Série d'exercices : Cinématique - Ts

Classe: 
Terminale

Exercice 1

Un mobile $M_{1}$ est en mouvement relativement au repère d'espace $\mathcal{R}(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$, son vecteur vitesse est : $\overrightarrow{V}_{1}=3\vec{i}+(-2t+4)\vec{j}$
 
1) Donner les lois horaires du mouvement sachant qu'à l'origine des temps, le mobile passe par l'origine $O.$
 
2) Établir l'équation cartésienne de la trajectoire.
 
3) Établir l'expression du vecteur accélération $\overrightarrow{\alpha}_{1}.$
 
Le représenter sur la trajectoire de la figure.
 
 
4) A quelle date la direction du vecteur vitesse est horizontale ? 
 
En déduire les coordonnées $(x_{s}\ ;\ y_{s})$ du sommet S de la trajectoire ainsi que la valeur de la vitesse en ce point.
 
Représenter ce vecteur vitesse.
 
5) Calculer :
 
Le rayon de courbure de la trajectoire à la date $t=2s.$
 
L'abscisse $x_{p}$ du mobile lorsque celui-ci repasse par l'ordonnée $y=0.$
 
La valeur de la vitesse $\overrightarrow{V}_{p}$ du mobile en ce point.
 
6) Un deuxième mobile $M_{2}$ en mouvement rectiligne uniformément varié sur l'axe $(ox)$ du repère $\mathcal{R}(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$, passe par le point d'abscisse $x=20\,m$ à l'instant $t=0$ avec une vitesse $\overrightarrow{V}_{O_{2}}=2\vec{i}$
 
Déterminer la valeur algébrique de l'accélération du mobile $M_{2}$ au point du rencontre avec $M_{1}$ pour $x=12\;m$

Exercice 2

Dans un repère $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$ orthonormé, les lois horaires du mouvement d'un mobile ponctuel $M$ sont données par : $x=t$ et $y=\dfrac{t^{2}}{2}$ le temps est mesuré en secondes et les distances en mètres. 
 
A $t=0s$ le mobile débute son mouvement.
 
1) a) Quel est le point de départ du mobile à l'origine des dates ?
 
b) Établir l'équation de la trajectoire du mobile relativement au repère $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j}).$
 
c) Déterminer l'expression du vecteur vitesse et celle du vecteur accélération du mobile $M.$
 
2) a) A quelle date le vecteur vitesse est colinéaire à $\vec{i}$ ?
 
b) Montrer qu'à cette date la composante tangentielle de l'accélération est nulle.
 
3) Sachant, qu'à une date $t$, l'accélération tangentielle a pour expression $\alpha_{T}=\dfrac{t}{\sqrt{1+t^{2}}}$ dans le repère de Frenet $(M\;,\ \overrightarrow{T}\;,\ \overrightarrow{N})$.
 
a) Montrer que celle de l'accélération normale est $\alpha_{N}=\dfrac{1}{\sqrt{1+t^{2}}}.$
 
b) A quelle date $t_{1}$, $V_{x}=V_{y}$ avec $V_{x}$ et $V_{y}$ les composantes du vecteur vitesse dans le repère $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$ ?
 
c) Calculer le rayon de courbure à la date $t_{1}.$

Exercice 3

Dans un repère $\mathcal{R}=(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$, un point mobile $M_{1}$ est animé d'un mouvement rectiligne uniformément varié d'accélération $a_{1}=-2\,m\cdot s^{-1}.$ 
 
A la date $t_{1}=1\,s$, le mobile $M_{1}$ passe par le point $A$ d'abscisse $x_{A}=0\,m$ avec une vitesse $V_{A}=6\,m\cdot s^{-1}.$ 
 
Sachant que le mobile débute son mouvement à la date $t=0s.$
 
1) Déterminer la vitesse initiale et l'abscisse initiale du point mobile $M_{1}.$
 
2) Écrire la loi horaire $x_{1}(t)$ de mouvement de $M_{1}.$ 
 
Déduire l'expression de sa vitesse instantanée.
 
3) Montrer que le mouvement de $M_{1}$ comporte deux phases.
 
4) Calculer la distance parcourue par le mobile entre les dates $t_{1}=1\,s$ et $t_{2}=7\,s.$

Exercice 4

Les équations horaires du mouvement d'un mobile $M$ relativement à un repère d'espace $\mathcal{R}$ $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$ sont $x=2t$ et $y=f(t)$  $(t>0).$ 
 
L'équation cartésienne de la trajectoire est $y=-\dfrac{5}{4}x^{2}+2x.$
 
1) Représenter l'allure de la trajectoire.
 
