Série d'exercices sur la géométrie dans l'espace 1e S
Exercice 1
Soient deux plans distincts P et P′, ayant au moins un point commun A.
Le plan P définit deux demi-espaces E1 et E2.
Soit D′ une droite de P′ coupant P en A, B un point de D′ dans E1, C un pont de D′ dans E2.
Soit D un point de P′ n'appartenant pas à D′.
1) Si D appartient à P, que peut-on dire de l'intersection de P et P′ ?
2) Si D n'appartient pas à P, D appartient à l'un des demi-espaces, par exemple.
Qu'en résulte-t-il pour le segment [CD] ?
3) Déduire des questions 1) et 2) que deux plans distincts ayant au moins un point commun sont sécants.
Exercice 2
Soit un quadrilatère plan ABCD, tel que (AB) et (DC), (AD) et (BC), (AC) et (BD) soient sécants respectivement en I, J et K.
Soit S un point non situé dans le plan de ABCD.
On trace les droites (SA), (SB), (SC) et (SD).
1) Combien ces droites, associées deux à deux, déterminent-elles de plans ?
2) Construire les intersections de ces plans pris deux à deux.
Exercice 3
On donne deux droites sécantes D et D′, deux points A et B de D, deux points A′ et B′ de D′.
Démontrer que les droites (AB′) et (BA′) sont sécantes ou parallèles.
Exerecice 4
Soit une droite D sécante à un plan P en O, et un point A non situé sur D et sur P
Un point M décrit la droite D et la droite (AM) coupe en général P en un point I.
1) Quel est l'ensemble des droites (AM) ?
Démontrer que tous les points I appartiennent à une droite fixée Δ.
2) Tout point de Δ est-il un point I ?
Exercice 5
Soit, dans un plan P, deux droites D et D′ sécantes en O.
Une droite Δ est sécante à P en A, A n'appartenant pas à D∪D′.
Soit M un point de Δ distinct de A.
1) Déterminer l'intersection Δ′ des plans (M, D) et (M, D′).
2) Lorsque M décrit Δ, démontrer que toutes les droites Δ′ sont incluses dans un plan fixe.
Exercice 6
Soit un tétraèdre ABCD et β, γ, δ les milieux respectifs de [CD], [DB], [BC]
1) Démontrer que (BC) n'est pas dans le plan (ADδ).
2) Démontrer que les trois plans (ADδ), (ABβ), (ACγ) ont une droite commune que l'on précisera.
Exercice 7
Démontrer que trois droites, deux à deux sécantes, et non coplanaires ont un point commun.
Application :
Soit un tétraèdre ABCD, A′, B′, C′, D′ les centres de gravité des triangles BCD, CDA, DAB, ABC.
1) Soit β le milieu de [DC].
Démontrer que (AA′), (BB′) sont dans le plan (ABβ).
2) En déduire que (AA′) et (BB′) sont concourantes en un point G.
3) Démontrer que (AA′), (BB′), (CC′) et (DD′) sont concourantes en G.
Exercice 8
On donne trois points non alignés A, B et C.
Soit D un point de la droite (AB) et E un point de la droite (AC).
Démontrer que les droites (BC) et (DE) sont sécantes ou parallèles.
Exercice 9
Soient dans un plan P deux points B et C.
Soit D un point n'appartenant pas au plan P.
1) Démontrer que les points B, C, D ne sont pas alignés ; en déduire qu'ils déterminent un plan.
2) Soit E un point du plan (BCD).
On suppose que la droite (DE) coupe le plan P en F.
Démontrer que les points B, C, F sont alignés.
Exercice 10
Soit un tétraèdre ABCD et trois points M, N, P, appartenant respectivement aux arêtes (AB), (AC), (AD) de ce tétraèdre.
On suppose que les droites (MN), (NP), (MP) percent le plan (BCD) respectivement en P′, M′, N′.
Démontrer que que les points M′, N′, P′ appartiennent à la fois au plan (MNP) et au plan (BCD).
