Mouvement d'un solide sur un plan incliné - Ts

Classe: 
Terminale
 

I. Rappels

Considérons un repère orthonormé (O; i, j) et soit M un point.
 
Si H et H sont les projetés orthogonaux de M respectivement sur les axes (xx) et (yy) alors on a : {OH=OMcosαOH=OMsinα

 

 
Soient u1, u2, v1, v2 quatre vecteurs tels que u1u2 et v1v2  alors : mes^(u1, v1)=mes^(u2, v2)

 

 

II. Mouvement sur un plan incliné

Illustration

Considérons une caisse de forme cubique, de masse m et de centre de gravité G, glissant sur un plan incliné d'un angle α par rapport au plan horizontal.
 
Supposons qu'à l'instant t0=0; v0=0.
 
Déterminons alors l'accélération et la vitesse de cette caisse à un instant t quelconque.

 

 

Étude du mouvement

   Le système étudié est la caisse, considérée comme un solide ou un point matériel.
 
   Le référentiel d'étude est le référentiel terrestre supposé galiléen.
 
   Les forces extérieures appliquées au système sont :
 
   Le poids p ; force exercée par la terre sur la caisse.
 
   La composante normale R de la réaction du plan incliné sur la caisse.
 
   La force de frottement f toujours colinéaire et opposée au sens du mouvement.

 

 
   Appliquons le théorème du centre d'inertie ou principe fondamental de la dynamique. On obtient alors : Fext=maG=p+f+R
 
   Choisissons comme repère de projection un repère orthonormé (O; i, j) et supposons qu'à l'instant t0=0, le centre d'inertie G du solide, considéré comme un point matériel, se trouve à l'origine O du repère.
 
   Projetons la relation  p+f+R=maG sur les axes du repère.

 

 
Les expressions des vecteurs f, R, aG et p dans la base (i, j) sont alors données par :
 
f{fx=ffy=0,R{Rx=0Ry=R,aG{aGx=aGaGy=0
 
p{px=psinαpy=pcosα 
 
En effet, le poids p est orthogonal à l'axe (xx) de plus, l'axe (Oy) est perpendiculaire à l'axe (xx). Donc, en appliquant les propriétés géométriques ci-dessus, on obtient l'expression de p ainsi définie dans la base  (i, j).
 
Et par conséquent, la (R.F.D) ;  Fext=maG s'écrit alors : maG{maGx=psinαf+0maGy=pcosα+0+R
D'où ; {maG=psinαf(1)0=pcosα+R(2)
 
De l'équation (1) on tire : aG=psinαfm
 
La trajectoire étant une ligne droite et l'accélération aG constante alors, le mouvement est rectiligne uniformément varié.
 
Donc, la vitesse vG(t) à l'instant t est donnée par : vG(t)=aG(tt0)+v0
 
Ainsi, en tenant compte des conditions initiales (t0=0, v0=0) on obtient : vG(t)=aG.t=(psinαfm)t

 
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