Exercice 1 (04 points)

On considère dans $\mathbb{C}\;$, l'équation :

$$z^{3}-(3+2\mathrm{i})z^{2}+(1+4\mathrm{i})z+1-2\mathrm{i}=0$$

1) a) Déterminer la solution réelle de cette équation. $\quad(0.5\;pt)$

b) Montrer que $\mathrm{i}$ est une solution de cette équation. $\quad(0.5\;pt)$

c) Déterminer la troisième solution de cette équation. $\quad(0.5\;pt)$

2) Soient les points $A\;,\ B$ et $C$ d'affixes respectives $1\;,\ \mathrm{i}$ et $2+\mathrm{i}.$

a) Déterminer le module et un argument de $\dfrac{z_{C}-z_{A}}{z_{B}-z_{A}}.\quad(01\;pt)$

b) En déduire la nature du triangle $ABC.\quad(0.5\;pt)$

c) Déterminer l'affixe du point $D$ image de $A$ par la rotation de centre $B$ et d'angle $\dfrac{\pi}{2}.\quad(0.5\;pt)$

d) Montrer que $A\;,\ B\;,\ C$ et $D$ sont sur un cercle de centre $I(1+\mathrm{i})$ et de rayon $r$ à déterminer.$\quad(0.5\;pt)$

Exercice 2 (04 points)

1) On considère un dé cubique truqué dont les faces sont numérotées de 1 à 6.

On note $p_{i}$ la probabilité d'apparition de la face numérotée $i.$ Les $p_{i}$ vérifient :

$$p_{1}=p_{2}\;;\quad p_{3}=p_{4}=2p_{1}\;;\quad p_{5}=p_{6}=3p_{1}$$

a) Montrer que $p_{1}=\dfrac{1}{12}.\quad(01\;pt)$

b) Montrer que la probabilité de l'événement $A$ : "obtenir 3 ou 6" est égale à $\dfrac{5}{12}.\quad(0.5\;pt)$

2. Un jeu d'adresse consiste à lancer le dé décrit ci-dessus puis à lancer une fléchette sur une cible fixe.

Si le joueur obtient 3 ou 6, il se place à $5\;m$ de la cible et lance la fléchette sur la cible ; à $5\;m\;$, la probabilité d'atteindre la cible est alors $\dfrac{3}{5}.$

Si l'événement $A$ n'est pas réalisé, il se place à $7\;m$ de la cible et lance la fléchette ; à $7\;m\;$, la cible est atteinte avec une probabilité égale à $\dfrac{2}{5}.$

On note $C$ l'événement : "la cible est atteinte".

a) Déterminer $p(C/A)$ et $p(C/\overline{A} ).\quad (0.5+0.5\;pt)$

En déduire que $p(C)=\dfrac{29}{60}.\quad (0.5\;pt)$

b) Déterminer $p(A/C).\quad(0.5\;pt)$

3) Le joueur dispose de 10 fléchettes qu'il doit lancer une à une, de façon indépendante, dans les mêmes conditions que précédemment définies.

Calculer la probabilité pour qu'il atteigne la cible exactement 4 fois.$\quad (0.5\;pt)$

Problème : (12 points)

I.

Soit $g$ la fonction définie sur $]0\;;\ +\infty[$ par : $g(x)=1+x+\ln x.$

1) Dresser le tableau de variation de $g. \quad(01.5\;pt)$

2) Montrer qu'il existe un unique réel $\alpha$ solution de l'équation $g(x)=0.$ Vérifier que $\alpha$ appartient à $]0.2\;;\ 0.3[.\quad (0.5\;pt)$

3) En déduire le signe de $g$ sur $]0\;;\ +\infty[.\quad (0.5\;pt)$

4) Établir la relation $\ln(\alpha)=-1-\alpha.\quad (0.5\;pt)$

II.

On considère la fonction $f$ définie par : $$f(x)=\left\{\begin{array}{lll} \dfrac{x\ln x}{1+x}\quad &\text{si }& x>0 \\ \\ 0\quad &\text{si }& x=0 \end{array}\right.$$

1) Montrer que $f$ est continue en 0 puis sur $]0\;;\ +\infty[.\quad (0.5+0.5\;pt)$

2) Étudier la dérivabilité de $f$ en 0. Interpréter graphiquement ce résultat.$\quad (0.5+0.5\;pt)$

3) Déterminer la limite de $f$ en $+\infty.\quad (0.5\;pt)$

4) Montrer que, quel que soit $x$ élément de $]0\;;\ +\infty[\;,\ f'(x)=\dfrac{g(x)}{(1+x)^{2}}.\quad (01\;pt)$

En déduire le signe de $f'(x)$ sur $]0\;;\ +\infty[.\quad (0.5\;pt)$

5) Montrer que $f(\alpha)=-\alpha.\quad (0.5\;pt)$

6) Dresser le tableau de variations de la fonction $f.\quad (0.5\;pt)$

7) Représenter la courbe de $f$ dans le plan muni du repère orthonormal $(O\;;\ \vec{i}\;,\ \vec{j}).$ Unité graphique : $5\;cm\;.$ Prendre $\alpha\approx 0.3.\quad (1.5\;pt)$

III.

1) A l'aide d'une intégration par parties, calculer l'intégrale $$I=\int_{1}^{\mathrm{e}}x\ln(x) \mathrm{d}x\quad(01\;pt)$$

2) Montrer que pour tout $x$ élément de $[1\;;\ \mathrm{e}]\;,\ \dfrac{x\ln x}{\mathrm{e}+1}\leq f(x)\leq\dfrac{x\ln x}{2}.\quad (01\;pt)$

En déduire que : $$\dfrac{\mathrm{e}^{2}+1}{4(\mathrm{e}+1)}\leq\int_{1}^{\mathrm{e}}f(x)\mathrm{d}x\leq\dfrac{\mathrm{e}^{2}+1}{8}\quad(0.5\;pt)$$