\right)'(x)\right|\leq \dfrac{1}{2\sqrt{2}}$

3) Montrer que pour tout $n$ de $\mathbb{N}$ on a : $|u_{n+1}-\alpha|\leq \dfrac{1}{2\sqrt{2}}|u_{n}-\alpha|$

4) En déduire que pour tout $n$ de $\mathbb{N}$ on a $|u_{n}-\alpha|\leq \left(\frac{1}{2\sqrt{2}}\right)^{n}|u_{0}-\alpha|$. Retrouver $\lim_{n \to +\infty}u_{n}$

Partie III

Soit la fonction $h$ définie sur $]-1\;,\ 1[$ par : $h(x)=f\left(-\sin\left(\frac{\pi}{2}x\right)\right)$.

1) Montrer que pour tout $x$ de $]-1\;,\ 1[$ : $h(x)=-1-\tan\left(\frac{\pi}{2}x\right)$

2) Montrer que $h$ établit une bijection de $]-1\;,\ 1[$ sur $\mathbb{R}$

3) Montrer que $h^{-1}$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et que $(h^{-1})'(x)=\dfrac{-2}{\pi(1+(x+1)^{2})}$

4) Soit pour tout $x$ de $\mathbb{R^{*}}$ la fonction $H$ tel que : $H(x)=h^{-1}(x-1)+h^{-1}\left(\frac{1}{x}-1\right)$.

a) Montrer que $H$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et déterminer $H'(x)$.

b) Calculer $H\left(\frac{1}{2}\right)$ et$H\left(-\frac{1}{2}\right)$. En déduire que $H(x)=\left\lbrace\begin{array}{lll} -1&\text{si}&x>0\\ 1&\text{si}&x<0\end{array}\right. $

5) Pour tout $n$ de $\mathbb{N}$ on a : $v_{n}\sum_{k=1}^{n}\left(h^{-1}\left(\frac{1}{k}\right)+h^{-1}\left(-\frac{1}{k}\right)\right)$ et $w_{n}=\dfrac{v_{n}}{n}$

a) Donner la valeur de $H\left(1+\frac{1}{k}\right)$. En déduire que : $\forall\;k\in \mathbb{N}^{*}$ : $h^{-1}\left(\frac{1}{k}\right)+h^{-1}\left(-\frac{1}{k+1}\right)=-1$

b) Montrer que pour tout $n\in \mathbb{N}^{*}$ : $v_{n}=n-h^{-1}\left(-\frac{1}{n+1}\right)$. En déduire que la suite $w$ est convergente et donner sa limite.