Série d'exercice sur les primitives et l'étude de fonctions 1e S
Exercice
Déterminer les primitives de la fonction f puis celle qui s'annule en (+2)
préciser l'intervalle de définition
1) f(x)=(x−1)(x−2);2) f(x)=4x4−2x2+5x
3) f(x)=x+1x2;4) f(x)=(x+1)3
5) f(x)=1(x+1)3;6) f(x)=x+1√x
7) f(x)=1√x+1;8) f(x)=(2x−1)(x2−x)2
9) f(x)=2x+1(x2+x+1)2;10) f(x)=3x√x2+1
11) f(x)=x4+x2+1x2;12) f(x)=3sinπx2
13) f(x)=sin2x;14) f(x)=sin3x+cos(2x+3)
15) f(x)=cosxsin2x;16) f(x)=sin2xcosx
Exercice 1
Recherche d'asymptotes
Dans chacun des cas suivants :
Montrer que la droite D dont l'équation est donnée est asymptote à la courbe C de la
fonction f en −∞ et en +∞
Étudier la positon relative de la courbe C et de la droite D.
1) f(x)=3x+1x−1D : y=3
2) f(x)=2x−1+1x−2D : y=2x−1
3) f(x)=−x2+2x+1D : −x+1
4) f(x)=x3x2+1D : y=x
5) f(x)=x+3x2−4xD : y=0
6) f(x)=√x2−x+3D : y=x−12
Exercice 2
Recherche d'asymptotes
Montrer que la courbe représentant le graphe de chacune des fonctions f suivantes admet une asymptote non parallèle aux axes de coordonnées.
(il est recommandé d'étudier d'abord l'ensemble de définition de chaque fonction).
1) f(x)=x2+x+1x+1;2) f(x)=x2−3x+3x
3) f(x)=2x2+3x−5x+1;4) f(x)=6x2+5x−62x+3
5) f(x)=x2+|x|+1|x|+2;6) f(x)=|2x2−3xx−2|
7) f(x)=x√xx−1;8) f(x)=x2√x2+1;9) f(x)=x+√x2−1
Exercice 3
Dans chacun des cas suivants :
Montrer que la droite D dont l'équation est donnée est asymptote à la courbe C de la Fonction f en −∞ et en +∞.
Étudier la position relative de la courbe C et de la droite D.
1) f(x)=3x+1x−1D : y=3
2 f(x)=2x−1+1x−2D : y=2x−1
3) f(x)=−x2+2x+1D : y=−x+1
4) f(x)=x3x2+1D : y=x
5) f(x)=x+3x2−4xD : y=0
6) f(x)=√x2−x+3D : y=x−12
Étude de fonction
Exercice 1
a) Déterminer la fonction polynôme du second degré f telle que
f(0)=4; f′(0)=3; f(1)=3
b) Étudier cette fonction.
Exercice 2
Soit la fonction :
{f(x)=x2−1six<1f(x)=x−2x+2six≥1
1) Démontrer que f est continue en 1
2) Calculer les limites aux bornes (Faites l'étude des branches infinies).
3) Étudier la dérivabilité de f en 1.
4) Déterminer une équation de la demi-tangente à gauche et une équation de la demi-tangente à droite à la courbe (Cf) au point d'abscisse 1.
5) Calculer la dérivée f′(x) de la fonction f sur ]−∞; 1[ et sur ]1; +∞[
6) Étudier le sens de variation de f sur ]−∞; 1[ et sur (1; +∞[ puis dresser le tableau de variation.
7) Tracer (Cf)
Exercice 3
Soit f la fonction définie sur R par : f(x)=x−1+2xx2+1
on désigne par (C) sa courbe dans un repère orthonormé (O, →i, →j)
1) Étudier la fonction f (limites, dérivée, sens de variation et tableau)
2) Montrer que (D) : y=x−1 est une asymptote à la courbe (C)
3) Montrer que I(0; −1) est centre de symétrie de (C)
4) Déterminer l'équation de la tangente (T) à la courbe (C) en I puis préciser la position de (C) par rapport à (T)
5) Déterminer les points A et B de (C) où la tangente est parallèle à la droite d'équation y=x−2
6) Montrer que pour tout réel x : x−2≤f(x)≤x
7) Tracer (C), (T) ainsi que les droites (D) et (D′) d'équations y=x−2
et y=x
Exercice 4
1) Montrer que 1+x−√x2+1=0 ⟺ x=0
2) Soit h : x↦√x2+11+x−√x2+1
Préciser Dh et déterminer les limites aux bornes de Dh
3) Déterminer les asymptotes de (Ch) (On étudiera la position de (Ch) par rapport à l'asymptote horizontale et l'asymptote oblique)
4) Étudier les variations de h et dresser le tableau de variation de h.