En déduire que M′, N′, P′ sont alignés.
Exercice 11
Soit un plan P, A et B deux points distincts non situés dans P.
La droite (AB) perce P en I.
Soit M un point de l'espace distinct de A et B, et A′ et B′ les points d'intersection de P et des droites (MA) et (MB) lorsqu'ils existent.
Démontrer que A′, B′ et I sont alignés.
Exercice 12
Soit Ox, Oy, Oz trois demi-droites concourantes non coplanaires.
On marque deux points A et A′ sur Ox, B et B′ sur Oy, C et C′ sur Oz.
1) Démontrer qu'en général les droites (BC) et (B′C′), (CA) et (C′A′), (AB) et (A′B′) se coupent respectivement en α, β, γ.
2) Dans le cas où α, β, γ existent, démontrer que ces points sont alignés.
Exercice 13
Deux plans distincts P et Q se coupent suivant la droite D1.
Soit D2 une droite de P non parallèle à D1 et A un point de Q non situé sur D1.
Démontrer que le plan (A, D2) coupe Q suivant une droite D3 concourante avec D1 et D2.
Exercice 14
Deux plans P et Q se coupent suivant la droite D.
Soit A un point de P et une droite (BC) de Q.
Déterminer l'intersection des plans (ABC) et P.
Exercice 15
Dans le cube ci-dessous, les points I, J, K, L, M, P sont des milieux d'arêtes.
Dans chaque cas, préciser la position respective des deux droites :
a) (AK) et (BG);
b) (IJ) et (BG);
c) (IP) et (LM).
Sont-elles strictement parallèles ?
Sont-elles sécantes ?
Sont-elles coplanaires ?
Exercice 16
On considère un cube.
Les points indiqués sont les sommets et les milieux de certaines arêtes
Dire si les droites suivantes sont sécantes, parallèles ou non coplanaires :
a) (IJ) et (D′C′);b) (MK) et (B′C)
c) (AB) et (KC)d) (AJ) et (KC)
e) (A′I) et (B′J);f) (MD) et (B′J);g) (AM) et (CO).
Exercice 17
Configuration de Desargues
Soient trois droites non coplanaires D1, D2 et D3 concourantes en O.
Soient deux points A et A′ de D1, deux points B et B′ de D2, deux points C et C′ de D3.
1) Démontrer que les droites (AB) et (A′B′) sont coplanaires.
Établir des résultats analogues pour les droites (BC) et (B′C′), pour les droites (CA) et (C′A′).
2) On suppose que les droites (BC) et (B′C′) se coupent en A1, que les droites (CA) et (C′A′) se coupent en B1, que les droites (AB) et (A′B′) se coupent en C1.
Démontrer que les points A1, B1 et C1 sont alignés.
Exercice 18
Configuration des triangles homologiques
Soient P et Q deux plans sécants et D leur droite d'intersection.
Soient ABC et A′B′C′ deux triangles respectivement contenus dans les plans P et Q.
On suppose que les triangles ABC et A′B′C′ sont tels que (BC) et (B′C′) se coupent en A1, (CA) et (C′A′) se coupent en B1, (AB) et (A′B′) se coupent en C1.
(Deux triangles vérifiant ces propriétés sont dits homologiques).
1) Établir que A1, B1 et C1 sont alignés et préciser la droite contenant A1, B1 et C1.
2) On suppose que les droites (BB′) et (CC′) sont sécantes en O.
Démontrer que le point O appartient au plan (ACA′) et au plan (ABA′) ;
en déduire que O appartient à la droite (AA′), donc que les droites (AA′), (BB′) et (CC′) sont concourantes.
Exercice 19
On donne un plan P et une droite D non parallèle à P.
A chaque plan Q non parallèle à P, on associe la droite D′, intersection du plan
Q et du plan P.
Démontrer que toutes les droites D′ passent par un point fixe.
