Solution des exercices : la Calorimétrie - 1er s
Classe:
Première
Exercice 1
1. Calcul de quantité de chaleur nécessaire pour élever de $20^{\circ}C$ à $80^{\circ}C$ une masse égale a $1$ tonne d'eau.
$\begin{array}{rcl} Q&=&mC_{e}\left(t_{f}-t_{i}\right)\\&=&10^{3}\times4180(80-20)\\\Rightarrow\;Q&=&2.5\cdot10^{8}J \end{array}$
2. Altitude $Z$ dont on pourrait soulever cette tonne d'eau ?
$\begin{array}{rcl} E_{p}&=&Q\\\Rightarrow\;mgh&=&Q \\\Rightarrow\;h&=&\dfrac{Q}{mg}\\&=&\dfrac{2.5\cdot10^{8}}{10^{3}\times10}\\\Rightarrow\;h&=&2.5\cdot10^{4}m \end{array}$
Exercice 2
1. Calcul de la température final $t_{f}$
$Q_{1}$ la quantité de chaleur cédée par l'eau chaude : $Q_{1}=m_{1}c_{e}\left(t_{f}-t_{1}\right).$
$Q_{2}$ la quantité de chaleur captée par l'eau froide : $Q_{2}=m_{2}c_{e}\left(t_{f}-t_{2}\right)$
Le système ${\text{calorimètre}+\text{contenu}}$ est isolé:
$\begin{array}{rcl} Q_{1}+Q_{2}&=&0\\\Rightarrow\;m_{1}c_{e}\left(t_{f}-t_{1}\right)+m_{2}c_{e}\left(t_{f}-t_{2}\right)&=&0\\\Rightarrow\;m_{1}\left(t_{f}-t_{1}\right)+m_{2}\left(t_{f}-t_{2}\right)&=&0\\\Rightarrow\left(m_{1}+m_{2}\right)t_{f}&=&m_{1}t_{1}+m_{2}t_{2}\\\Rightarrow\;t_{f}&=&\dfrac{m_{1}t_{1}+m_{2}t_{2}}{m_{1}+m_{2}}\\&=&\dfrac{95\times20+100\times50}{95+100}\\\Rightarrow\;t_{f}&=&35.4^{\circ}C \end{array}$
2. Calcul de la valeur en eau $\mu$
$\begin{array}{rcl} Q_{1}+Q_{2}&=&0\\\Rightarrow\;\left(m_{1}+\mu\right)c_{e}\left(t_{f}^{'}-t_{1}\right)+m_{2}c_{e}\left(_{f}^{'}-t_{2}\right)&=&0\\\Rightarrow\left(m_{1}+\mu\right)\left(t_{f}^{'}-t_{1}\right)&=&-m_{2}\left(t_{f}^{'}-t_{2}\right)\\\Rightarrow\;m_{1}+\mu&=&-\dfrac{m_{2}\left(t_{f}^{'}-t_{2}\right)}{t_{f}^{'}-t_{1}}\\\Rightarrow\mu&=&-\dfrac{100(31.3-50)}{31.3-20}-95\\\Rightarrow\mu&=&70.5g \end{array}$
Exercice 3
1. Calcul de la valeur en eau $\mu$ du calorimètre
$Q_{1}$ la quantité de chaleur par le calorimètre et l'eau à la température $t_{a}$ : $Q_{1}=\mu c_{e}\left(t_{1}-t_{a}\right)$
$Q_{2}$ la quantité de chaleur captée par l'eau froide : $Q_{2}=m_{e}C_{e}\left(t_{1}-t_{e}\right)$
Le système ${\text{Calorimètre}+\text{contenu}}$ est isolé :
$\begin{array}{rcl} Q_{1}+Q_{2}&=&0\\\Rightarrow\mu C_{e}\left(t_{1}-t_{a}\right)+m_{e}c_{e}\left(t_{1}-t_{e}\right)&=&0\\\Rightarrow\mu c_{e}\left(t_{1}-t_{a}\right)&=&-m_{e}c_{e}\left(t_{1}-t_{e}\right)\\\Rightarrow\mu&=&-\dfrac{m_{e}\left(t_{1}-t_{e}\right)}{t_{1}-t_{a}}\\\Rightarrow\mu&=&-\dfrac{90\cdot10^{-3}\times(24.5-25)}{24.5-15.5}\\\Rightarrow\mu&=&5.0\cdot10^{-3}kg\end{array}$