5) Construire (Ch) dans un repère orthonormé (unité : 1cm)
Exercice 5
Soit f la fonction définie par : f(x)=13(x2+x+1x); x≠0
1) Calculer f′(x) et vérifier que pour tout x≠0, f′(x) a même signe que 2x3+x2−1
Pour trouver le signe de f′(x), on étudie la fonction g telle que : g(x)=2x3+x2−1
2) a) Étudier les variations de g
b) En déduire que l'équation g(x)=0 admet une solution et une seule α telle que 0.5<α<1
Quel est le signe de g(x) sur ]−∞; α] ? sur ]α; +∞[ ?
3) Dresser le tableau de variation de f.
4) Notons h la fonction définie par h(x)=13(x2+x)
a) Étudier les limites de f(x)−h(x) en +∞ et −∞.
Qu'en déduit-on pour les courbes (Cf) et (Ch) ?
b) Étudier la position de (Cf) par rapport à (Ch)
5) Tracer (Cf) et (Ch) dans un même repère orthonormal (unité : 3cm)
Exercice 6
On considère la fonction f définie par : f(x)=√x2+2x
On note (Cf) la courbe de f et Δ la droite d'équation y=x+1
1) Déterminer Df, puis calculer les limites aux bornes de Df
2) Étudier la dérivabilité de f en -2 puis en 0.
Que peut-on en déduire pour (Cf) ?
3) Calculer f′(x) pour x<−2 et pour x>0
4) Étudier le signe de f′(x) pour x<−2 et pour x>0
5) Dresser le tableau de variation de f.
6) Montrer que Δ est une asymptote oblique de (Cf) au voisinage de +∞
7) Déterminer l'autre asymptote oblique Δ′ de (Cf)
8) Soit f1 la restriction de f à ]−∞; −2]
Montrer que f1 est bijective de ]−∞; −2] sur un intervalle J à préciser.
9) Préciser f−11(x)
10) Étudier la position de (Cf) par rapport à Δ sur [0; +∞[,
puis celle de (Cf) par rapport à Δ′ sur ]−∞; −2]
11) Construire (Cf), Δ, Δ′
puis (Cf−11) courbe de f−11 dans un repère (O, →i, →j)
Étude des fonctions circulaires
Exercice 1
Déterminer les limites des fonctions suivantes aux points x0 indiqués ou en +∞
1) f:x↦xsinx(x0=0)et g:x↦tanxx(x0=0)
2) f:x↦sinxx+tanx(x0=0)et g:x↦sin3x2x(x0=0)
3) f:x↦tan2x5x(x0=0)et g:x↦sin3xsin5x(x0=0)
4) f:x↦sin3xtan2x(x0=0)et g:x↦sinx√1−cosx(x0=0)
5) f:x↦sinx−tanxx3(x0=0)et g:x↦sin2x−sinxsin2x+sinx(x0=0)
6) f:x↦tan6x−tanx1−2sinx(x0=π6)et g:x↦sin3x1−2cosx(x0=π3)
7) f:x↦2cos2x−1cos3x(x0=π6)et g:x↦tanxsin2x−1(x0=π4)
8) f:x↦sinx−cosxx−π4(x0=π4)et g:x↦cosx−√3sinxx−π6(x0=π6)
9) f:x↦1+cosx√x(+∞)et g:x↦xsinxx2+1(+∞)
Exercice 2
Dans chacun des cas suivants, calculer la dérivée de la fonction f.
1) f(x)=(1−x)√2−3x;2) f(x)=3sinx−5cosx
3) f(x)=tanx+x;4) f(x)=2sinx−13cosx+1
5) f(x)=cos2x+sin3xtan6x;6) f(x)=sin(2x+π3)
7) f(x)=cosx+xsinxsinx−xcosx;8) f(x)=1−tan2x1+tan2x
Exercice 3
Étudier les fonctions suivantes et dessiner leurs courbes représentatives dans les intervalles précisés.
