Cinématique du point matériel - Ts

Classe: 
Terminale
 
La cinématique est l'étude des mouvements sans tenir compte des forces qui les engendrent ou les modifient.

I. Définitions

   Référentiel
 
Un référentiel que l'on peut noter (R) est un solide de référence, muni d'un repère d'espace et de temps, par rapport auquel on étudie un mouvement.
 
On peut citer par exemple :
 
   Le référentiel terrestre ou référentiel du laboratoire : C'est un référentiel dont le repère d'espace est lié aux objets fixes sur la terre ou au solide de référence que caractérise le laboratoire.
 
   Le référentiel héliocentrique : C'est un référentiel constitué d'un repère d'espace dont l'origine est le centre du soleil et les trois axes dirigés vers trois étoiles éloignées supposées fixes.
 
   Le référentiel géocentrique : C'est un référentiel dont le repère d'espace a pour origine le centre de la terre et les axes dirigés vers trois étoiles éloignées supposées fixes.
 
   Plus loin nous verrons aussi le référentiel galiléen ; référentiel dans lequel un point matériel isolé ou pseudo-isolé est en mouvement rectiligne uniforme, s'il n'est pas au repos.
 
   Mouvement
 
Un point matériel M est en mouvement par rapport à un référentiel si sa position varie avec le temps.
 
Lorsque cette position est fixe au cours du temps, on dira que le point M est immobile ou au repos par rapport au référentiel choisi.
 
Remarque 
 
Pour décrire un mouvement, il faut toujours préciser le référentiel dans lequel on étudie ce mouvement.
 
   Trajectoire
 
C'est la courbe décrite au cours du temps par un point matériel M en mouvement par rapport à un référentiel choisi.

II. Grandeurs cinématiques

II.1. Vecteur position

Soit M(t) la position d'un point matériel à l'instant t sur sa trajectoire et soit O origine du repère. On appelle vecteur position le vecteur OM tel que : OM=OM(t)

II.2. Systèmes de coordonnées

Un point matériel peut être repéré par une, deux ou trois coordonnées selon qu'il se situe respectivement sur une ligne, dans un plan ou dans l'espace. 

II.2.1. Coordonnées cartésiennes

Soit (O; i, j, k) un repère d'espace et M un point de l'espace, on appelle coordonnées cartésiennes de M les trois réels x, y et z tels que : OM=xi+yj+zk
 
Comme à l'instant t OM=OM(t) alors : OM=x(t)i+y(t)j+z(t)k

 

 
Remarque : ||OM||=x2+y2+z2

II.2.2. Abscisse curviligne

Considérons un point matériel décrivant une trajectoire (C). Soit M0 sa position sur (C) à l'instant t0 et M sa position à l'instant t.
 
On appelle abscisse curviligne de M notée s=s(t) l'arc entre M0 et M. On a : s=M0M

 

 
M0 est la position initiale du point matériel ou origine du mouvement ; la trajectoire étant orientée de M0 vers M.

II.2.3. Coordonnées polaires

La position d'un point matériel M se trouvant, à l'instant t, dans un plan xOy est repérée par ρ(t)=||OM|| et par φ=(^i, OM).
 
{xM(t)=ρ(t)cosφyM(t)=ρ(t)sinφ
 
ρ et φ sont appelés coordonnées polaires de M.

 

 

II.3. Vecteur vitesse

Considérons un point matériel décrivant une trajectoire (C).

II.3.1. Vecteur vitesse moyenne

Soit M la position du mobile à l'instant t et M sa position sur (C) à l'instant t. On appelle vecteur vitesse moyenne de M le vecteur vmoy défini par : 
 
vmoy=MMtt
 
   Sens : de M vers M
 
   Module : ||vmoy||=||MM|||tt| en (m.s1)
 
Remarque 
 
La vitesse moyenne est la distance parcourue par le mobile par unité de temps.

 

 

II.3.2. Vecteur vitesse instantanée

Le vecteur vitesse instantanée d'un point matériel M est la dérivée par rapport au temps du vecteur position OM :
 
vt=dOMdt
 
vt est tangent à la trajectoire au point M.
 
