Solution des exercices : Amplificateur opérationnel : montages dérivateur et intégrateur 1er S
Classe:
Première
Exercice 1.
1. Représentation symbolique d'un amplificateur opérationnel idéal
2. Identification de ces montages
La loi d'additivité des tensions s'écrit :
− − Pour le premier montages (fig 1) :
Ue=Uc−Ud⇒Ue=qC−0⇒q=CUe⇒dqdt=ddt(CUe)⇒i=CdUedt(1)
US=−UR−Ud⇒US=−Ri−0⇒US=−Ri(2) ;(1) et (2)⇒US=−RCdUedt
La tension de sortie est proportionnelle à l'opposée de la dérivée par rapport au temps de la tension d'entrée.
Le montage est donc un montage dérivateur
− Pour le deuxième montage (fig2) :
Ue=UR−Ud⇒Ud⇒Ue=Ri⇒i=UeR(1)
US=−Uc−Ud⇒US=−qC−qC−0⇒US=−qC(2) or q=∫idt et i=UeR(1)⇒q=∫UeRdt dans ⇒US=−1RC∫Uedt
La tension de sortie est proportionnelle à l'opposé de l'intégral par rapport au temps de la tension d'entrée.
Le montage est donc un montage intégrateur
Exercice 2
1. Représentation, sur de papier millimétrique, des variations de la tension Ue en et de la tension Us à la sortie
Le montage est un montage dérivateur qui transforme la tension triangulaire de la forme Ue=at+b en tension carrée de la forme US=a
2. Représentation des variations de l'intensité du courant dans le résistor (Voir figure)
US=RSi⇒i=USRS
Les variations de l'intensité du courant i correspondent aux variations de la tension de sortie US à une constante prés
Exercice 3
Représentation de la tension de sortie US(voir figure)
Ce montage est un montage intégrateur qui transforme une tension d'entrée Ue carrée en tension de sortie US triangulaire
⇒US=1RC∫Uedt
Exercice 4
1. Schéma d'un montage intégrateur
2. Représentation graphique des variations de US(t)
Exercice 5
1.1 En appliquant la loi des nœuds en D, montons iR=iC
La loi des nœuds en D s'écrit :
iC=iR+i− or i−=0⇒iCR=iC
1.2. Exprimons iR en fonction de
iR=iC or iC=dqdt⇒iR=dqdt
Déduction de l'expression liant iR à uC et à C
iR=iC or q=Cuc⇒iR=d(Cuc)dt⇒iR=Cducdt
1.3. En appliquant la loi des tensions, établissons que uc=−uR et que uE=uc
La loi d'additivité des tensions :
uS+uR+uE+E−+u+=0 or uE+E−=0⇒uS=−uR
uE=uc+u− or u−=0⇒uE=uC
1.4 Expression de us en fonction de R, C et ducdt
uS=−uR=−RiR or iR=Cducdt⇒us=−RCducdt
2. Oscillogramme obtenu en voie B
us=−RCducdt or uE=uc⇒us=−RCduEdt
Le montage est un montage dérivateur qui transforme la tension triangulaire de la forme Ue=at+b en tension carrée de la forme Us=a
3 Les caractéristiques de la tension de sortie us
us=−RCduEdt or uE=uEmcos(2πNt)⇒us=2πNRCuEmsin(2πNt)
La tension de sortie us est une fonction sinusoidale du temps d'amplitude : usm=2πNRCuEm : de pulsation :
α=2πN et de fréquence N
Oscillogrammes obtenus en voie A et en voie B⋅A l'origine des dates , le spot est à gauche de l'écran
Exercice 6
Soit le montage de la figure 1
L′A⋅O est considéré comme idéal
1. Afin d'établir une relation entre dusdt et uE
1.1. Appliquons la loi des nœuds en D et montrons que ic=iR
La loi des nœuds en D s'écrit :
ic=iR+i− or i−=0⇒iR=ic
1.2. Expression de iR en fonction de dqdt
iR=dqdt
Déduction d'une relation entre iR, ducdt et C
iR=dqdt or q=Cuc⇒iR=d(Cuc)dt⇒iR=Cducdt
1.3. En appliquant la loi des tensions, établissons que
us=−uc et que uR=uE
uS+uC+uE+E−+u+=0 or uE+E−=u+=0⇒uS=−uC
uE=uR+u− or u−=0⇒uR=uE
1.4. A partir de la relation établie 1⋅2⋅ et des relations précédentes, en appliquant la loi d’Ohm au conducteur
ohmique, exprimer dusdt en fonction de R, C et uE
us=−uc⇒dusdt=ducdt or iR=Cducdt et uR=RiR=uE⇒iR=uER⇒Cducdt=uER⇒ducdt=uERC⇒dusdt=−uERC
2. L'oscillographe électronique mesure en voie A la tension d'entrée uE et en voie B, la tension de sortie uS
ci-dessous
2.1. Montrons que sur l'intervalle de temps t∈[0;T2], us peut se mettre sous la forme : us=−1RCuEmt+b où uEm est la valeur maximale de uE et b une constante
t∈[0,T2],uE=uEm⇒dusdt=−uEmRC⇒uS=−1RCuEmt+b
2.2. Montrons que sur l'intervalle de temps : t∈[0,T2], us peut se mettre sous la forme : us=1RCuEmt+c où c est une constante
t∈(T2)=1RCuEmT2+c=−1RCuEmT2+b⋅ Pour b=0⇒C=−2RCuEmT2⇒us(t)=−1RCuEm(t+T)
2.4. Déduction de l'étude précédente, l'oscillogramme obtenu en voie B; (Voir figure)
3.1. Montrons que la valeur instantanée de la tension de sortie uS peut se mettre sous la forme :
us=USmsin(2πNt)+d
Us=−1RC∫uEdt or uE=−uEmcos(2πNt)⇒US=1RC∫uEmcos(2πNt)dt⇒US=−12πNRCuEmcos(2πNt)+d⇒Us1+1USmcos(2πNt)+d⇒USm=12πNRCUEm
USm est la valeur maximale de la tension de sortie, d est une constante
Calcul de USm.
En supposant qu'à t=0, us=0,
USm=12π×50×10⋅1031.0⋅10−6×6.0⇒USm=1.9V
Calcul de d
Ux(0)=−12πNCRuEmcos(2πN×0)+d=0⇒−12πNRCUEm+d=0⇒d=12πNRCUEm⇒d=1.9V
2.2. Oscillogrammes obtenus en voie A et en voie B
Exercice 7
1. Rappel de l'expression qui lie duEdt, R, C, et uS
uS+uR+uE+E−+u+=0⇒uS+uR+0+0=0⇒uS=−uR⇒uS=−RiR(1)
uE+uC+U−=0⇒uE=+uC+0=0⇒uC=−uE or iR=dqdt=dCucdt=Cducdt=Cducdt⇒iR=−CduEdt(2)
(1) et (2)⇒us=−RCduEdt
2. Oscillogramme obtenu (Voir figure)
Un montage à amplificateur opérationnel est en mode linéaire s'il est rebouclé sur l'entrée inverseuse de l'amplificateur opérationnel (montage en contre réaction)
Ajouter un commentaire