Mouvement d'un solide sur un plan incliné - Ts
Classe:
Terminale
I. Rappels
Considérons un repère orthonormé (O; →i, →j) et soit M un point.
Si H et H′ sont les projetés orthogonaux de M respectivement sur les axes (x′x) et (y′y) alors on a : {OH=OMcosαOH′=OMsinα

Soient →u1, →u2, →v1, →v2 quatre vecteurs tels que →u1⊥→u2 et →v1⊥→v2 alors : mes^(→u1, →v1)=mes^(→u2, →v2)

II. Mouvement sur un plan incliné
Illustration
Considérons une caisse de forme cubique, de masse m et de centre de gravité G, glissant sur un plan incliné d'un angle α par rapport au plan horizontal.
Supposons qu'à l'instant t0=0; →v0=→0.
Déterminons alors l'accélération et la vitesse de cette caisse à un instant t quelconque.

Étude du mouvement
⋅ Le système étudié est la caisse, considérée comme un solide ou un point matériel.
⋅ Le référentiel d'étude est le référentiel terrestre supposé galiléen.
⋅ Les forces extérieures appliquées au système sont :
− Le poids →p ; force exercée par la terre sur la caisse.
− La composante normale →R de la réaction du plan incliné sur la caisse.
− La force de frottement →f toujours colinéaire et opposée au sens du mouvement.

⋅ Appliquons le théorème du centre d'inertie ou principe fondamental de la dynamique. On obtient alors : ∑→Fext=m→aG=→p+→f+→R
⋅ Choisissons comme repère de projection un repère orthonormé (O; →i, →j) et supposons qu'à l'instant t0=0, le centre d'inertie G du solide, considéré comme un point matériel, se trouve à l'origine O du repère.
⋅ Projetons la relation →p+→f+→R=m→aG sur les axes du repère.

Les expressions des vecteurs →f, →R, →aG et →p dans la base (→i, →j) sont alors données par :
→f{fx=−ffy=0,→R{Rx=0Ry=R,→aG{aGx=aGaGy=0
→p{px=psinαpy=−pcosα
En effet, le poids →p est orthogonal à l'axe (xx″) de plus, l'axe (Oy′) est perpendiculaire à l'axe (xx′). Donc, en appliquant les propriétés géométriques ci-dessus, on obtient l'expression de →p ainsi définie dans la base (→i, →j).
Et par conséquent, la (R.F.D) ; ∑→Fext=m→aG s'écrit alors : m→aG{maGx=psinα−f+0maGy=−pcosα+0+R
D'où ; {maG=psinα−f(1)0=−pcosα+R(2)
De l'équation (1) on tire : aG=psinα−fm
La trajectoire étant une ligne droite et l'accélération aG constante alors, le mouvement est rectiligne uniformément varié.
Donc, la vitesse vG(t) à l'instant t est donnée par : vG(t)=aG(t−t0)+v0
Ainsi, en tenant compte des conditions initiales (t0=0, v0=0) on obtient : vG(t)=aG.t=(psinα−fm)t
Commentaires
Mvoulatoumi Luther (non vérifié)
sam, 07/10/2021 - 13:08
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Anonyme (non vérifié)
jeu, 10/21/2021 - 04:14
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Dominique (non vérifié)
mar, 08/16/2022 - 09:52
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Djamil (non vérifié)
lun, 12/25/2023 - 10:56
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