Exercice 20
Soit un plan P et trois points A, B, C non alignés et n'appartenant pas à P.
On suppose que les droites (BC), (CA) et (AB) percent respectivement le plan en A′, B′ et C′.
1) Démontrer que A′, B′, C′ sont alignés.
2) Soit M un point de l'espace tel que les droites (MA), (MB), (MC) percent respectivement P en A1, B1 et C1.
Démontrer que les droites (A1B1), (B1C1), (C1A1) passent chacune par un point qui ne dépend pas du point M choisi.
Exercice 21
Soit un tétraèdre ABCD ; E, F et G trois points pris respectivement sur ]AB[, ]AC[ et ]BD[.
On suppose que (EF) n'est pas parallèle à (BC) et que (FG) n'est pas parallèle à (CD).
Construire :
1) l'intersection des plans (EFG) et (BCD) ;
2) l'intersection de chacune des droites (AD) et (CD) avec le plan (EFG).
Exercice 22
Soit un tétraèdre ABCD.
Une droite Δ du plan (BCD) rencontre les cotés du triangle BCD en trois points distincts D′, B′, C′.
Soit I un point de ]AC[; I détermine avec Δ un plan P.
1) Dessiner l'intersection de P et du plan (ABC), puis l'intersection de P et du plan (ACD).
2) Construire les points d'intersection de (AB) et (AD) avec P, en déduire l'intersection des plans P et (ABD).
Exercice 23
Les trois points A, B et C déterminent un plan P.
Le point D n'appartient pas à P.
Le point R appartient à [AD] ; le point S appartient à [BD] ; le point T appartient à [CD].
Dessiner l'intersection du plan contenant R, S, et T avec le plan P et expliquer la construction en indiquant les théorèmes que l'on a utilisés
Exercice 24
Les 3 points A, B et C déterminent un plan P.
Le point D n'appartient pas à P.
Le point R appartient à [AD] ; le point S appartient à [BC] ; le point T appartient à [CD].
a) Dessiner l'intersection du plan contenant R, S et T avec le plan P.
b) Dessiner l'intersection du plan contenant R, S et T avec le plan contenant A, B et D.
c) Tracer en couleur l'intersection du plan contenant R, S et T avec le tétraèdre ABCD, c'est-à-dire avec chacun des triangles ABC, DAB, DAC et DBC
Parallélisme
Exercice 25
Soit un tétraèdre ABCD.
On désigne par I, J, K, L les milieux respectifs des segments [AB], [CD], [BC], [AD].
1) En raisonnant dans le plan (BCD), établir que les droites (JK) et (BD) sont parallèles.
2) Démontrer que les droites (JK) et (IL) sont parallèles, ainsi que les droites (IK) et (LJ).
3) Démontrer que I, J, K, L sont coplanaires, et préciser la nature du quadrilatère IJKL.
4) Démontrer que les segments [IJ] et [KL] ont le même milieu noté O.
5) Soient M et N les milieux respectifs des segments [AC] et [BD].
Démontrer que O est le milieu de [MN].
Exercice 26
On donne deux droites parallèles distinctes D et D′.
Soit O un point n'appartenant pas au plan déterminé par les droites D et D′.
On désigne par P le plan contenant le point O et la droite D, par P′ le plan contenant le point O et la droite D′.
Démontrer que la droite d'intersection des plans P et P′ est parallèle à D et à D′.
Exercice 27
Soit un tétraèdre ABCD et M un point de l'arête [AD].
On désigne par Q le plan contenant M et parallèle aux droites (AB) et (CD).
Étudier la nature de l'intersection du plan Q et du tétraèdre ABCD.
Exercice 28
On considère le tétraèdre ABCD.
I appartient à [AB].
J appartient au plan ABC.
K appartient au plan ACD.
L appartient au plan ABD.
1) Déterminer l'intersection de la droite (IJ) et du plan BCD
2) On veut déterminer l'intersection de la droite (IK) et du plan BCD.