2. Calcul de la chaleur massique du platine.
$Q_{1}$ la quantité de chaleur gagnée par le calorimètre et l'eau à la température $t_{1}$ : $Q_{1}=c_{e}\left(\mu+m_{e}\right)\left(t_{2}-t_{1}\right)$
$Q_{2}$ la quantité de chaleur cédée par le platine : $Q_{2}=m_{p}C_{p}\left(t_{2}-t_{p}\right)$
Le système ${\text{Calorimètre}+\text{contenu}}$ est isolé :
$\begin{array}{rcl} Q_{1}+Q_{2}&=&0\\\Rightarrow\;c_{e}\left(\mu+m_{e}\right)\left(t_{2}-t_{1}\right)+m_{p}c_{p}\left(t_{2}-t_{p}\right)&=&0\\\Rightarrow\;m_{p}c_{p}\left(t_{2}-t_{p}\right)&=&0\\\Rightarrow\;m_{p}c_{p}\left(t_{2}-t_{p}\right)&=&-c_{e}\left(\mu+m_{e}\right)\left(t_{2}-t_{1}\right)\\\Rightarrow\,c_{p}&=&\dfrac{c_{e}\left(\mu+m_{e}\right)\left(t_{2}-t_{1}\right)}{m_{p}\left(t_{2}-t_{p}\right)}\\\Rightarrow\;c_{p}&=&\dfrac{4185\left(0.021+90\cdot10^{-3}\right)\left(27.7-24.5\right)}{100\cdot10^{-3}(27.7-104)}\\\Rightarrow\;c_{p}&=&195Jkg^{-1} \end{array}$
3. Calcul de la température finale $t_{3}$
$Q_{1}$ La quantité de chaleur échangée par e calorimètre, le plaine et l'eau à la température $t_{2}$ :
$Q_{1}=\left(m_{p}C_{p}+c_{e}\left(\mu+m_{e}\right)\right)\left(t_{3}-t_{2}\right)$
$Q_{2}$ la quantité de chaleur cédée par l'eau à la température $t_{a}$ : $Q_{2}=mC_{e}\left(t_{3}-t_{a}\right)$
Le système ${\text{calorimètre}+\text{contenu}}$ est isolé :
$\begin{array}{rcl} Q_{1}+Q_{2}&=&0\\\Rightarrow\left(m_{p}C_{p}+c_{e}\left(\mu+m_{e}\right)\right)\left(t_{3}-t_{2}\right)+mc_{e}\left(t_{3}-t_{a}\right)&=&0\\\Rightarrow\left(m_{p}c_{p}+c_{e}\left(\mu+m_{e}+m\right)\right)t_{3}&=&\left(m_{p}c_{p}+c_{e}\left(\mu+m_{e}\right)\right)t_{2}+mc_{e}t_{a}\\\Rightarrow\;t_{3}&=&\dfrac{\left(m_{p}c_{p}+c_{e}\left(\mu+m_{e}\right)\right)t_{2}+mc_{e}t_{a}}{\left(m_{p}c_{p}+c_{e}\left(\mu+m_{e}+m\right)\right)}\\\Rightarrow\;t_{3}&=&\dfrac{\left(100\cdot10^{-3}\times195+4185\left(5.0\cdot10^{-3}\right)\right)\times27.7+23\cdot10^{-3}\times4185\times15.5} {\left(100\cdot10^{-3}\times195+4185\left(5.0\cdot10^{-3}+90\cdot10^{-3}+23\cdot10^{-3}\right)\right)}\\\Rightarrow\;t_{3}&=&25.4^{\circ}C \end{array}$
Exercice 4
1. Calcul de la température finale $t_{f}.$
Soit $Q_{0}$ la quantité de chaleur cédée par le cuivre et par l'eau
$Q_{0}=\left(m_{c}C_{cu}+m_{e}C_{e}\right)\left(t_{f}-t_{e}\right)$
Soit $Q_{1}$ la quantité de chaleur gagnée par le cuivre
$Q_{1}=m_{1}C_{cu}\left(t_{f}-t_{1}\right)$
Le calorimètre et son contenu constituent un système isolé.