Remarque 
 
La vitesse instantanée exprimée en m.s1 est la vitesse du mobile à l'instant t.
 
En effet, lorsque t tend vers t alors, M va aussi tendre vers M.
 
Posons tt=Δt donc, t=t+Δt
 
Soit vt=limΔt0MMΔt.
 
On sait que
 
MM=MO+OM=OMOMor le mobile est à la position M à l'instant t=OM(t)OM(t)avec  t=t+Δt=OM(t+Δt)OM(t)
 
Donc
 
vt=limΔt0MMΔt=limΔt0OM(t+Δt)OM(t)Δt=dOMdtd'après le cours de mathématiques sur la dérivée
 
Ainsi : vt=dOMdt

 

 

Composantes de la vitesse en coordonnées cartésiennes

On a : 
 
vt=dOMdtor  OM=xi+yj+zk=x(t)i+y(t)j+z(t)k=dxdti+dydtj+dzdtk
 
D'où, vt=dxdti+dydtj+dzdtk
 
En notant  ˙x=dxdt, ˙y=dydt  et  ˙z=dzdt, vt peut encore s'écrire sous la forme : vt=˙xi+˙yj+˙zk
 
Remarque 
 
vt=vxi+vyj+vzk  avec  vx=˙x, vy=˙y  et  vz=˙z

II.4. Vecteur accélération

L'accélération at d'un mobile M à l'instant t est la dérivée par rapport au temps du vecteur vitesse vt :
 
at=dvtdt
 
Comme vt=dOMdt alors, at peut encore s'écrire : at=d2OMdt2
 
En effet,
 
at=limΔt0vtvtΔtavec  t=t+Δt=limΔt0vt+ΔtvtΔt=dvtdtor  vt=dOMdt=ddt(dOMdt)=d2OMdt2
 
D'où, at=dvtdt=d2OMdt2

Composantes de l'accélération en coordonnées cartésiennes

On a : 
 
at=d2OMdt2or  OM=xi+yj+zk=d2xdt2i+d2ydt2j+d2zdt2k
 
D'où, at=d2xdt2i+d2ydt2j+d2zdt2k
 
at peut encore s'écrire sous la forme : at=¨xi+¨yj+¨zk
 
avec  ¨x=d2xdt2, ¨y=d2ydt2  et  ¨z=d2zdt2
 
Remarque 
 
On peut aussi écrire at=axi+ayj+azk  avec  ax=¨x, ay=¨y  et  az=¨z

Composantes de l'accélération dans la base de Frenet

Considérons un point matériel en mouvement curviligne sur une trajectoire (C). Soit M la position du mobile sur (C) à l'instant t et soit T un vecteur unitaire porté par la tangente en M et N la normale à T dirigée vers le centre de courbure.
 
Le couple de vecteurs (T, N) ainsi définie est appelé base de Frenet.
 
L'accélération at peut alors s'écrire dans cette base sous la forme : at=aTT+aNN
 
avec aT=dvdt  et  aN=v2RR est le rayon de courbure.
 
  aT est l'accélération tangentielle
 
  aN est appelé accélération normale ou centripète.
 
On obtient ainsi : at=dvdtT+v2RN

 

 

Exercice d'application

Un mobile M, à l'instant t, est repéré par ses coordonnées cartésiennes : x(t)=3t+4;y(t)=5t2+2t+1;z(t)=3
 
1) Donner l'expression de sa vitesse et calculer sa valeur aux dates t0=0s, t1=1s
 
2) Donner l'expression de son accélération puis calculer sa valeur aux dates t0=0s, t1=1s

Résolution

1) Expression de la vitesse
 
On a : vt=dxdti+dydtj+dzdtk avec dxdt=3, dydt=10t+2  et  dzdt=0
 
Donc, vt=3i(10t2)j
 
A t0=0s, v0=3i+2j
 
Donc, ||v0||=32+22=13m.s1
 
A t1=1s, v1=3i8j
 
Donc, ||v1||=32+(8)2=73m.s1
 
2) Expression de l'accélération
 
On a : 
 
at=dvtdt=d(3i(10t2)j)dt=ddt3id(10t2)dtj=10j
 
D'où, at=10j
 
Nous constatons que at est une constante.
 