Soit M un point de (AC).
Déterminer l'intersection des plans IMK et BCD
Déterminer l'intersection de (IK) et du plan BCD
3) a) Construire la parallèle à (CD) passant par K
b) Construire la parallèle à (BD) passant par K et déterminer son intersection avec le plan ABC.
Exercice 29
Deux plans P et P′ sécants suivant une droite Δ sont parallèles à une droite D.
Soit D′ la parallèle à D passant par un point A de Δ.
1) Démontrer que D′⊂P et que D′⊂P′. En déduire que D′=Δ.
2) Conclure par une propriété.
Exercice 30
Soit un tétraèdre ABCD et M un point de ]A, B[.
On mène par M le plan parallèle à (AC) et (BD), qui coupe (BC) en N, (CD) en P, (DA) en Q.
Démontrer que MNPQ est un parallélogramme.
Exercice 31
On donne deux plans strictement parallèles P et P′.
Soit trois points non alignés A, B, C de P et trois points non alignés A′, B′, C′ de P′. tels que les droites (BC) et (B′C′) ne soient pas parallèles.
Construire l'intersection des plans (AB′C′) et (A′BC).
Exercice 32
Soient D et D′ deux droites strictement parallèles et A un point n'appartenant pas au plan déterminé par D et D′.
Quelle est l'intersection des plans (A, D) et (A, D′) ?
Exercice 33
Soit un plan P et une droite (AB) strictement parallèle à P.
M et N étant deux points de P, que peut-on dire des droites d'intersection Δ et Δ′ des plans (ABM) et (ABN) avec P ? Peut-on avoir Δ=Δ′ ?
Exercice 34
Soient P et P′ deux plans parallèles. Une droite D perce P en A et P′ en A′.
Soit une droite Δ, parallèle à D.
1) Démontrer que Δ perce P et P′ en B et B′.
2) Que peut-on dire du quadrilatère ABB′A′ ?
Exercice 35
Soit dans un plan P un parallélogramme ABCD et soit S un point non situé dans P.
Un plan P′ parallèle à P coupe (SA) en A′, (SB) en B′, (SC) en C′ et (SD) en D′.
Démontrer que A′B′C′D′ est un parallélogramme.
Projections
Exercice 36
On donne un plan P et une droite D non parallèle à P.
Soient D1 et D2 deux droites.
On suppose que les projetées des droites D1 et D2 sur le plan parallèlement à la droite D sont deux droites distinctes D′1 et D′2.
1) On suppose que D1 et D2 sont sécantes.
Démontrer que D′1 et D′2 sont sécantes.
Quelle est l'intersection des droites D′1 et D′2 ?
2) On suppose que D′1 et D′2 sont sécantes :
peut-on en déduire que D1 et D2 sont sécantes ?
Exercice 37
Trois points alignés peuvent-ils se projeter dans un plan suivant trois points alignés ? Si oui, préciser dans quel cas.
Exercice 38
Soient deux droites non coplanaires D1 et D2 qui percent un plan P en deux points A1 et A2.
A chaque point M1 de D1 on associe le plan Q contenant M1 et parallèle à P.
On désigne par M2 l'intersection du plan Q et de D2 et par M le projeté de M2 dans P parallèlement à D1.
1) Comparer les distances M1M2 et A1M.
2) Démontrer que lorsque M1 varie sur D1 le point M appartient à une droite fixe.
3) Déterminer le point M1 pour que la distance M1M2 soit la plus courte possible.
Exercice 39
Soient deux droites D et D′ non coplanaires et un plan P.
Déterminer la direction Δ de projection pour que D et D′ se projettent suivant deux droites parallèles.
Exercice 40
Soit un plan P, une droite Δ et un parallélogramme ABCD situé dans un plan P non parallèle à Δ.
Montrer que la projection de ABCD sur P parallèlement à Δ est un parallélogramme.