Le bilan thermique s'écrit :
$\begin{array}{rcl} Q_{0}+Q_{1}&=&0\\\Rightarrow\left(m_{c}C_{cu}+m_{e}C_{e}\right)\left(t_{f}-t_{e}\right)+m_{1}C_{cu}\left(t_{f}-t_{1}\right)\\&=&0\\\Rightarrow\left(m_{c}C_{cu}+m_{e}C_{e}+m_{1}C_{cu}\right)t_{f}-\left(m_{c}C_{cu}+m_{e}C_{cu}\right)t_{e}-m_{1}C_{cu}t_{1}&=&0\\\Rightarrow\left(m_{c}C_{cu}+m_{e}C_{e}+m_{1}C_{cu}\right)t_{f}&=&\left(m_{c}C_{cu}+m_{e}C_{e}\right)t_{e}+m_{1}C_{cu}t_{1}\\\Rightarrow\;t_{f}&=&\dfrac{\left(m_{c}C_{cu}+m_{e}C_{e}\right)t_{e}+m_{1}C_{cu}t_{1}}{m_{e}C_{e}+m_{c}C_{cu}+m_{1}C_{cu}}\\\Rightarrow\;t_{f}&=&\dfrac{(100\times395+200\times4158 \times4+300\times395\times-20}{200\times4185+100\times395+300\times395}\\\Rightarrow\;t_{f}&=&1.14^{\circ}C \end{array}$
2. Montrons qu'une partie de l'eau congèle.
Soit $Q_{0}$ la quantité de chaleur cédée par le cuivre et par l'eau
$\begin{array}{rcl} Q_{0}&=&\left(m_{c}C_{cu}+m_{e}C_{e}\right)\left(t_{f}-t_{e}\right)\\&=&\left(100\cdot10^{-3}\times395+200\cdot10^{-3}\times4185\right)(0-4)\\\Rightarrow\;Q_{0}&=&-3506J \end{array}$
Soit $Q_{1}$ la quantité de chaleur gagnée par la cuivre
$\begin{array}{rcl} Q_{1}&=&m_{1}C_{cu}\left(0-t_{2}\right)\\&=&300\cdot10^{-3}\times395(0-(-50))\\\Rightarrow\;Q_{1}&=&5925J \end{array}$
$\left|Q_{1}\right|>\left|Q_{0}\right|$
La quantité de chaleur gagnée par le cuivre est supérieure à celle cédée par l'eau et le calorimètre pour abaisser sa température jusqu'à $0^{\circ}C.$
Une partie de l'eau va donc geler pour céder de l'énergie thermique au cuivre.
Soit $Q$ l'énergie cédée par cette eau pour geler
Le système ${\text{eau}+\text{calorimètre en cuivre}+\text{cuivre}}$ est isolé :
$\begin{array}{rcl} Q+Q_{0}+Q_{1}&=&0\\\Rightarrow\;Q&=&-Q_{0}-Q_{1}\\\Rightarrow\;Q&=&(-3506)-5925\\\Rightarrow\;Q&=&-2419J \end{array}$
Soit $m$ la masse d'eau gelée.
$\begin{array}{rcl} Q&=&mL_{s}\\\Rightarrow\;m&=&\dfrac{Q}{L_{s}}\\&=&\dfrac{-2419}{-3.34\cdot10^{5}}\\\Rightarrow\;m&=&7.24\cdot10^{-3}Kg\\\Rightarrow\;m&=&7.24g \end{array}$
Exercice 5
1. Calcul de la capacité calorifique $C_{cal}$ du calorimètre.
1. Température d'équilibre
Soit $Q_{0}$ la quantité de chaleur gagnée le calorimètre
$Q_{0}=C_{cal}\left(t_{f}-t_{c}\right)$
Soit $Q_{1}$ la quantité de chaleur cédée par le bloc de cuivre
$Q_{1}=m_{1}C_{cu}\left(t_{f}-t_{1}\right)$
Le calorimètre et son contenu constituent un système isolé.