Par suite, aux dates t0=0s et t1=1s, a0=a1=10j
 
D'où, ||a0||=||a1||=(10)2=10m.s2

III. Mouvements rectilignes

III.1. Définitions

   Un mouvement est dit rectiligne si, et seulement si, la trajectoire est une droite.
 
   Un mouvement est dit uniforme si la norme du vecteur vitesse instantanée ||vt|| du mobile est constante.
 
   Un point matériel est animé d'un mouvement rectiligne uniforme (MRU) si, et seulement si, son vecteur vitesse instantanée vt  reste constant.
 
   Un mobile est en mouvement rectiligne uniformément varié (MRUV) si, et seulement si, son accélération at est constante.

III.2. Mouvement rectiligne uniformément varié (MRUV)

La trajectoire est une droite. Afin de repérer la position d'un mobile sur cette trajectoire nous utilisons l'axe (xOx) comme repère d'espace.
 
Ainsi, un point matériel M sera repéré, à l'instant t, par une seule coordonnée x. Le vecteur position s'écrit alors : OM=xi
 
Considérons un mobile M en mouvement rectiligne uniformément varié avec une vitesse vx à l'instant t. 

 

 
 
Le mouvement étant rectiligne et uniformément varié alors, l'accélération ax est constante.
 
Or, a=dvxdt par suite, dvx=adt
 
Ce qui donne, par passage aux primitives : dvx=adt=adt
Ainsi, d'après cours de mathématiques 1er, vx=at+cst
 
La constante (cst) est déterminée à partir des conditions initiales : soit à l'instant initia t0, le mobile M est à la position x0 avec une vitesse v0. 
 
Donc, v0=at0+cst  cst=v0at0
 
Par conséquent : vx=a(tt0)+v0
 
En particulier, lorsque t0=0 on obtient : vx=at+v0
 
Par ailleurs, on sait que : vx=dxdt=a(tt0)+v0 donc, dx=(a(tt0)+v0)dt 
 
Par passage aux primitives, on obtient : dx=(a(tt0)+v0)dt=atdtat0dt+v0dt
D'où, x=12at2+(v0at0)t+cst
 
Or, d'après conditions initiales, x=x0  à  t=t0
 
Donc, x0=12at20+(v0at0)t0+cst
 
x0=12at20+(v0at0)t0+cst=12at20+v0t0at20+cst=12at20+v0t0+cst cst=12at20v0t0+x0
 
Par suite, 
 
x=12at2+(v0at0)t+12at20v0t0+x0=12(at2+at202at0t)+v0tv0t0+x0=12a(tt0)2+v0(tt0)+x0
 
Par conséquent, x(t)=12a(tt0)2+v0(tt0)+x0
 
Cette équation est appelée équation horaire du mobile. Elle donne l'évolution de la coordonnée du point matériel en fonction du temps.
 
Elle permet donc de calculer l'abscisse x du mobile à chaque instant t, connaissant les conditions initiales (t0, x0 et v0) ainsi que l'accélération a.
 
Particulièrement, lorsque t0=0, l'équation horaire devient : x(t)=12at2+v0t+x0

Relation entre l'abscisse x et la vitesse vx

Choisissons l'instant initial t0=0 et considérons les équations (1) et (2) suivantes : (1) : vx=at+v0et(2) : x=12at2+v0t+x0
 
L'équation (1) donne : t=vxv0a. En remplaçant cette expression de t dans l'équation (2) on obtient :
 
x=12at2+v0t+x0=12a(vxv0a)2+v0(vxv0a)+x0=12a(v2x2vxv0+v20a2)+v0vxv20a+x0=12.v2x2vxv0+v20+2v0vx2v20a+x0=v2xv202a+x0
 
Ce qui donne alors,  xx0=v2xv202a  ; soit : v2xv20=2a(xx0)

Exercice d'application

Une voiture roule sur une route rectiligne avec une vitesse initiale de 10m.s1 et une accélération constante de 0.8m.s2.
 
1) Calculer sa vitesse au bout de 5mn.
 
2) Calculer la distance parcourue entre les instants t1=2s  et  t2=5s.
 
