Série d'exercices : Ordre dans R, Intervalles et Calculs approchés - 2nd
Classe:
Seconde
Quelques questions
1) -0.25 appartient-il à [−14; 3] ?
2) 3 appartient-il à ]3; 10[ ?
3) 0 appartient-il à ]−5; 2] ?
4) 105 appartient-il à [−2.7; +∞[ ?
5) √2 appartient-il à ]−∞; 1.4] ?
Exercice 1
Comparer les nombres x et y (sans utiliser de machine, mais les propriétés des inégalités) dans chacun des cas suivants :
a) x=3√5 et y=2√11
b) x=3+2√2 et y=2+√13
b) x=3+2√2 et y=2+√13
c) x=√8+√5 et y=√7+√6
d) x=2√3+√7 et y=√11+2√3
d) x=2√3+√7 et y=√11+2√3
e) x=5+2√3 et y=4+2√5
f) x=√5+√7 et y=√12+2√35
f) x=√5+√7 et y=√12+2√35
g) x=7+4√3 et y=5√2+7
h) x=7(√2+√3) et y=22
h) x=7(√2+√3) et y=22
i) x=√5−√3 et y=√8−2√15
j) x=√23+√3 et y=√62+1
j) x=√23+√3 et y=√62+1
k) x=1√6−√5 et y=3√5−√2+4√6+√2
Exercice 2
Dans chacun des cas suivants, on demande :
− de calculer x2,
− de déterminer le signe de x,
− d'en déduire x.
a) x=√3+√5−√3−√5
b) √7−2√6−√7+2√6
b) √7−2√6−√7+2√6
c) x=√4+2√3−√4−2√3
d) √11+6√2−√11−6√2
d) √11+6√2−√11−6√2
e) √7−4√3−√7+4√3
Exercice 3
Pratique des inégalités
Les différentes questions sont indépendantes.
Compléter les expressions suivantes où les lettres x, y… désignent des nombres réels.
1) Si x≤1, alors 2x…; si x≥−1, alors 2x…
2) Si x≤4, alors −x2…; si x≥−4, alors −x2…
3) Si x≤√2, alors x+1…; si x≥−√2, alors x−1…
4) Si −1≤x≤2, alors …3x…; si √2≤x≥1, alors …x−1…
5) Si −1≤x≤0, alors …x+1…; si −√2≤x≥1, alors …x−1…
6) Si x≤1, alors −2x+1…; si x≥−1, alors −x2+3…
7) Si −1≤x et 2≤y, alors x+y…; si 1≥x et −1≤y, alors x−y…
8) Si x≥1, alors 1x…; si x≤−2, alors 3x…
9) Si x≥√2, alors −√2x…; si x≤−1, alors −√3x…
10) Si x≥1 et y≥2, alors …1x+y; si x≤−1 et y≤−√2, alors −2x+y…
11) Si x≥4 et y≥√2, alors xy…; si x≤−2 et y≤−3, alors xy…
12) Si x>1, alors x2>x. Justifier.
13) Si a et b sont deux réels tels que −1≤a≤1 et −1≤b≤1, on a −1≤ab≤1 Justifier.
14) Étant donné un réel a, montrer que : −1≤a≤1 si, et seulement si, a2≤1
Exercice 4
Soit a∈R.
1) On suppose que 0<a<1. Comparer a et a2; a et √a; a et 1a.
Ranger dans l'ordre croissant : 1; a; √a; a2 et 1a.
2) On suppose a>1. Ranger dans l'ordre croissant : 1; a; √a; a2 et 1a.
Exercice 5
Dans chacun des cas suivants, des encadrements de a et b sont donnés.