Le bilan thermique s'écrit :
$\begin{array}{rcl}Q_{0}+Q_{1}&=&0\\\Rightarrow\;C_{cal}\left(t_{f}-t_{c}\right)+m_{1}C_{cu}\left(t_{f}-t_{1}\right)\\&=&0\\\Rightarrow\;C_{cal}\left(t_{f}-t_{c}\right)&=&-m_{1}C_{cu}\left(t_{f}-t_{1}\right)\\\Rightarrow\;C_{cal}&=&-\dfrac{m_{1}C_{cu}\left(t_{f}-t_{1}\right)}{\left(t_{f}-t_{c}\right)}\\\Rightarrow\;C_{cal}&=&-\dfrac{200\cdot10^{-3}\times395(20-100)}{20-15}\\\Rightarrow\;C_{cal}&=&1264J\cdot K^{-1} \end{array}$
2. Calcul de la chaleur massique de l'alliage
le bilan thermique s'écrit :
$\begin{array}{rcl} Q_{0}+Q_{1}&=&0\\\Rightarrow\;C_{cal}\left(t_{f}-t_{c}\right)+m_{2}C_{Al}\left(t_{f}-t_{c}\right)+m_{2}C_{Al}\left(t_{f}-t_{2}\right)&=&0\\\Rightarrow\;m_{2}C_{Al}\left(t_{f}-t_{2}\right)&=&-C_{cal}\left(t_{f}-t_{c}\right)\\\Rightarrow\;C_{Al}&=&-\dfrac{C_{cal}\left(t_{f}-t_{c}\right)}{m_{2}\left(t_{f}-t_{2}\right)}\\\Rightarrow\;C_{Al}&=&-\dfrac{1264\times(20-15)}{100\cdot10^{-3}\times(20-100)}\\\Rightarrow\;C_{Al}&=&790J\cdot K^{-1} \end{array}$
Exercice 6
1. Déduction de la capacité calorifique $C$ du calorimètre $+$ récipient.
$\begin{array}{rcl} Q&=&mP_{c}\\&=&C\left(t_{1}-t_{0}\right)\\\Rightarrow\;C&=&\dfrac{mP_{c}}{t_{1}-t_{0}}\\&=&\dfrac{1\cdot10^{-3}\times40500\cdot10^{3}}{21.4-18.3}\\\Rightarrow\;C13.1\cdot10^{3}J \end{array}$
2. Détermination de l'expression littérale de $P_{c^{'}}$ puis faire l'application numérique
$\begin{array}{rcl} Q&=&mP'_{c}\\&=&C\left(t_{2}-t_{0}\right)\\\Rightarrow\;P'_{c}&=&\dfrac{C\left(t_{2}-t_{0}\right)}{m}\\&=&\dfrac{13.1\cdot10^{3}\times(20.8-18.3)}{1\cdot10^{-3}}\\\Rightarrow\;P'_{c}&=&32.75\cdot^{6}J\cdot kg^{-1} \end{array}$
Exercice 7
1. Température d'équilibre
Soit $Q_{1}$ la quantité de chaleur gagnée par l'eau froide pour passer de $\theta_{1}$ à $\theta_{e}$
$Q_{1}=m_{1}C_{e}\left(\theta_{e}-\theta_{1}\right)$
Soit $Q_{2}$ la quantité de chaleur cédée par l'eau chaude pour passer de $\theta_{2}$ à $\theta_{e}$
$Q_{2}=m_{2}C_{e}\left(\theta_{e}-\theta_{2}\right)$
Le calorimètre et son contenu constituent un système isolé.
Le bilan thermique s'écrit :
$\begin{array}{rcl} Q_{1}+Q_{2}&=&0\\\Rightarrow\;m_{1}C_{Al}\left(\theta_{e}-\theta_{1}\right)+\left(m_{2}C_{e}+C\right)\left(\theta_{e}-\theta_{2}\right)&=&0\\\Rightarrow\left(m_{1}C_{Al}+m_{2}C_{e}+C\right)\theta_{e}&=&m_{1}C_{Al}\theta_{1}+\left(m_{2}C_{e}+C\right)\theta_{2}\\\Rightarrow\theta_{e}&=&\dfrac{m_{1}C_{Al}\theta_{1}+\left(m_{2}C_{e}+C\right)\theta_{2}}{m_{1}C_{Al}+m_{2}C_{e}+C}\\&=&\dfrac{\left(30.2\cdot10^{-3}\times920\times100\right)+\left(100\cdot10^{-3}\times 4185+32.3\right)\times 18}{30.2\cdot10^{-3}\times 920+100\cdot10^{-3}\times 4185+32.3}\\\Rightarrow\theta_{e}&=&22.8^{\circ}C \end{array}$