3) Calculer la vitesse de la voiture après un parcours de 100m.

Résolution

On est en face d'un mouvement rectiligne uniformément varié (MRUV).
 
Choisissons t0=0  et  x0=0 comme conditions initiales.
 
1) Calcul de la vitesse vx au bout de 5mn.
 
On a : vx=at+v0  avec  t=5×60=300s
 
A.N : vx=0.8×300+10=250m.s1
 
2) Calcul de la distance parcourue entre les instants t1=2s  et  t2=5s.
 
D'après l'équation horaire de la voiture, on a : x=12at2+v0t+x0
 
A.N : pour t=t1=2s, x1=120.8×22+10×2=21.6m
 
pour t=t2=5s, x2=120.8×52+10×5=60m
 
La distance parcourue est alors donnée par : D=x2x1
 
A.N : D=6021.6=38.4m
 
3) Calcul de la vitesse vx après un parcours de 100m.
 
On sait que : v2xv20=2a(xx0)  vx=v20+2a(xx0)
 
A.N : vx=102+2×0.8×100=16.12m.s1

III.3. Mouvement rectiligne uniforme (MRU)

C'est un cas particulier du mouvement rectiligne uniformément varié ; ici la vitesse est une constante et donc, l'accélération est nulle.

 

 
On a : vx=v0=v; t  et  a=dvxdt=0
 
Par conséquent, l'équation horaire du mobile sera donnée par : x(t)=v(tt0)+x0

Exercice d'application

Le mouvement d'un mobile est défini par les équations horaires suivantes : x(t)=t+3;y(t)=2t+1
 
Déterminer l'équation de la trajectoire du mobile et la norme du vecteur vitesse. En déduire la nature du mouvement.

Résolution

D'après l'équation horaire x(t) on a : x=t+3  t=x3
 
En remplaçant l'expression de t dans l'équation de y(t) on aura : y=2(x3)+1=2x5
 
D'où, l'équation de la trajectoire du mobile donnée par : y=2x5
 
C'est une équation de droite. Ce qui signifie que la trajectoire est une droite. Par suite, le mouvement est rectiligne.
 
Par ailleurs, vt=dxdti+dydtj=i+2j
 
Donc, ||vt||=12+22=5m.s1 qui est une constante.
 
Ce qui montre que le mouvement est uniforme.
 
Et par conséquent, le mobile est animé d'un mouvement rectiligne et uniforme.

III.4. Mouvement rectiligne sinusoïdal

Il est caractérisé par un mouvement d'allers-retours sur une portion de droite.
 
Ce mouvement borné et non-uniforme, est défini par l'équation horaire : x(t)=xmcos(ωt+φ)oux(t)=xmsin(ωt+φ)
 
  xm est l'amplitude maximale
 
  ω est la pulsation
 
  φ est la phase à l'origine.

 

 
Le mobile est ainsi animé d'un mouvement périodique de période T=2πω
 
L'expression de la vitesse est donnée par : vx=dxdt=xmωsin(ωt+φ)
 
L'accélération a pour expression : 
 
ax=dvxdt=xmω2cos(ωt+φ)=ω2x
 
Comme ax=¨x  alors,  ¨x=ω2x
 
D'où, l'équation du mouvement définie par : ¨x+ω2x=0
 
Remarque 
 
L'accélération est toujours dirigée vers le centre constituant la position d'équilibre : a=ω2xi

IV. Mouvements circulaires

IV.1. Définition

Un point matériel est animé d'un mouvement circulaire si sa trajectoire est un cercle ou un arc de cercle.

 

 
On utilise l'abscisse curviligne s(t) pour le repérage de la position du mobile.

Expression de la vitesse angulaire

Soit s=AM l'abscisse curviligne du mobile à l'instant t et θ=(^OA, OM). On a :
 
v=dsdtor  s=Rθ=dRθdt=Rdθdt=R˙θ
 
Donc, v=R˙θ et par suite, ˙θ=vR
 
˙θ=ω est la vitesse angulaire du mobile exprimée en rad.s1

Expression de l'accélération angulaire

Dans la base de Frenet, l'accélération est donnée par :
 
a=aTT+aNN
 
avec aN=v2R=R˙θ2  et  aT=dvdt. Soit alors :
 
aT=dvdt=dR˙θdt=Rd˙θdt=R¨θ 
 
Donc, aT=R¨θ et par suite, ¨θ=aTR
 
¨θ est l'accélération angulaire du mobile exprimée en rad.s2

IV.2. Mouvement circulaire uniformément varié

Le mouvement étant circulaire et uniformément varié alors, l'accélération aT est constante.
 