Exercice 41
Un quadrilatère plan ABCD se projette sur un plan P suivant un parallélogramme A′B′C′D′.
Déterminer la nature de ABCD.
Exercice 42
Trouver un plan P et une droite Δ tels qu'un quadrilatère gauche donné ABCD se projette sur P parallèlement à Δ suivant un parallélogramme.
Exercice 43
Soit A′B′C′ la projection sur un plan P parallèlement à une droite Δ d'un triangle ABC situé dans un plan non parallèle à Δ.
Montrer que les milieux des cotés de A′B′C′ sont les projections des milieux des cotés de ABC et que le centre de gravité de A′B′C′ est la projection du centre de gravité de ABC.
Exercice 44
Soit un tétraèdre ABCD, I le milieu de [AB] et J le milieu de [CD].
1) Construire la projection du tétraèdre sur le plan BCD parallèlement à la droite (IJ).
2) Quelle est la nature de la figure obtenue ?
3) La figure peut-elle être un carré ; à quelles conditions ?
Exercice 45
Soit un cube ABCDA′B′C′D′.
1) Construire l'image du cube par la projection sur le plan A′B′C′ parallèlement à la droite (AA′).
2) Construire l'image du cube par la projection sur le plan A′B′C′ parallèlement à la droite (AD′).
3) Construire l'image du cube par la projection sur le plan A′B′C′ parallèlement à la droite (AC′).
Problèmes de construction
Exercice 46
Soient deux droites strictement parallèles D et D′ et deux droites quelconques Δ et Δ′ sécantes avec le plan déterminé par D et D′.
Si une droite (x′x) rencontre D et D′, dans quel plan se trouve-telle ?
Construire une droite rencontrant D, D′, Δ et Δ′. Est-ce toujours possible ?
Exercice 47
Soit une droite D et une droite δ non parallèle à D.
1) Démontrer que toutes les droites Δ parallèles à δ et sécantes à D sont dans un même plan P.
2) Soit D′ une droite non coplanaire avec D et sécante avec P.
Construire une droite Δ parallèle à δ et sécante à D et D′.
Exercice 48
Soit deux droites non coplanaires D et D′ et A un point n'appartenant ni à D ni à D′.
Dans quel cas peut-on mener par A une droite parallèle à D et sécante à D′ ?
Exercice 49
On donne un plan P, une droite D sécante avec P, et un point A n'appartenant ni à D ni à P.
Construire une droite Δ passant par A rencontrant D et parallèle à P.
Vecteurs et repères
Dans les exercices 50 à 52, on considère un tétraèdre ABCD (voir figure ci-dessous)
Exercice 50
1) Construire les représentants d'origine A des vecteurs :
a) →AB+→CDb) →AC+→BA+→DA
c) →BD+→AB+→DAd) →BC−2→CD−→DB
Exercice 51
Soit k un réel non nul et α, β, γ et δ les points définis par :
→Aα=k→AB, →Aβ=k→AC; →Dγ=k→DC, →Dδ=k→DB
Démontrer que αβγδ est un parallélogramme.
Exercice 52
Soit A′, B′, C′ et D′ les centres de gravité des triangles BCD, ACD, ABD et ABC.
1) Montrer que →AB+→AC+→AD=3→AA′
2) Simplifier la somme :
→AA′+→BB′+→CC′+→DD′
3) Soit M un point quelconque, montrer que :
→MA+→MB+→MC+→MD=→MA′+→MB′+→MC′+→MD′
Exercice 53
On considère le parallélépipède ABCDA′B′C′D′ ci-dessous.
Construire un représentant d'origine A des vecteurs suivants :
a)→A′B′+→AD+→C′D′ b)12→A′D′+12→AD′
c)12→AC′+12→B′D
Exercice 54
On considère toujours le parallélépipède ABCDA′B′C′D′ de l'exercice 52.
1) Construire l'isobarycentre G du parallélépipède.
