Devoir n° 11 - 2nd s

1) Factoriser les expressions suivantes :

 

$A=(a^{2}+b^{2}+c^{2}-d^{2}-2ab)^{2}-4c^{2}(a-b).$

 

$B=a^{4}+b^{4}+a^{2}b^{2}.$

 

2) Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations et inéquations suivantes :

 

a) $|-2x+3|\leq 6\quad$ b) $|3x+2|>4\quad$ c) $|-x+9|<x+2\quad$ d) $|x+1|+|-x+2|=5$

 

3) Calculer sous forme scientifique le réel : $$X=\dfrac{2\times 10^{4}\times 3\times 10^{5}\times 7\times 10^{8}\times 0.3\times 10^{-4}}{6.3\times 10^{5}\times 25\times 10^{-4}\times 21\times 10^{3}}$$

1) a) Démontrer que, quels que soient les réels $x$ et $y$ strictement positifs, on a : $$\dfrac{1}{x^{2}+y^{2}}\leq\dfrac{1}{2xy}\quad\text{ et }\quad\dfrac{x+y}{x^{2}+y^{2}}\leq\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)$$

b) En déduire que, quels que soient les réels $a$ et $b$ strictement positifs, on a : $$\dfrac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{a+b}+\dfrac{\sqrt{b}+\sqrt{c}}{b+c}+\dfrac{\sqrt{a}+\sqrt{c}}{a+c}\leq\dfrac{1}{\sqrt{a}}+\dfrac{1}{\sqrt{b}}+\dfrac{1}{\sqrt{c}}$$

2) Sachant que $17.31$ est une valeur approchée de $x$ à $5\times 10^{-3}$ près et que $123.2$ est une valeur approchée de $y$ à $2\times 10^{-1}$ près, encadrer $x$ et $y\;$, puis $x+y$ et $x-y.$

 

Préciser une incertitude sur $x+y$ et $x-y$.

Soit $ABCD$ un parallélogramme. Construire les points $E\;,\ F$ et $G$ définis par : $$\overrightarrow{AE}=\dfrac{3}{8}\overrightarrow{AD}\;,\ \overrightarrow{BF}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{BC}\ \text{ et }\ \overrightarrow{CG}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{CD}$$

1) Exprimer les vecteurs $\overrightarrow{EB}$ et $\overrightarrow{GF}$ en fonction de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AD}.$

 

En déduire que les droites $(BE)$ et $(FG)$ sont parallèles.

 

2) Soit $H$ le symétrique de $G$ par rapport à $C.$

 

Montrer que les points $E\;,\ F$ et $H$ sont alignés.

$ABC$ est un triangle, $A'$ est le milieu de $[BC]\;,\ B'$ le milieu de $[AC]$ et $C'$ le milieu de $[AB].$

 

1) Montrer que $\overrightarrow{AA}'+\overrightarrow{BB}'+\overrightarrow{CC}'=\vec{0}$.

 

2) $I$ est un point quelconque, $J$ est le point tel que $\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{CC}'\;$, et $K$ le point tel que $\overrightarrow{IK}=\overrightarrow{B'B}$.

 

Montrer que les droites $(JK)$ et $(AA')$ sont parallèles.

 

 

$$\text{Durée : 3 h}$$