Devoir n° 18 - 2nd s

Classe: 
Seconde
 

Exercice 1 

1) Étant donné un triangle ABC, construire les points I, J et K définis par :
 I est barycentre de {(A, 2)(C, 1)} 
 
 J est barycentre de {(A, 1)(B, 2)}
 
 K est barycentre de {(C, 1)(B, 4)} 
 
2) Démontrer que B est barycentre de {(K, 3)(C, 1)}.
 
3) Quel est le barycentre de {(A, 2)(K, 3)(C, 1)} ?
 
4) Déduire du 3) que I, J, K sont alignés et que J est le milieu de [IK].
 
5) L étant le milieu de [CI] et M celui de [KC], démontrer que IJML est un parallélogramme dont le centre G est l'isobarycentre de ABC.

Exercice 2 

1) Résoudre les équations et inéquations suivantes :
 
a) (4x211x+31)2=(x2+x+19)2
 
b) (x2+3x+1)2=3(x2+3x+1)2 
 
(Indication : on pourra poser X=x2+3x+1.)
 
c) (x2+x2)(x25x+6)x2360
 
2) Soit l'équation (m2)x22(m5)x+m15=0.
 
Déterminer m pour que l'équation :
 
a) n'ait pas de solution. 
 
b) ait deux solutions strictement négatives.
 
c) ait deux solutions strictement positives. 
 
d) ait deux solutions de signes contraires.

Exercice 3 

Soit un triangle ABC et le point D barycentre de {(A, 2)(B, 1)(C, 4)}.
 
1) Faire un schéma et placer le point D.
 
2) Soit M un point quelconque du plan.
 
Exprimer 2MA+MB+4MC en fonction de MD.
 
3) Déterminer l'ensemble des points M du plan tels que : ||2MA+MB+4MC||=||MA+MB+MC|| 
Indication : on pourra utiliser le centre de gravité G du triangle ABC.

Exercice 4

Soit un trapèze convexe ABCD de bases [AB] et [CD].
 
Les diagonales se coupent en I. On projette I sur (AB) en A parallèlement à (AD), en B parallèlement à (BC).
 
1) Démontrer que I a la même abscisse dans les repères (D, B) et (C, A).
 
2) Démontrer que A et B ont la même abscisse respectivement dans les repères (A, B) et (B, A).
 
3) En déduire que (A, B) et (A, B) ont même milieu.
 
Indication : on utilisera le fait que si un point M a pour abscisse t dans un repère (P, Q), (M, P, Q alignés) alors t=PM¯PQ¯.
 
 
Durée : 2 h
 
Auteur: 
Mouhamadou Ka

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