Droites perpendiculaires et droites parallèles - 6e

Classe: 
Sixième

I. Droites perpendiculaires

I.1. Présentation

Deux droites perpendiculaires sont deux droites sécantes en formant un angle droit.

 

 
Les droites (D1)(D1) et (D2)(D2) sont perpendiculaires 
 
On note : (D1)(D2)(D1)(D2)
 
On lit : la droite (D1)(D1) est perpendiculaire à la droite (D2)(D2)

I.2. Construction

I.2.1. La règle  et l'équerre

On trace la droite (D1)(D1) avec la règle.
 
On pose un coté de l'angle droit de l'équerre sur (D1)(D1)
 
On trace la droite (D2)(D2) sur l'autre coté de l'angle droit de l'équerre :
 
On prolonge (D2)(D2) par la règle et on met le codage

I.1.2 La règle et le compas

On trace la droite (D1)(D1) avec la règle
 
On choisit deux points distincts sur (D1)(D1)
 
A partir de chaque point; on trace un arc de cercle qui dépasse le milieu du  segment formé par les deux points.
 
On trace la droite (D2)(D2)passant par les deux points formés par les intersections des deux arcs.
 
On a : (D1)(D2)(D1)(D2) et on met le codage.

I.3. Propriété

Activité

Tracer une droite (D)(D) puis placer un point AA n'appartenant pas (D).(D).
 
Tracer la droite (D) passant par A tel que : (D)(D).
 
Combien peut-on tracer de droites (D) passant par A ?

 

 

Énoncé

Par un point du plan passe une et une seule droite perpendiculaire à une droite donnée.

I.4. Médiatrice d'un segment

Activité

Soit [AB] un segment du plan et O son milieu.
 
Tracer la droite (D) passant par O et perpendiculaire à (AB).
 
Que représente (D) pour [AB] ?

 

 

Définition

Une médiatrice d'un segment est une droite qui passe par le milieu de ce segment et perpendiculaire au support de ce segment.

Traduction mathématique

(D) est la médiatrice de [AB] signifie que (D) passe par le milieu de [AB] et est perpendiculaire à (AB).

Propriété 1

Tout point de (D) est situé à égale distance des extrémités de ce segment.

Propriété 2

Tout point situé à égale distance des extrémités d'un segment appartient à la médiatrice de ce segment.

I.5. Hauteur d'un triangle

La hauteur d'un triangle est la droite qui passe par un sommet et perpendiculaire au support du coté opposé à ce sommet.

 

I.6. Triangle rectangle

Un triangle rectangle est un triangle dont les supports de deux cotés sont perpendiculaires.
 
Le troisième coté opposé à l'angle droit est appelé l'hypoténuse.

 
 
 

II. Droites parallèles

II.1. Présentation

Activité

Soit (D) une droite du plan. Tracer la droite (L) perpendiculaire à (D) puis la droite (Δ) perpendiculaire à (D).
 
Que peut-on dire des droites (L) et (Δ) ?

 

 

Définition

Deux droites sont parallèles lorsqu'elles sont perpendiculaires à une même droite.
 
On écrit : (L)(Δ).
 
On lit : la droite (L) est parallèle à la droite (Δ).

Traduction mathématique

Données : (L)(D)  et  (Δ)(D)
 
Conclusion : (L)(Δ)

II.2. Construction

II.2.1. La règle et l'équerre

On trace la droite (Δ) avec la règle et on place un point A n'appartenant pas à (Δ).
 
On pose un coté de l'angle droit de l'équerre sur (Δ) et sur l'autre côté de l'angle droit, on place la règle.
 
En maintenant une légère pression sur la règle, on fait glisser l'équerre jusqu'au point A.
 
On retire la règle et on trace la droite (L) passant par A.
 
On prolonge (L) par la règle et on met le codage

II.2.2. La règle et le compas

On trace la droite (Δ) avec la règle
 
On choisit deux points distincts A  et  B sur (Δ)
 
A partir de chaque point ; on trace un arc de cercle de rayon la longueur du  segment [AB].
 
Ensuite, on prend comme centre le point A et avec le compas on trace un arc de cercle qui coupe le premier arc au point C.
 
Après, on passe en B, en conservant la même ouverture AC et on place le point D.
 
Enfin, on trace la droite (L) passant par les deux points C  et  D.
 
On a : (L)(Δ) et on met le codage.

II.3. Propriétés

Activité

Soient (D) une droite du plan et A un point n'appartenant pas à (D).
 
Tracer la droite (D) passant par A et parallèle à (D).
 
Combien y a-t-il de possibilités ?

 

Propriété 1

Par un point du plan,passe une droite et une seule parallèle à une droite donnée.

Activité

Soient (L) et (Δ) deux droites parallèles.
 
Tracer la droite (D)(L).
 
Quelle est la position de (D) par rapport à (Δ) ?

 

 

Propriété 2

Deux droites étant parallèles;toute droite parallèle à l'une est parallèle à l'autre.

Traduction mathématique

Données : (L)(Δ)  et  (L)(D)
 
Conclusion : (Δ)(D)

Propriété 3

Lorsque deux droites sont parallèles;toute droite perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre.

Traduction mathématique

Données : (L)(Δ)  et  (L)(D)
 
Conclusion : (Δ)(D)

 

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