Révision - 4e

Classe: 
Quatrième

I. Décimaux relatifs

I.1 Définition 

AA et nn étant deux entiers relatifs. On appelle décimal relatif tout nombre de la forme A.10n.A.10n.
 
Un décimal relatif est donc le produit d'un entier relatif par une puissance de 10.
 
Exemples : 3,745=3745.1033,745=3745.103
 
Si aNaN et nZnZ alors on a : x=a.10nx=a.10n avec xD64700=647.102xD64700=647.102

I.2 Remarques

Tout entier naturel est un décimal arithmétique ou décimal relatif positif avec ND.ND.
 
Tout entier relatif est décimal relatif avec ZDZD.
 
D'une manière générale tout nombre entier est un nombre décimal.
 
L'entier naturel 0 est appelé le décimal nul.

II. Opérations 

II.1 Addition

La somme de deux ou plusieurs décimaux relatifs quelconques est un décimal relatif.

Exemple :

a.10n+b.10pa.10n+b.10p
 
Si n=pn=p alors a.10n+b.10p=a.10n+a.10n=(a+b)10na.10n+b.10p=a.10n+a.10n=(a+b)10n

Exemples : 

3.42+6.75=342.102+675.102=(342+675).102=333.1023.42+6.75=342.102+675.102=(342+675).102=333.102
 
Si npnp ; supposons n>pn>p alors il existe qNqN tel que n=p+qn=p+q donc : a.10n+b.10p=a.10p+q+a.10p=a.10p×a.10q+a.10p=(a.10q+b).10pa.10n+b.10p=a.10p+q+a.10p=a.10p×a.10q+a.10p=(a.10q+b).10p

Exemples :

0.824+6.32=824.103+632.102
 
0.824+6.32=824.103+632.103+1 
 
0.824+6.32=(824+632.101).103
 
0.824+6.32=(824+632).103
 
0.824+6.32=5496.103

II.2 Soustraction 

La différence de deux nombres décimaux relatifs est un nombre décimal relatif.
 
Soustraire un nombre relatif revient a ajouter son opposé.

Exemples : 

(3.5)(6.5)=3.5+6.5=6.53.5=32(+6)=26=4

II.3 Multiplication

Le produit de deux décimaux relatifs quelconque est un décimal relatif.
 
a.10n×b.10p=(a×b).10n+p

Exemples : 

(+0.003)×(0.04)=3.103×(4.102)=(3×4).1032=12.105

II.4 Division 

Le quotient de deux décimaux relatif quelconque est un décimal relatif.
 
Diviser par un nombre décimal relatif revient a multiplier par son inverse : a.10nb.10p=ab.10np

II.5 Fraction 

On appelle fraction tout nombre de la forme ab avec aN et bN (b0)

Exemples : 

25; 12; 314; 711

II.6 Somme algébrique

On appelle somme algébrique une suite d'addition et de soustraction. 
 
On peut supprimer les parenthèses précédées d'un signe + tout en conservant les signes qui sont a l'intérieur des parenthèses

Exemples :

+(3.5+2.55)=3.5+2.565
 
On peut supprimer les parenthèses précédées d'un signe mais dans ce cas on change les signes qui sont a l'intérieur des parenthèses en leur signe opposé (contraires).

Exemples : 

(6.53.7+347.45)=6.5+3.734+7.45

III. Comparaison 

III.1 Comparaison d'une fraction à l'unité 

Si ab>1ab>11a×1>b×1a>b
 
Si ab<1ab<11a×1<b×1a<b
 
Si ab=1ab=11a×1=b×1a=b

III.2 Comparaison de fractions

III.2.1 Deux fractions de même dénominateur

Comparer ab et cb revient a comparer a et c.

III.2.2 Deux fractions de dénominateurs différents

Pour comparer deux fractions de dénominateurs différents;on les réduit au même dénominateur et on compare les numérateurs.

NB :

Le dénominateur commun de deux ou plusieurs fractions n'est rien d'autre que le PPCM de tous les dénominateurs.
 
On simplifie une fraction avec le PGCD du numérateur et du dénominateur.
 

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