On demande d'encadrer a+b, a−b, ab et 1a−1b
1) 17.3≤a≤17.4 et 21.9≤b≤22
2) −3.4≤a≤−3.3 et 37.5≤b≤37.6
3) −0.6≤a≤−0.5 et −39.4≤b≤−39.3
4) −610−5≤a≤−510−5 et 310−3≤b≤410−3
Exercice 6
Soit a et b deux nombres réels tels que :
1.73≤a≤1.75 et 1.46≤b≤1.5
1) Donner un encadrement pour chacun des nombres : −2a+5;b2;b2−2a+5 ;a−b;ab;a2+2√b
2) Soient a et b deux nombres réels tels que :
4≤a≤4.1 et −0.5≤b≤0.3
Donner un encadrement de ab.
Exercice 7
Soient x>0 et y>0
1) Démontrer que 1x2+y2≤12xy.
2) a) En déduire que ∀x, y∈R∗+, x+yx2+y2≤12(1x+1y)
b) En utilisant des inégalités semblables, démontrer que
pour tous réels x>0, y>0 et z>0, on a : x+yx2+y2+y+zy2+z2+z+xz2+x2≤1x+1y+1z
Exercice 8
1) Développer (a+b)3.
2) On suppose a et b positifs .Démontrer, en utilisant 1) que : (a+b2)3≤a3+b32
Exercice 9
Soient a et b des réels tels que a>b>1.
Comparer A=√a−√b et B=√a−1−√b−1
Exercice 10
Soient a, b, c trois nombres réels.
1) Montrer que : (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca
2) Calculer (a−b)2+(b−c)2+(c−a)2 et en déduire que : a2+b2+c2−ab−bc−ca≥0
Quels sont les triplets (a, b, c) pour lesquels l'inégalité précédente devient une égalité ?
3) Montrer que : |a+b+c|√3≤√a2+b2+c2
Dans quel y a-t-il égalité ?
4) a, b, c sont maintenant 3 réels positifs. Montrer que : 13(√a+√b+√c)≤√a+b+c3
Dans quel y a-t-il égalité ?
Exercice 11
1) Soient trois réels a, b, c de l'intervalle ]0;; 1].
a) Démontrer que : (ab−11)(bc−1)(ca−1)≤0.
b) En déduire que a+b+c+1abc≥1a+1b+1c+abc
2) Soient x, y, z, t tels que : 0<x≤y≤z≤t.
Démontrer que : xy+yz+zt+tx≥yx+zy+tz+xt
de deux façons différentes :
a) En utilisant les résultats de la question 1)
b) En démontrant que : (z−x)(t−y)(yt−xz)≥0
Exercice 12 (*)
Démontrer que pour tout entier naturel non nul n : 1n+1+1n+2+…+12n−1+12n≥12
Exercice 13 (*)
Démontrer que si 2x+4y=1, alors x2+y2≥120
Exercice 14 (*)
Montrer que si x et y sont deux réels positifs alors x+y1+x2+y2≤√22
(N.B . Exercice très difficile qu'il vaut mieux aborder après le chapitre 3 portant sur le
second degré).
Exercice 15
Montrer que si x et y sont deux réels tels que : −1≤x≤1 et −1≤y≤1 alors : 14+x+y+xy≤13
Exercice 16
On considère 4 réels a, b, c et d tels que : a<b<c<d.
Comparer les réels X=(a+b)(c+d);Y=(a+c)(b+d); et Z=(a+d)(b+c)
Exercice 17 (*)
1) Montrer que : a2+b2≥2ab, ∀a, b∈R.
2) En déduire que pour a, b, c, réels strictement positifs (a2+b2)c+(b2+c2)a+(c2+a2)b≥6abc
3) Déduire également du 1) que : 1a+1b+1c≥9a+b+c
Exercice 18
1) Montrer que pour tout x réel : x2+1≥2x.
2) En déduire quels que soient les réels strictement positifs a, b, c et d, on a : (a2+1)(b2+1)(c2+1)(d2+1)abcd≥16
Exercice 19 (*)
Soient a, b et c des réels quelconques.
1) En développant (a−b)2+(b−c)2+(c−a)2, montrer que : a2+b2+c2≥ab+bc+ca
Dans quel cas a-t-on l'égalité ?
2) On suppose a2+b2+c2=1.
