Mouvement d'une particule chargée dans un champ électrostatique E uniforme - Ts

 

Une particule chargée de masse $m$ et de charge $q>0$ est lancée avec un vecteur vitesse $\vec{v}_{0}$, dans une région de l'espace où règne un champ électrostatique $\vec{E}$ uniforme $(\vec{E}\perp\vec{v}_{0}).$

 

Étudier le mouvement de la particule.

Le système est constitué de la particule assimilable à un point matériel et le référentiel d'étude est le référentiel terrestre considéré comme galiléen.

 

Les forces extérieures appliquées à la particule sont la force électrostatique $\vec{F}=q.\vec{E}$ et son poids $\vec{p}=m.\vec{g}$ qui est négligeable par rapport à $\vec{F}.$

 

En appliquant la deuxième loi de Newton, on a : $$\sum {\overrightarrow{F}}_{\text{ext}}=m\overrightarrow{a}$$

 

Soit : $$\overrightarrow{F}+\overrightarrow{p}=m.\overrightarrow{a}$$

 

Le poids étant négligeable alors, on obtient : $$\overrightarrow{F}=m.\overrightarrow{a}$$ 

 

Soit : $$q.\overrightarrow{E}=m.\overrightarrow{a}$$

 

Choisissons comme repère de projection, le repère $(O\;;\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$ et supposons qu'à l'instant initial $t_{0}=0$, la particule se trouve au point $O$, origine du repère.

Projetons la relation vectorielle $q.\vec{E}=m.\vec{a}$ suivant les axes du repère. 

 

Soit les vecteurs $\vec{E}$$\left(\begin{array}{c}{E}_x=0\\ E_y=-E\end{array}\right)$$\ $et$\ \vec{a}$$\left(\begin{array}{c}{a}_x\\ a_y\end{array}\right)$$$ alors, on a : 

 

$-\ \ $ Suivant l'axe $Ox$

 

$q.E_{x}=m.a_{x}\ $ or, $E_{x}=0$ donc, $a_{x}=0.$

 

Par suite, $v_{x}=\text{cst}$ car $a_{x}=\dfrac{\mathrm{d}v_{x}}{\mathrm{d}t}$

 

Or, à $t_{0}=0\;,\ v_{x}=v_{0_{x}}=v_{0}=\text{cst}.$

 

D'où :  $$\boxed{{\displaystyle v_x=v_0}}$$

 

Par ailleurs, $v_{x}=\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\ \Rightarrow\ \mathrm{d}x=v_{x}\mathrm{d}t=v_{0}\mathrm{d}t$

 

D'où, après intégration ou par passages aux primitives, on obtient : $$x=v_{0}t+x_0$$

 

Or, à $t_{0}=0\;,\ x_{0}=0\;,\ y_{0}=0$

 

Par suite, $$\boxed{{\displaystyle x=v_{0}t}}$$

 

$-\ \ $ Suivant l'axe $Oy$

 

$q.E_{y}=m.a_{y}\ $ or, $E_{y}=-E$ donc, $a_{y}=-\dfrac{q.E}{m}.$

 

Par ailleurs, $\ a_{y}=\dfrac{\mathrm{d}v_{y}}{\mathrm{d}t}\ \Leftrightarrow\ \mathrm{d}v_{y}=a_{y}\mathrm{d}t=-\dfrac{q.E}{m}\mathrm{d}t$

 

Ce qui donne, après intégration ou par passage aux primitives : $$v_y=-{\displaystyle \frac{q.E}{m}}t+v_{0_y}$$

 

Or, à $t_{0}=0\;,\ v_{0_{y}}=0.$

 

D'où : $$\boxed{{\displaystyle v_y=-{\displaystyle \frac{q.E}{m}}t}}$$

 

Par ailleurs, on a : 

 

$$$\begin{array}{rcl}{v}_y={\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}}\Rightarrow \mathrm{d}y& =& v_y\mathrm{d}t\\ \Rightarrow \mathrm{d}y& =& -{\displaystyle \frac{q.E}{m}}t\mathrm{d}t\end{array}$$$

 

L'intégration de cette dernière expression de $(\mathrm{d}y)$ donne : $$y=-{\displaystyle \frac{1}{2}}{\displaystyle \frac{q.E}{m}}{t}^2+y_0$$

 

Comme à $t_{0}=0\;,\ x_{0}=0\;,\ y_{0}=0$ alors, $$\boxed{{\displaystyle y=-{\displaystyle \frac{1}{2}}{\displaystyle \frac{q.E}{m}}{t}^2}}$$

 

Les équations horaires du mouvement sont alors données par : $$\boxed{{\displaystyle \begin{array}{rcl}x& =& v_{0}t\\ \\ y& =& -{\displaystyle \frac{1}{2}}{\displaystyle \frac{q.E}{m}}{t}^2\end{array}}}\begin{array}{l}(1)\\ \\ (2)\end{array}$$

L'équation de la trajectoire $y=f(x)$ est obtenue en éliminant le temps $t$ entre les équations horaires (1) et (2).