Comme ¨θ=aTR alors, ¨θ est une constante.
 
Or, ¨θ=d˙θdt par suite, d˙θ=¨θdt
 
On obtient, par passage aux primitives : d˙θ=¨θdt=¨θdt
 
Ce qui donne : ˙θ=¨θt+cst
 
La constante (cst) étant déterminée à partir des conditions initiales : soit à l'instant initial t0, le mobile est à la position M0 avec une vitesse angulaire ˙θ0.
 
Ainsi, cst=˙θ0¨θ0t0
 
D'où : ˙θ=¨θ(tt0)+˙θ0
 
En particulier, si t0=0 on obtient : ˙θ=¨θt+˙θ0
 
Par ailleurs, on sait que : ˙θ=dθdt=¨θ(tt0)+˙θ0 donc, dθ=(¨θ(tt0)+˙θ0)dt 
 
Ce qui donne, par passage aux primitives : dθ=(¨θ(tt0)+˙θ0)dt
D'où, θ=12¨θt2+(˙θ0¨θt0)t+cst
 
Or, d'après conditions initiales, θ=θ0  à  t=t0
 
Ce qui entraîne : cst=12¨θt20˙θ0t0+θ0
 
Par conséquent, θ(t)=12¨θ(tt0)2+˙θ0(tt0)+θ0
 
Particulièrement, lorsque t0=0, l'équation devient : θ(t)=12¨θt2+˙θ0t+θ0

IV.3. Mouvement circulaire uniforme

Dans ce ce cas la vitesse est constante et donc, aT=0  et  aN=v2R=cst.
 
La position du mobile est alors repérée par son abscisse curviligne s(t).
 
On a : v=dsdt  ds=vdt
 
Par passage aux primitives, on obtient : 
ds=vdt
Ce qui donne : s(t)=v(tt0)+s0

Exercice d'application

Un mobile est animé d'un mouvement circulaire de rayon de courbure R=0.5m et d'équation : s(t)=3t+1
 
Calculer les composantes et la valeur de l'accélération pour t=2s.

Résolution

La trajectoire étant curviligne alors, l'accélération a du mobile, à l'instant t, sera donnée par : a=aTT+aNN
 
Soit aT=dvdt  avec,  v=dsdt 
 
Or,  s(t)=3t+1  donc,  v=d(3t+1)dt=3m.s1
 
Ainsi, aT=0 puisque v est constante.
 
Aussi, aN=v2R
 
A.N : aN=320.5=18m.s2
 
D'où, ||a||=a2T+a2N=18m.s2 pour n'importe quelle date t.

V. Mouvement accéléré - mouvement décéléré

   Un mouvement est accéléré si, et seulement si, va>0
 
   Un mouvement est décéléré si, et seulement si, va<0
 
   Un mouvement est uniforme si, et seulement si, va=0

VI. Composition des vitesses

Soit R(O; i, j, k) un référentiel fixe (ou absolu) et R(O; i, j, k) un référentiel mobile (ou relatif) et soit M un point matériel mobile par rapport à (R) et par rapport à (R) tel que : OM=xi+yj+zketOM=xi+yj+zk
 

 
Soit va la vitesse absolue du mobile dans le référentiel absolu (R) et vr sa vitesse relative dans le référentiel relatif (R).
 
va=vM/R=(dOMdt)R
 
vr=vM/R=(dOMdt)R
 
Or,  OM=OO+OM  donc,  dOMdt=dOOdt+dOMdt
 
D'après la loi de composition des vitesses on a : va=vr+ve
 
ve, encore appelée vitesse d'entrainement, est la vitesse du référentiel mobile (R) par rapport au référentiel fixe (R).

 
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