2) Calculer →GA+→GC′
3) Montrer que G est centre de symétrie du parallélépipède.
4) Construire les isobarycentres
I de A, B, B′, A′; J de D, C, D′, C′; K de A, B, C, D; L de A′, B′, C′, D′.
5) Montrer que les droites (IJ) et (KL) sont concourantes.
6) Quelle est la nature du quadrilatère IKJL ?
Exercice 55
On considère encore le parallélépipède ABCDA′B′C′D′ de l'exercice 52.
Soit I le point défini par :
→AI=→AB+→AD+→BD
Soit J le point défini par :→A′J=→A′C+→BD′
1) Montrer que A, A′, I et J sont coplanaires.
2) Quelle est la nature du quadrilatère AA′JI ?
Exercice 56
Soit un tétraèdre ABCD.
Quelles sont dans le repère (A; →AB, →AC, →AD) les coordonnées des sommets du tétraèdre, des centres de gravité des faces du tétraèdre, et les coordonnées de l'isobarycentre des quatre points A, B, C et D.
Exercice 57
Soit un parallélépipède ABCDA′B′C′D′ (ABCD est un parallélogramme et on a →AA′=→BB′=→CC′=→DD′
Quelles sont, dans le repère (A; →AB, →AD, →AA′) les coordonnées des sommets de ce parallélépipède, des centres des six faces et du centre du parallélépipède ?
Exercice 58
L'espace est muni du repère (O; →i, →j, →k.
On considère les points A(1, 2, 3), B(−1, 3, 3) et C(−2, 1, 4).
1) a) Existe-t-il des points d'abscisse 3 alignés avec A et B ?
b) Existe-t-il des points d'ordonnée 5 alignés avec A et B ?
c) Déterminer deux points coplanaires avec A, B et C.
d) Déterminer un point d'abscisse 0 et d'ordonnée 1 coplanaire avec A, B et C.
2) a) Les vecteurs →AB, →AC et →BC définissent-ils une base de l'ensemble des vecteurs de l'espace ?
b) Les vecteurs →AB, →AC et →AO définissent-ils une base de l'ensemble des vecteurs de l'espace ?
Si oui, donner dans cette base les coordonnées des vecteurs →BC, →OB et →CO
Exercice 59
Soient A, B, C et D quatre points non coplanaires et E tel que BDCE soit un parallélogramme.
Soient B′, C′ et D′ les milieux de [AB], [AC] et [AD] et I le milieu de [BE].
1) a) Montrer que les droites (EB) et (C′D′) sont parallèles.
b) Les droites (BC′) et (ID′) sont-elles sécantes ou non coplanaires ?
c) Que peut-on dire des plans (B′C′D′) et (BCD) ?
d) On trace par B′ la droite parallèle à (ED).
Déterminer son intersection avec le plan (ACD).
2) On considère le plan (A; →AB, →AC, →AD)
a) Donner les coordonnées des différents points de la figure.
b) Démontrer analytiquement les résultats du 1).
Exercice 60
On considère un cube (cf. figure ci-dessous)
1) Montrer que les vecteurs →AB, →AB et →AB définissent une base de l'ensemble des vecteurs du plan.
2) Donner dans le repère (O; →OA, →OC, →OO′) les coordonnées des points de la figure.
3) Donner un système d'équations paramétriques des droites (A′I) et (C′J) et étudier l'intersection de ces deux droites.
Retrouver le résultat géométriquement.
4) Déterminer un système d'équations paramétriques de la droite (BB′) et du plan (AA′C).
5) Soit M un point de (BB′) et G l'isobarycentre de O, A et M.
Montrer que G appartient au plan AA′C′ (analytiquement puis géométriquement).
6) M décrit la droite (BB′) ; quel est l'ensemble des points G ? (On pourra démontrer le résultat géométriquement ou analytiquement).
Commentaires
Anonyme (non vérifié)
dim, 02/20/2022 - 22:48
Permalien
Cool cool cool je kiff grave
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