Démontrer que : −12≤ab+bc+ca≤1
INDICATION : On pourra développer (a+b+c)2
Exercice 20
Soit n un entier naturel non nul.
1) Prouver que : √2n−1×√2n+1<2n
2) En déduire que : 2n−12n<√2n−1√2n+1
3) Démontrer que : 12×34×56×…×2n−12n<1√2n+1
Exercice 21 (*)
Soient x et y deux nombres réels strictement positifs tels que x≤y.
On pose :
a=x+y2 (moyenne arithmétique de x et y)
g=√xy (moyenne géométrique ou proportionnelle de x et y)
h=2xyx+y (moyenne harmonique de x et y);
remarquer que : 1h=1x+1y2
q=√x2+y22 (moyenne géométrique de x et y) ;
remarquer que : q2=x2+y22
Le but de l'exercice est de comparer ces différentes moyennes.
1) Démontrer que x≤h et q≤y
2) Démontrer que g≤a
3) Démontrer que g2=ah. En déduire que h≤g
4) Démontrer que a≤q
5) Ranger par ordre croissant les nombres x; y; a; g; h et q
6) Utiliser les résultats ci-dessus pour prouver que ,quels que soient les réels strictement positifs x; y et z on a :
a) 8xyz≤(x+y)(y+z)(z+x)
b) xyz(x+y+z)≤x2y2+y2z2+z2x2≤x4+y4+z4
Exercice 22
Soit a>0 et b>0. On pose E=12a+10b3a+2b.
Démontrer que 4<E<5
Exercice 23
Soit x>0 et y>0. On pose Z=9x−4y3x−2y.
Démontrer que 2<Z<3
Exercice 24
On considère quatre réels strictement positifs a, b, c et d tels que ab<cd
1) Démontrer que bc−ad>0.
2) Démontrer que ab<a+cb+d<ca
3) En s'inspirant de ce qui précède, trouver une fraction comprise entre 23 et 34
Exercice 25
Résoudre les équations et inéquations suivantes :
a) |x−32|=52
b) |5x−3|=|3−4x|
c) |5−2x|=x+3
b) |5x−3|=|3−4x|
c) |5−2x|=x+3
d) |2x−3|=−3x−1
e) |x+52|≤72 f) |7−5x|≤3
e) |x+52|≤72 f) |7−5x|≤3
g) |9x−7|<4
h) |2x+1|≥1 i) |−4x−2|≥3
h) |2x+1|≥1 i) |−4x−2|≥3
j) |3x+1|>−4
k) |5x−3|≤−2
l) 1≤|2x−7|≤8
k) |5x−3|≤−2
l) 1≤|2x−7|≤8
m) |−2x+8|+|x+1|=3x+5
n) |4x−18|−|−7x+9|=−4
n) |4x−18|−|−7x+9|=−4
Exercice 26
Écrire, à l'aide de valeur absolue, puis en terme de distance les inégalités 1≤x≤6;−5<x<−3;x<2 ou x>5
Exercice 27
Recopier et compléter le tableau suivant : DistanceInégalitésIntervalleValeurReprésentationabsolue−2≤x≤4d(x, 1)≤2]−∞; 2]∪[10; +∞[|x+5|<2
Exercice 28
Déterminer E∩F et E∪F dans chacun des cas suivants :
a) E={x∈R/ |x−3|<2} ;
F={x∈R/ |x−2|≤2}
F={x∈R/ |x−2|≤2}
b) E={x∈R/ |x|<5} ;
F={x∈R/ |x|≥3}
Exercice 29
Pour chacun des cas suivants, déterminer un encadrement le plus précis possible du réel x :
1) 2.18 est une valeur approchée de x avec l'incertitude 5×10−2.
2) 11.27 est une valeur approchée par défaut de x avec l'incertitude 3×10−2.
3) 125.112 est une valeur approchée par excès de x avec l'incertitude 7×10−3.