2) Déterminer l'expression de l'ordonnée $y=f(t)$ du mobile.
 
2) a) Déterminer les composantes du vecteur vitesse $\overrightarrow{V}$ en fonction du temps.
 
2) b) à quelle date la direction du vecteur vitesse est horizontale, en déduire les coordonnées du sommet $S$ de la trajectoire. 
 
Calculer la valeur de la vitesse en ce point.
 
3) Donner l'expression du vecteur accélération $\vec{a}.$
 
Conclure.
 
4) Calculer le rayon de courbure de la trajectoire au sommet $S$ de la trajectoire.
 
5) Déterminer les phases du mouvement.
 
6) Déterminer l'abscisse du point $P$ $(P\neq O)$ intersection de la trajectoire avec l'axe $ox.$
 
Quelles sont les caractéristiques du vecteur vitesse $\overrightarrow{V}_{p}$ en ce point ? 
 
Comparer ce vecteur au vecteur $\overrightarrow{V}_{O}$ (direction, valeur). 
 
Représenter ces deux vecteurs sur la trajectoire. 
 
(Échelle de votre choix).

Exercice 5

Un mobile $M$ décrit une trajectoire rectiligne dans un repère $(O\ ;\ \vec{i})$ ; son vecteur accélération est constant pendant toute la durée de son mouvement dans l'intervalle de temps $[0\ ;\ 5s].$
 
A l'origine du temps, le mobile $M$ part de la position d'abscisse $x_{0}=0.5\,m$ avec une vitesse $v_{0}=-1\,m\cdot s^{-1}$, puis il passe par le point d'abscisse $x_{1}=5m$ avec une vitesse $v_{1}=4.7\,m\cdot s^{-1}.$
 
1) Calculer l'accélération $a$ du mouvement.
 
2) Établir l'expression de la vitesse instantanée $v(t)$ du mobile.
 
3) Déduire l'instant pour lequel le mobile passe par le point d'abscisse $x_{1}.$
 
4) Établir l'équation horaire du mouvement.
 
5) Après deux secondes du départ du mobile $M$, un deuxième mobile $M'$ part du point d'abscisse $x=5m$, en mouvement rectiligne uniforme de vitesse $v'=4m\cdot s^{-1}.$
 
a) Déterminer l'équation horaire du mouvement du mobile $M'$
 
b) Calculer la date $t$ de rencontre des mobiles.
 
c) Calculer l'abscisse $x$ correspondant à cette rencontre.

Exercice 6

Un mobile parcourt une distance $AB=300m$ en deux phases.
 
$-\ $ $1^{ière}$ phase : mouvement rectiligne uniformément accéléré d'accélération $a_{1}=2\,m\cdot s^{-2}$
 
$-\ $ $2^{ième}$ phase : mouvement rectiligne uniformément retardé d'accélération $a_{2}=-1m\cdot s^{-2}.$ 
 
A $t=Os$ le mobile part du point $A$, pris comme origine des espaces, sans vitesse initiale et arrive au point $B$ avec une vitesse nulle
 
 
1) Soit $C$ le point ou le mouvement devient retardé :
 
a) Exprimer, pour la $1^{ière}$ phase, $x_{C}$ en fonction de $V_{C}$ et $a_{1}.$
 
b) Exprimer, pour la $2^{ième}$ phase, $V_{C}$ en fonction de $a_{2}$, $x_{B}$ et $x_{C}.$
 
c) Déduire d'après a) et b) l'expression de $V_{C}$ en fonction de $a_{1}$, $a_{2}$ et $x_{B}.$
 
Calculer sa valeur
 
2) a) Calculer la distance parcourue $AC$ pendant la $1^{ière}$ phase.
 
b) Calculer sa durée.
 
3) a) Déduire la distance parcourue $CB$ pendant la $2^{ième}$ phase.
 
b) Calculer la durée du trajet $AB.$

Exercice 7

Un solide supposé ponctuel est attaché à un ressort à l'instant $t=0s$ ; le solide est ramené au point d'abscisse $x_{0}$ ; on lui communique une vitesse $\overrightarrow{V}_{0}$ et on l'abandonne à lui-même, il effectue donc un mouvement rectiligne sinusoïdal dont l'enregistrement est donné par la figure suivante.
 
