Gravitation universelle - Ts

Classe: 
Terminale
 

I. Force gravitationnelle (Loi de Newton)

Soit les masses mA et mB de deux particules placées respectivement en A et B et séparées d'une distance r, les forces d'interaction gravitationnelle entre mA et mB, notées FA/B et FB/A, sont attractives, proportionnelles au produit des masses et inversement proportionnelles au carré de la distance qui les sépare.

 

 
 
FA/B est la force d'attraction de A sur B, dirigée de B vers A

FB/A est la force d'attraction exercée par B sur A, dirigée de A vers B

Ces deux forces ont la même direction, celle de la droite (AB).
 
De plus, On a : 

FA/B=G.mA.mBr2uABor  uAB=uBA=(G.mA.mBr2uBA)=FB/A

 
D'où, FA/B=FB/A
 
Ainsi, FA/B et FB/A sont de sens opposé.
 
L'intensité de ces forces, exprimée en Newton (N), est donnée par : FA/B=FB/A=G.mA.mBr2(1) où,  G=6.671011N.m2.kg2 est la constante de gravitation universelle.

Exemple

Soit m1 et m2 deux masses de deux particules distantes de r.
 
Déterminer la force d'interaction gravitationnelle entre ces deux particules.
 
On donne : m1=25kg,m2=75,kg,r=100m

Résolution

En appliquant la loi de l'attraction gravitationnelle, on obtient : F1/2=F2/1=G.m1.m2r2
 
A.N : F1/2=F2/1=6.671011×25×751002=1.251011
 
D'où, F1/2=F2/1=1.251011N

Remarque

L'interaction gravitationnelle s'applique aussi aux corps non ponctuels à symétrie sphérique dont la masse reste concentrée autour de leur centre d'inertie.

 

 

Exemple

La force d'attraction gravitationnelle exercée par la terre de masse mT=5.971024kg sur la lune de masse mL=7.351022kg, séparée d'une distance r=3.83105km, a pour intensité : FT/L=G.mT.mLr2
 
A.N : FT/L=6.671011×5.971024×7.351022(3.83108)2=21020
 
Ainsi, FT/L=21020N
 
Sans cette force, la trajectoire de la lune serait rectiligne uniforme. C'est donc cette force d'attraction qui entraîne continuellement la lune dans un mouvement autour de la terre en modifiant sa trajectoire. D'où, l'appellation de force de gravitation.

 

 

Remarque

La loi de l'attraction gravitationnelle est un phénomène universel lié à la présence de la matière (masse). Ses effets sont beaucoup mieux perceptibles entre les astres que entre des objets sur terre. 

II. Champ de gravitation G

II.1 Définition

Dans une région de l'espace où règne un champ gravitationnel, en y plaçant une masse m, celle-ci est soumise à une fore gravitationnelle F définie par : F=m.G 
 
G est appelé champ de gravitation exprimé en N.kg1  ou en  N.s2

Remarque

F  et  G sont toujours de même sens.

II.2. Champ gravitationnel créé par une masse ponctuelle

Calculons le champ de gravitation créé par une masse ponctuelle m en un point A situé à une distance de r mètres.

 

 
La masse M placée au point A est soumise à une fore gravitationnelle F telle que F=M.G
 
Or, d'après la loi de l'attraction gravitationnelle, F=G.m.Mr2u.
 
Donc, M.G=G.m.Mr2u
 
Par suite, G=G.mr2u
 
D'où, G=G.mr2(2)

II.3. Champ de gravitation créé par un corps sphérique (une masse non ponctuelle)

Considérons un corps sphérique de rayon R de masse totale M et soit une masse m placée en un point A de l'espace.

 

 
Comme l'interaction gravitationnelle s'applique aussi aux corps non ponctuels à symétrie sphérique alors, le champ de gravitation créé par ce corps sphérique est donné par : G=G.Mr2u
 
Or, r=R+z donc, G=G.M(R+z)2u
 
D'où, G=G.M(R+z)2(3)

II.3. Champ de gravitation créé par la terre

La terre étant un corps sphérique alors, son champ de gravitation sera donné par : GT=G.MT(RT+z)2
 
   A la surface de la terre, on a : z=0 donc, GT=G0=G.MTR2T
 
avec MT=5.971024kg, RT=64105m
 
A.N : G0=6.671011×5.971024(64105)2=9.82
 
D'où, G0=9.82N.kg1g
 
   Au voisinage de la terre ; c'est-à-dire pour z très petit devant RT, on a : 
 
GT=Gz=G.MT(RT+z)2=G.MT(RT+z)2×R2TR2Tor  G0=G.MTR2T=G0.R2T(RT+z)2=G0(RTRT(1+zRT))2=G0(1+zRT)2
 
D'après cours de mathématiques, la fonction (1+x)α peut être approchée par 1+αx, au voisinage de 0 ; c'est-à-dire lorsque x est très petit (x1).
 
Ainsi, en appliquent cette formulation à l'expression (1+zRT)2zRT est très petit par rapport à 1 du fait que zRT, on obtient : (1+zRT)2=12zRT
 
D'où, Gz=G0(12zRT)

III. Champ de gravitation G - Champ de pesanteur g

Le poids P d'un objet de masse m, situé dans l'environnement terrestre et soumis à l'attraction gravitationnelle de la terre, est approximativement identique à la force d'attraction gravitationnelle FTerre/Objet exercée par la terre sur cet objet.
 
On a : FTerre/Objet=P  m.G=m.g
 
Soit : G=g
 
D'où, pour un objet situé à une altitude, z, de la terre : gT=G.MT(RT+z)2
 
Par conséquent, à la surface de la terre (z=0), on obtient : gT=G.MTR2T9.81N.kg1
 
Par analogie, la pesanteur, gL, au niveau de la lune est donnée par : gL=G.MLR2L
avec ML=7.351022kg, RL=1737.4km
 
A.N : gL=6.671011×7.351022(1737.4103)2=1.62
 
D'où, gL=1.62N.kg1

Exemple

Soit une masse m placée en un point A équigravitationnel entre la terre et la lune.
 
A quelle distance de la terre se trouve alors la masse m ?
 
Données : MT=5.971024kg, ML=7.351022kg, d=3.83105km

Résolution

Au point équigravitationnel, on a : PT+PL=0  gT=gL
 
Soit alors, gT=gL
 
Soit d la distance entre la terre et la lune.
 
Donc, si est la distance entre le point A et le centre de la terre alors, d sera la distance entre ce même point A et le centre de la lune.
 
On a :
 
gT=gLG.MT2=G.ML(d)2MT2=ML(d)2MTML=2(d)2(d)=MTML=(d)MTML(1+MTML)=d.MTML=d.MTML(1+MTML)
 
Donc, =d.MTML(1+MTML)
 
A.N : =3.83108×5.9710247.3510221+5.9710247.351022=3.45108m
 
D'où, =3.45105km

 

 
A cette distance , de la terre, la masse m reste en équilibre entre la terre et la lune.
 
C'est le même phénomène qui se produit avec les satellites qui doivent se libérer de la pesanteur terrestre pour se mettre sur orbite. 

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Commentaires

Trés bon site, toutes mes félicitations et remerciements juste une suggestion, si vous pourrez ajoutez des boutons "Précédant" et "Suivant" à la fin des chapitres pour qu'on puisse naviguer linéairement entre les chapitres d'une matière, encore merci pour le beau travail !

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