Exercice 30
Pour chacun des encadrements du réel x suivants déterminer :
a) une valeur approchée a avec deux décimales de x et une précision associée ;
b) une valeur approchée par défaut b avec deux décimales de x et une précision associée
c) une valeur approchée par excès c avec trois décimales de x et une précision associée.
1) 27.2142<x<27.2156;
2) 0.8131<x<0.8152;
3) −216.8937<x<−216.8911;
Exercice 31
73.47 est une valeur approchée de x avec une incertitude de 8×10−2 et 73.43 est une valeur approchée de y avec une incertitude de 5×10−2. Peut-on comparer les réels x et y ?
Exercice 32
Soit a un nombre réel vérifiant : |a−1|≤12. Montrer que 43 est une valeur approchée du nombre 1a à la précision 23.
Exercice 33
Soit x un nombre réel quelconque.
1) Prouver que : |(1−2x)3−(1−6x)|=x2|12−8x|
2) On suppose que −12≤x≤12.
a) Prouver que |12−8x|≤16
b) En déduire que : |(1−2x)3−(1−6x)|≤16x2
c) Donner une valeur approchée du nombre (0.9998)3 à la précision 1610−8.
Exercice 34
Soit a un nombre réel tel que |a|<12. On pose A=1√1+a−(1−a2).
1) a) Montrer que A=√1+a−(1+a2)+a221+a
b) Montrer que √1+a≤1+a2 et en déduire que A≤a2.
c) Montrer que 1√1+a≥1−a2
2) En déduire une valeur approchée du nombre 1√1.01 à la précision 10−4.
Exercice 35
I) J=[0.1258; 0.1264]. Exprimer l'appartenance du réel x à l'intervalle J par une condition faisant intervenir la valeur absolue puis en langage d'approximation.
II) Traduire l'approximation donnée par un encadrement de x.
∙ 5.624 approche x à 10−3 près.
∙ 62.94 approche x par excès à 510−3 près.
∙ 7.286 approche x par défaut à 10−3 près.
Exercice 36 Le problème des 3 villes
Trois villes A, B et C sont situées le long d'une route rectiligne : A et B sont distantes de 900m; B est entre A et C; B et C sont distantes de 1200m.
Une personne compte faire quotidiennement 2 allers et retours entre sa maison et A, un entre sa maison et B, trois entre sa maison et C.
Où doit-elle construire sa maison pour que son trajet journalier soit minimal ?
Exercice 37 (*)
Résoudre les équations :
a) E(x)=2; b) E(x)=x; c) E(x)=2x−5; d) 3x−2=E(2x); e) E(x2)=x2
Exercice 38
1) a) Démontrer que : ∀x∈R, 0≤x−E(x)<1
b) Démontrer que : ∀x∈R, −12≤x−E(x+12)<12
2) Résoudre dans R l'équation E(1x2)=2
Exercice 39 (*)
1) Soit a un nombre réel, d son approximation décimale d'ordre n par défaut et d′ son approximation décimale d'ordre n+1 par défaut. Montrer que d≤d′.
2) Déterminer les approximations décimales d'ordre 0, 1, 2, 3 et 4 du nombre réel 2.71828.
Exercice 40
Donner un exemple d'intervalle fermé dont les bornes sont :
a) des entiers
b) des fractions
Exercice 41
1) Écrire les inégalités suivantes sous forme d'intervalles :
a) les réels x tels que x<0 ;
b) les réels x tels que −1≤x≤1
2) Écrire les intervalles suivants sous forme d'inégalités :
a) ]−2; 6[ b) ]−∞; 5[
Exercice 42
1) Exprimer à l'aide d'intervalles l'ensemble des réels x satisfaisant à la condition donnée.
a) x≥1 ou x<−1
b) x<2 et x≥−1
c) x<1 et x≤−3
d) |2−x2|≤0.4
e) E1={x∈R; |x−1|≤2 et |−2x−x|≤2}
2) Traduire à l'aide de la notation valeur absolue les intervalles suivants
x∈[−2; 6], 2x−1∈]−3; 0[
Exercice 43
On pose A=]−∞;√2], B=[0; 7[ et C=]−1; 3]
Déterminer A∪B; A∩C; A∩B∩C
Déterminer les ensembles D et E suivants : D=A∪C et E=D∩B
Exercice 44
Dites dans chaque cas, à quel intervalle appartient x et représentez cet ensemble sur une droite graduée.