 

De l'équation (1), on tire : $t=\dfrac{x}{v_{0}}$

 

En remplaçant cette expression de $t$ dans l'équation (2), on obtient : 

 

$$$\begin{array}{rcl}y& =& -{\displaystyle \frac{1}{2}}{\displaystyle \frac{q.E}{m}}{t}^2\\ \\ & =& -{\displaystyle \frac{1}{2}}{\displaystyle \frac{q.E}{m}}{\left({\displaystyle \frac{x}{v_0}}\right)}^2\\ \\ & =& -{\displaystyle \frac{1}{2}}{\displaystyle \frac{q.E.x^2}{m.v_0^2}}\end{array}$$$

 

D'où, l'équation de la trajectoire donnée par : $$\boxed{{\displaystyle y=-{\displaystyle \frac{1}{2}}{\displaystyle \frac{q.E.x^2}{m.v_0^2}}}}(3)$$

 

On reconnait alors l'équation d'une parabole d'axe vertical.

 

D'où, la trajectoire est une parabole.

La particule sortira du champ électrostatique lorsque sa trajectoire ne rencontre pas les plaques.

 

A la limite de sortie, la particule est au point $M.$

 

Soit $H$ le projeté orthogonal de $M$ sur l'axe $Ox$ et soit $I$ milieu du segment $[OH].$

 

Ainsi, la particule sortira du champ si, et seulement si, $$MH<{\displaystyle \frac{d}{2}}$$

 

$d$ étant la distance entre les deux plaques.

 

On a : 

 

$$$\begin{array}{rcl}MH& =& \sqrt{(x_{{}_H}-x_{{}_M}{)}^2+(y_{{}_H}-y_{{}_M}{)}^2}\\ \\ & =& \sqrt{(\ell -\ell {)}^2+(0-y_{{}_M}{)}^2}\\ \\ & =& \sqrt{y_{{}_M}^2}\\ \\ & =& |y_{{}_M}|\\ \\ & =& |-{\displaystyle \frac{1}{2}}{\displaystyle \frac{q.E.x_{{}_M}^2}{m.v_0^2}}|\\ \\ & =& {\displaystyle \frac{1}{2}}{\displaystyle \frac{q.E.{\ell }^2}{m.v_0^2}}\end{array}$$$

 

Par suite, 

 

$$$\begin{array}{rcl}MH<{\displaystyle \frac{d}{2}}& \iff & {\displaystyle \frac{1}{2}}{\displaystyle \frac{q.E.{\ell }^2}{m.v_0^2}}<{\displaystyle \frac{d}{2}}\\ \\ & \iff & m.v_0^2.d>q.E.{\ell }^2\\ \\ & \iff & v_0^2>{\displaystyle \frac{q.E.{\ell }^2}{m.d}}\\ \\ & \iff & v_0>\sqrt{{\displaystyle \frac{q.E.{\ell }^2}{m.d}}}\end{array}$$$

 

D'où, $$\boxed{{\displaystyle v_0>\sqrt{{\displaystyle \frac{q.E.{\ell }^2}{m.d}}}}}(4)$$

 

Ainsi, pour une telle vitesse $v_{0}$, la particule va sortir du champ sans heurter la plaque.

 

Dès la sortie, le mouvement sera rectiligne uniforme car la particule n'est plus soumise à une force électrostatique.

 

Remarque 

 

Comme $E=\dfrac{u}{d}$ alors, la condition de sortie peut encore s'écrire : $v_{0}>\dfrac{\ell}{d}\sqrt{\dfrac{q.u}{m}}.$

Soit $\alpha$ l'angle de déviation de la particule alors, on a : $$\tan \alpha ={\displaystyle \frac{MH}{IH}}$$

 

Or, $\dfrac{1}{2}\dfrac{q.E.\ell^{2}}{m.v_{0}^{2}}\ $ et $\ IH=\dfrac{\ell}{2}$

 

Par suite, 

 

$$$\begin{array}{rcl}\tan \alpha & =& {\displaystyle \frac{MH}{IH}}\\ \\ & =& {\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{2}}{\displaystyle \frac{q.E.{\ell }^2}{m.v_0^2}}}{{\displaystyle \frac{\ell }{2}}}}\\ \\ & =& {\displaystyle \frac{q.E.{\ell }^2}{\ell .m.v_0^2}}\\ \\ & =& {\displaystyle \frac{q.E.\ell }{m.v_0^2}}\end{array}$$$

 

D'où, $$\boxed{{\displaystyle \tan \alpha ={\displaystyle \frac{q.E.\ell }{m.v_0^2}}}}(5)$$

La déflexion électrique est la distance $O'P.$ Elle est donc déterminée en localisant le point d'impact de la particule sur l'écran.

 

On a : $\tan\alpha=\dfrac{O'P}{IO'}\ \Rightarrow\ O'P=IO'.\tan\alpha\ $ or, $IO'=L.$ 

 

Par suite, $O'P=L.\tan\alpha$

 

D'où, $$\boxed{{\displaystyle O^{\prime }P=L.{\displaystyle \frac{q.E.\ell }{m.v_0^2}}}}(6)$$