 
1) a) En exploitation l'enregistrement déterminer :
 
$-\ $ la pulsation du mouvement $\omega.$
 
$-\ $ l'élongation initiale $x_{0}.$
 
$-\ $ l'amplitude $X_{m}.$
 
$-\ $ la phase initiale $\varphi.$
 
b) En déduire la loi horaire $x=f(t).$
 
2) a) Déterminer l'expression de la vitesse en fonction du temps.
 
b) En déduire la valeur algébrique de la vitesse initiale $\overrightarrow{V}_{0}.$
 
3) A l'instant $t_{1}>0$ ; le mobile repasse pour la première fois par la position d'abscisse $x_{0}$ dans le sens négatif.
 
a) Déterminer graphiquement $t_{1}.$
 
b) Retrouver $t_{1}$ par le calcul.
 
4 Déterminer la valeur algébrique de la vitesse du solide lors de son premier passage par la position d'abscisse $x=2\,cm.$

Exercice 8

Un point mobile $M$ est animé d'un mouvement circulaire accélération angulaire est $\ddot{\theta}=-\dfrac{\pi}{5}rad\cdot s^{-2}$ entre les instants $t_{0}=0s$ et $t_{1}=20s$. 
 
Le rayon de sa trajectoire est $R=25\,cm.$
 
A l'origine des dates, $M$ part de la position d'abscisse angulaire $\dfrac{\pi}{3}$ avec une vitesse angulaire initiale $\dot{\theta}_{0}=2\pi\;rad\cdot s^{-1}.$
 
1) Quelle est la nature de mouvement du mobile.
 
2) Donner les expressions de sa vitesse angulaire $\dot{\theta}$ et de son élongation angulaire $\theta$ en fonction du temps.
 
3) a) Montrer que ce mouvement comporte deux phases.
 
b) Déterminer le nombre de tours effectué par le mobile pendant la première phase du mouvement.
 
4) Calculer à la date $t_{1}$
 
a) La vitesse angulaire $\dot{\theta}_{1}$ ainsi que la vitesse linéaire du mobile.
 
b) l'accélération normale et l'accélération tangentielle du mobile. 
 
Déduire la valeur de son accélération linéaire.
 
5) A partir de la date $t_{1}$, le mouvement du mobile $M$ est circulaire uniforme à la vitesse angulaire $\dot{\theta}_{1}.$ 
 
Calculer :
 
a) La période de ce mouvement. 
 
Déduire sa fréquence.
 
b) Montrer que l'accélération linéaire d'un mouvement circulaire uniforme est égale à l'accélération normale.

Exercice 9

Une automobile se déplace sur une route horizontale à la vitesse constante de valeur $\|\overrightarrow{V}_{0}\|=16\,m\cdot s^{-1}.$
 
Lorsqu'elle est à une distance $d=200\,m$ du feu, le feu vert s'allume et reste pendant $11s.$
 
Dans tout l'exercice, on prendra comme origine des temps $(t=0s)$, l'instant où le feu vert s'allume et l'origine des espaces $(x_{0}=0\,m)$, la position de la voiture à cet instant. 
 
Le sens positif est le sens du mouvement.
 
 
1) A partir de l'instant de date $t=0s$, l'automobiliste accélère et impose à sa voiture une accélération constante. 
 
A l'instant $t_{1}$, sa vitesse prend la valeur $v_{1}=21\,m\cdot s^{-1}.$
 
Entre $t=0s$ et $t_{1}$, l'automobiliste parcourt $100\,m.$
 
a) Déterminer l'accélération $a_{1}.$
 
b) Déterminer la date $t_{1}.$
 
c) Écrire la loi horaire du mouvement de la voiture pour $t\in[0\;,\ t_{1}].$
 
2) A partir de l'instant $t_{1}$, l'automobiliste maintient sa vitesse constante.
 
a) Écrire la loi horaire du mouvement de la voiture pour $t\geq t_{1}.$
 
b) La voiture passe-t-elle devant le feu lorsqu'il est vert ? 
 
Justifier la réponse
 
3) Si l'instant $t_{1}$, l'automobiliste freine et impose à sa voiture un mouvement uniformément retardé d'accélération $a_{2}=-2\,m\cdot s^{-2}$
 
a) Calculer la distance parcourue par la voiture du début de freinage jusqu'à son arrêt
 
b) Déterminer la vitesse $v_{2}$ de la voiture en passant devant le feu et la date $t_{2}$ correspondante à ce passage.
 
c) Vérifier que la voiture est passée lorsque le feu n'est plus vert.
 

$\begin{array}{c}\blacktriangleright\,\boxed{\text{Correction des exercices}}\end{array}$

 

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