a) −1≤x≤2 b) x<−32
c) x≥10
c) x≥10
d) 0<x≤3 e) x≤−1 f) x est un réel strictement positif
Exercice 45
Traduisez par des inégalités l'appartenance d'un réel x à chacun des intervalles.
a) [−2; 3] b) ]−1; 0]
c) ]−∞; 4[
c) ]−∞; 4[
d) ]2; +∞[ e) ]−∞; 0[
f) ]3; 112[
f) ]3; 112[
Exercice 46
On considère les intervalles I=]3; +∞[ , J=[1; 2] et K=[2; 4].
1) Représenter chacun de ces intervalles sur un axes gradué.
2) Simplifier, lorsque c'est possible, les écritures des ensembles I∩J; I∩K; J∩K; I∪J; I∪K et J∪K.
3) Pour chacun d'entre eux, préciser leur nature (c'est-à-dire s'il s'agit d'un intervalle fermé ou..., borné ou...)
Exercice 47
Soient x et y deux réels tels que |x|<1 et |y|<1
1) Démontrer que |xy|<1. En déduire que 1+xy>0.
2) Développer (1−x)(1−y) et (1+x)(1+y)
3) Démontrer que |x+y1+xy|<1
Exercice 48
Sachant que 1.414<√2<1.413 et 1.732<√3<1.733; donner un encadrement de √2+√3, √6, 3√2−2√3
Exercice 49
1) Donner le meilleur encadrement possible de √5+2√3, 2√5−3√32 sachant que 1.732<√3<1.733 et 2.236<√5<2.237
2) Comparer √5−√3 et 2√3+√5. Encadrer séparément ces deux nombres.
Quelle observation faites-vous ?
Exercice 50
1) Sachant que 2<x<9 et 3<y<6; donner un encadrement de x+y, x−y, xy, x2 et de y2
2) Sachant que 3≤x≤5 et −4≤y≤−1; donner un encadrement de xy, x−y, xy et de y2
Exercice 51
Sachant que −2x+3∈[−4; −1] et 2x+1∈[1; 3]
a) Donner un encadrement de x et de y
b) En déduire un encadrement de 1−x et de 52x+3
Exercice 52
Trouver deux entiers a et b tels que
a.10−2<√15<(a+1)10−2
b.10−2<√53<(b+1)10−2
Exercice 53
Soit A un réel tel que 1.585≤A≤1.59
a) Donner une valeur approchée de A ainsi que la précision.
b) Donner une approximation par défaut et par excès de A.
Exercice 54
1) Écrire sans le symbole | | les nombres suivants :
a) |1−√2| b) |a| pour a négatif c) |√3−53|
2) Calculer
a) a=−|−23|+|−139|
b) x−|x+1| pour x=−5
b) x−|x+1| pour x=−5
3) Résoudre les équations suivantes
a) |−2x|=7 b) |−x|=−5
c) |−x+4|=0
c) |−x+4|=0
Exercice 55
Résoudre les inéquations suivantes
a) |x−3|≤2 b) |1−2x|>3
c) −1≤|3+2x|≤1
c) −1≤|3+2x|≤1
d) |4x2−1|≤3 e) |3−2x|≤4
f) |4x−1|≤3
f) |4x−1|≤3
g) |2x−1|+|2x−3|<1
Exercice 56
1) Résoudre successivement |2x−9|<5 , |2x−9|=5 , |2x−9|>5
2) En déduire le tableau de signe de l'expression |2x−9|−5
3) Résoudre alors l'inéquation |2x−9|−521−3x≤0
Commentaires
Pascal (non vérifié)
lun, 11/14/2022 - 18:16
Permalien
Vraiment superbe
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