Solution des exercices : Amplificateur opérationnel : montages dérivateur et intégrateur 1er S

Classe: 
Première

Exercice 1. 

1. Représentation symbolique d'un amplificateur opérationnel idéal
 
 
 
2. Identification de ces montages
 
 
 
 
 
La loi d'additivité des tensions s'écrit :
 
  Pour le premier montages (fig 1) :
 
Ue=UcUdUe=qC0q=CUedqdt=ddt(CUe)i=CdUedt(1)
 
US=URUdUS=Ri0US=Ri(2) ;(1) et (2)US=RCdUedt
 
La tension de sortie est proportionnelle à l'opposée de la dérivée par rapport au temps de la tension d'entrée.
 
Le montage est donc un montage dérivateur
 
 Pour le deuxième montage (fig2) :
 
Ue=URUdUdUe=Rii=UeR(1)
 
US=UcUdUS=qCqC0US=qC(2) or q=idt et i=UeR(1)q=UeRdt dans US=1RCUedt
 
La tension de sortie est proportionnelle à l'opposé de l'intégral par rapport au temps de la tension d'entrée.
 
Le montage est donc un montage intégrateur

Exercice 2

1. Représentation, sur de papier millimétrique, des variations de la tension Ue en et de la tension Us à la sortie
 
Le montage est un montage dérivateur qui transforme la tension triangulaire de la forme Ue=at+b en tension carrée de la forme US=a
 
 
2. Représentation des variations de l'intensité du courant dans le résistor (Voir figure)
 
US=RSii=USRS
 
Les variations de l'intensité du courant i correspondent aux variations de la tension de sortie US à une constante prés

Exercice 3

Représentation de la tension de sortie US(voir figure)
 
Ce montage est un montage intégrateur qui transforme une tension d'entrée Ue carrée en tension de sortie US triangulaire
 
US=1RCUedt
 
 
 
 
 

Exercice 4

1. Schéma d'un montage intégrateur
 
 
 
2. Représentation graphique des variations de US(t)
 

 
Exercice 5
 
 
1.1 En appliquant la loi des nœuds en D, montons iR=iC
 
La loi des nœuds en D s'écrit : 
 
iC=iR+i or i=0iCR=iC
 
1.2. Exprimons iR en fonction de 
 
iR=iC or iC=dqdtiR=dqdt
 
Déduction de l'expression liant iR à uC et à C
 
iR=iC or q=CuciR=d(Cuc)dtiR=Cducdt
 
1.3. En appliquant la loi des tensions, établissons que uc=uR et que uE=uc
 
La loi d'additivité des tensions :
 
uS+uR+uE+E+u+=0 or uE+E=0uS=uR
 
uE=uc+u or u=0uE=uC
 
1.4 Expression de us en fonction de R, C et ducdt
 
uS=uR=RiR or iR=Cducdtus=RCducdt
 
2. Oscillogramme obtenu en voie B
 
us=RCducdt or uE=ucus=RCduEdt
 
Le montage est un montage dérivateur qui transforme la tension triangulaire de la forme Ue=at+b en tension carrée de la forme Us=a
 
 
3 Les caractéristiques de la tension de sortie us
 
us=RCduEdt or uE=uEmcos(2πNt)us=2πNRCuEmsin(2πNt)
 
La tension de sortie us est une fonction sinusoidale du temps d'amplitude : usm=2πNRCuEm : de pulsation :
 
α=2πN et de fréquence N
 
Oscillogrammes obtenus en voie A et en voie BA l'origine des dates , le spot est à gauche de l'écran

Exercice 6

Soit le montage de la figure 1
 
LAO est considéré comme idéal
 
 
1. Afin d'établir une relation entre dusdt et uE
 
1.1. Appliquons la loi des nœuds en D et montrons que ic=iR
 
La loi des nœuds en D s'écrit : 
 
ic=iR+i or i=0iR=ic
 
1.2. Expression de iR en fonction de dqdt
 
 
iR=dqdt
 
Déduction d'une relation entre iR, ducdt et C
 
iR=dqdt or q=CuciR=d(Cuc)dtiR=Cducdt
 
1.3. En appliquant la loi des tensions, établissons que
 
 
us=uc et que uR=uE
 
 
uS+uC+uE+E+u+=0 or uE+E=u+=0uS=uC
 
 
uE=uR+u or u=0uR=uE
 
1.4. A partir de la relation établie 12 et des relations précédentes, en appliquant la loi d’Ohm au conducteur
ohmique, exprimer dusdt en fonction de R, C et uE
 
us=ucdusdt=ducdt or iR=Cducdt et uR=RiR=uEiR=uERCducdt=uERducdt=uERCdusdt=uERC
 
2. L'oscillographe électronique mesure en voie A la tension d'entrée uE et en voie B, la tension de sortie uS
ci-dessous
 
 
 
2.1. Montrons que sur l'intervalle de temps t[0;T2], us peut se mettre sous la forme : us=1RCuEmt+buEm est la valeur maximale de uE et b une constante
 
t[0,T2],uE=uEmdusdt=uEmRCuS=1RCuEmt+b
 
2.2. Montrons que sur l'intervalle de temps : t[0,T2], us peut se mettre sous la forme : us=1RCuEmt+cc est une constante
 
t(T2)=1RCuEmT2+c=1RCuEmT2+b Pour b=0C=2RCuEmT2us(t)=1RCuEm(t+T)
 
2.4. Déduction de l'étude précédente, l'oscillogramme obtenu en voie B; (Voir figure)
 
3.1. Montrons que la valeur instantanée de la tension de sortie uS peut se mettre sous la forme :
 
 
us=USmsin(2πNt)+d
 
Us=1RCuEdt or uE=uEmcos(2πNt)US=1RCuEmcos(2πNt)dtUS=12πNRCuEmcos(2πNt)+dUs1+1USmcos(2πNt)+dUSm=12πNRCUEm
 
USm est la valeur maximale de la tension de sortie, d est une constante
 
Calcul de USm.
 
En supposant qu'à t=0, us=0,
 
USm=12π×50×101031.0106×6.0USm=1.9V
 
Calcul de d
 
Ux(0)=12πNCRuEmcos(2πN×0)+d=012πNRCUEm+d=0d=12πNRCUEmd=1.9V
 
2.2. Oscillogrammes obtenus en voie A et en voie B

Exercice 7

 
 
 
 
1. Rappel de l'expression qui lie duEdt, R, C, et uS
 
uS+uR+uE+E+u+=0uS+uR+0+0=0uS=uRuS=RiR(1)
 
uE+uC+U=0uE=+uC+0=0uC=uE or iR=dqdt=dCucdt=Cducdt=CducdtiR=CduEdt(2)
 
(1) et (2)us=RCduEdt
 
2. Oscillogramme obtenu (Voir figure)
 
Un montage à amplificateur opérationnel est en mode linéaire s'il est rebouclé sur l'entrée inverseuse de l'amplificateur opérationnel (montage en contre réaction)

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