Mouvement d'une particule chargée dans un champ électrostatique E uniforme - Ts

Classe: 
Terminale
 

Illustration

Une particule chargée de masse m et de charge q>0 est lancée avec un vecteur vitesse v0, dans une région de l'espace où règne un champ électrostatique E uniforme (Ev0).
 
Étudier le mouvement de la particule.

Étude du mouvement

Le système est constitué de la particule assimilable à un point matériel et le référentiel d'étude est le référentiel terrestre considéré comme galiléen.
 
Les forces extérieures appliquées à la particule sont la force électrostatique F=q.E et son poids p=m.g qui est négligeable par rapport à F.
 
En appliquant la deuxième loi de Newton, on a : Fext=ma
 
Soit : F+p=m.a
 
Le poids étant négligeable alors, on obtient : F=m.a 
 
Soit : q.E=m.a
 
Choisissons comme repère de projection, le repère (O; i, j) et supposons qu'à l'instant initial t0=0, la particule se trouve au point O, origine du repère.

 

 

Équations horaires du mouvement

Projetons la relation vectorielle q.E=m.a suivant les axes du repère. 
 
Soit les vecteurs E(Ex=0Ey=E)  et  a(axay) alors, on a : 
 
   Suivant l'axe Ox
 
q.Ex=m.ax  or, Ex=0 donc, ax=0.
 
Par suite, vx=cst car ax=dvxdt
 
Or, à t0=0, vx=v0x=v0=cst.
 
D'où :  vx=v0
 
Par ailleurs, vx=dxdt  dx=vxdt=v0dt
 
D'où, après intégration ou par passages aux primitives, on obtient : x=v0t+x0
 
Or, à t0=0, x0=0, y0=0
 
Par suite, x=v0t
 
   Suivant l'axe Oy
 
q.Ey=m.ay  or, Ey=E donc, ay=q.Em.
 
Par ailleurs,  ay=dvydt  dvy=aydt=q.Emdt
 
Ce qui donne, après intégration ou par passage aux primitives : vy=q.Emt+v0y
 
Or, à t0=0, v0y=0.
 
D'où : vy=q.Emt
 
Par ailleurs, on a : 
 
vy=dydt  dy=vydt  dy=q.Emtdt
 
L'intégration de cette dernière expression de (dy) donne : y=12q.Emt2+y0
 
Comme à t0=0, x0=0, y0=0 alors, y=12q.Emt2
 
Les équations horaires du mouvement sont alors données par : x=v0ty=12q.Emt2(1)(2)

Équation de la trajectoire

L'équation de la trajectoire y=f(x) est obtenue en éliminant le temps t entre les équations horaires (1) et (2).
 
De l'équation (1), on tire : t=xv0
 
En remplaçant cette expression de t dans l'équation (2), on obtient : 
 
y=12q.Emt2=12q.Em(xv0)2=12q.E.x2m.v20
 
D'où, l'équation de la trajectoire donnée par : y=12q.E.x2m.v20(3)
 
On reconnait alors l'équation d'une parabole d'axe vertical.
 
D'où, la trajectoire est une parabole.

Conditions de sortie de la particule

La particule sortira du champ électrostatique lorsque sa trajectoire ne rencontre pas les plaques.
 
A la limite de sortie, la particule est au point M.
 
Soit H le projeté orthogonal de M sur l'axe Ox et soit I milieu du segment [OH].
 
Ainsi, la particule sortira du champ si, et seulement si, MH<d2
 
d étant la distance entre les deux plaques.
 
On a : 
 
MH=(xHxM)2+(yHyM)2=()2+(0yM)2=y2M=|yM|=|12q.E.x2Mm.v20|=12q.E.2m.v20
 
Par suite, 
 
MH<d212q.E.2m.v20<d2m.v20.d>q.E.2v20>q.E.2m.dv0>q.E.2m.d
 
D'où, v0>q.E.2m.d(4)
 
Ainsi, pour une telle vitesse v0, la particule va sortir du champ sans heurter la plaque.
 
Dès la sortie, le mouvement sera rectiligne uniforme car la particule n'est plus soumise à une force électrostatique.
 
Remarque 
 
Comme E=ud alors, la condition de sortie peut encore s'écrire : v0>dq.um.

Angle de déviation α

Soit α l'angle de déviation de la particule alors, on a : tanα=MHIH
 
Or, 12q.E.2m.v20  et  IH=2
 
Par suite, 
 
tanα=MHIH=12q.E.2m.v202=q.E.2.m.v20=q.E.m.v20
 
D'où, tanα=q.E.m.v20(5)

Déflexion électrique

La déflexion électrique est la distance OP. Elle est donc déterminée en localisant le point d'impact de la particule sur l'écran.
 
On a : tanα=OPIO  OP=IO.tanα  or, IO=L. 
 
Par suite, OP=L.tanα
 
D'où, OP=L.q.E.m.v20(6)

 
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