1) f(x)=cos2x+12cosx−1(sur [0; π])
2) f(x)=2sinx+x(sur [0; π[)
3) f(x)=4cos2x−cos3x
4) f(x)=4sinx+1sinx−1(sur [0; 2π[)
5) f(x)=tan2x−2tanx(sur [0; π[)
6) f(x)=√1−sinx(sur [0; 2π[)
7) f(x)=1+sinx1−cosx intervalle à préciser
8) f(x)=cosx+xsinx [−π; π]
Exercice 4
Soit la fonction :
{f(x)=x2−1six<1f(x)=x−2x+2six≥1
1) Démontrer que f est continue en 1
2) Calculer les limites aux bornes (faites l'étude des branches infinies)
3) Étudier la dérivabilité de f en 1.
4) Déterminer une équation de la demi-tangente à gauche et une équation de la demi-tangente à droite à la courbe (Cf) au point d'abscisse 1.
5) Calculer la dérivée f′(x) de la fonction f sur ]−∞; 1[ et sur (1; +∞[
6) Étudier le sens de variation de f sur ]−∞; 1[ et sur (1; +∞[ puis dresser le
tableau de variation.
7) Tracer (Cf)
Exercice 5
Soit f la fonction définie sur R par : f(x)=x−1+2xx2+1
on désigne par (C) sa courbe dans un repère orthonormé (O, →i, →j)
1) Étudier la fonction f (limites, dérivée, sens de variation et tableau)
2) Montrer que (D) : y=x−1 est une asymptote à la courbe (C)
3) Montrer que I(0; −1) est centre de symétrie de (C)
4) Déterminer l'équation de la tangente (T) à la courbe (C) en I puis préciser la position de (C) par rapport à (T)
5) Déterminer les points A et B de (C) où la tangente est parallèle à la droite d'équation y=x−2
6) Montrer que pour tout réel x : x−2≤f(x)≤x
7) Tracer (C), (T) ainsi que les droites (D) et (D′) d'équations y=x−2 et y=x
Exercice 6
1) Montrer que 1+x−√x2+1=0 ⇔ x=0
2) Soit h : x↦√x2+11+x−√x2+1
Préciser Dh et déterminer les limites aux bornes de Dh
3) Déterminer les asymptotes de (Ch)
(On étudiera la position de (Ch) par rapport à l'asymptote horizontale et l'asymptote oblique)
4) Étudier les variations de h et dresser le tableau de variation de h.
5) Construire (Ch) dans un repère orthonormé (unité : 1cm)
Exercice 7
Soit f la fonction définie par : f(x)=13(x2+x+1x); x≠0
1) Calculer f′(x) et vérifier que pour tout x≠0, f′(x) a même signe que 2x3+x2−1
Pour trouver le signe de f′(x), on étudie la fonction g telle que : g(x)=2x3+x2−1
2) a) Étudier les variations de g
b) En déduire que l'équation g(x)=0 admet une solution et une seule α telle que 0.5<α<1
Quel est le signe de g(x) sur ]−∞; α] ? sur ]α; +∞[ ?
3) Dresser le tableau de variation de f.
4) Notons h la fonction définie par h(x)=13(x2+x)
a) Étudier les limites de f(x)−h(x) en +∞ et −∞.
Qu'en déduit-on pour les courbes (Cf) et (Ch) ?
b) Étudier la position de (Cf) par rapport à (Ch)
5) Tracer (Cf) et (Ch) dans un même repère orthonormal (unité : 3cm)
Exercice 8
On considère la fonction f définie par : f(x)=√x2+2x
On note (Cf) la courbe de f et Δ la droite d'équation y=x+1
1) Déterminer Df, puis calculer les limites aux bornes de Df.
2) Étudier la dérivabilité de f en -2 puis en 0.
Que peut-on en déduire pour (Cf) ?
3) Calculer f′(x) pour x<−2 et pour x>0
4) Étudier le signe de f′(x) pour x<−2 et pour x>0
5) Dresser le tableau de variation de f.
6) Montrer que Δ est une asymptote oblique de (Cf) au voisinage de +∞.
7) Déterminer l'autre asymptote oblique Δ′ de (Cf)
8) Soit f1 la restriction de f à ]−∞; −2]
Montrer que f1 est bijective de ]−∞; −2] sur un intervalle J à préciser.
9) Préciser f−11(x)
10) Étudier la position de (Cf) par rapport à Δ sur [0; +∞[, puis celle de (Cf) par rapport à Δ′ sur ]−∞; −2]
11) Construire (Cf), Δ, Δ′ puis (Cf−11) courbe de f−11
dans un repère (O, →i, →j)
Commentaires
Aliou deh (non vérifié)
ven, 06/25/2021 - 21:07
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Excellent
Maïmouna Ndiaye (non vérifié)
lun, 05/30/2022 - 04:02
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Intéressant
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