2. Déduction de la capacité thermique du colorimètre et de ces accessoires.
Le bilan thermique s'écrit :
$\begin{array}{rcl} Q_{1}+Q_{2}&=&0\\\Rightarrow\left(m_{1}C_{e}+C\right)\left(\theta_{e}-\theta_{1}\right)+m_{2}C_{e}\left(\theta_{e}-\theta_{2} \right)&=&0\\\Rightarrow\left(m_{1}C_{e}+C\right)\left(\theta_{e}-\theta_{1}\right)&=&-m_{2}C_{e}\left(\theta_{e}-\theta_{2}\right)\\\Rightarrow\;m_{1}C_{e}+C&=&-\dfrac{m_{2}C_{e}\left(\theta_{e}-\theta_{2}\right)}{\theta_{e}-\theta_{1}}\\\Rightarrow\;C&=&-\dfrac{m_{2}C_{e}\left(\theta_{e}-\theta_{2}\right)}{\theta_{e}-\theta_{1}}-m_{1}C_{e}\\\Rightarrow\;C&=&-\dfrac{\left(80\cdot10^{-3}\times4185\right)(35.9-60)}{(35.9-18)}-100\cdot10^{-3}\times4185\\\Rightarrow\;C&=&32.3J^{\circ}\cdot C^{-1} \end{array}$
3. Calcul de la chaleur massique du cuivre
$Q_{1}$ La quantité de chaleur cédée par le morceau de cuivre :
$Q_{1}+m_{1}C_{cu}\left(\theta_{e}-\theta_{1}\right)$
$Q_{2}$ La quantité de chaleur captée par l'eau froide et le calorimètre : $Q_{2}=\left(m_{2}+C_{e}+C\right)\left(\theta_{e}-\theta_{2}\right)$
Le système ${\text{eau}+\text{calorimètre}+\text{cuivre}}$ est isolé
4. Détermination de la température d'équilibre.
$Q_{1}$ la quantité de chaleur cédée par le morceau d'aluminium :
$Q_{1}=m_{1}C_{Al}\left(\theta_{e}-\theta_{1}\right)$
$Q_{2}$ la quantité de chaleur captée par l'eau et le calorimètre :
$Q_{2}=\left(m_{2}C_{e}+C\right)\left(\theta_{e}-\theta_{2}\right)$
Le système ${\text{eau}+\text{calorimètre}+\text{aluminium}}$ est isolé :
$\begin{array}{rcl} Q_{1}+Q_{2}&=&0\\\Rightarrow\;m_{1}C_{Al}\left(\theta_{e}-\theta_{1}\right)+\left(m_{2}C_{e}+C\right)\left(\theta_{e}-\theta_{2}\right)&=&0\\\Rightarrow\left(m_{1}C_{Al}+m_{2}C_{e}+C\right)\theta_{e}&=&m_{1}C_{Al}\theta_{1}+\left(m_{2}C_{e}+C\right)\theta_{2}\\\Rightarrow\theta_{e}&=&\dfrac{m_{1}C_{Al}\theta_{1}+\left(m_{2}C_{e}+C\right)\theta_{2}}{m_{1}C_{Al}+m_{2}C_{e}+C}\\&=&\dfrac{\left(30.2\cdot10^{-3}\times920\times100\right)\left(100\cdot10^{-3}\times4185+32.3\right)\times18}{30.2\cdot10^{-3}\times920+100\cdot10^{-3}\times4185+32.3}\\\Rightarrow\theta_{e}&=&22.8^{\circ}C \end{array}$
5. Calcul de la température d'équilibre
$Q_{1}$ la quantité de chaleur captée par la glace à la température $\theta_{1}=0^{\circ}C$ :
$Q_{1}=m_{1}C_{e}\left(\theta_{e}-0\right)+m_{1}L_{f}$
$Q_{2}$ la quantité de chaleur cédée par l'eau et le calorimètre :
$Q_{2}=\left(m_{2}C_{e}+C\right)\left(\theta_{e}-\theta_{2}\right)$
Le système ${\text{eau} + \text{calorimètre} + \text{glace}}$ est isolé :
$\begin{array}{rcl} Q_{1}+Q_{2}&=&0\\\Rightarrow\;m_{1}C_{e}\left(\theta_{e}-0\right)+m_{1}L_{f}+\left(m_{2}C_{e}+C\right)\left(\theta_{e}-\theta_{2}\right)&=&0\\\Rightarrow\left(m_{1}C_{e}+m_{2}C_{e}+C\right)\theta_{e}&=&\left(m_{2}C_{e}+C\right)\theta_{2}-m_{1}L_{f}\\\Rightarrow\theta_{e}&=&\dfrac{\left(m_{2}C_{e}+C\right)\theta_{2}-m_{1}L_{f}}{m_{1}C_{e}+m_{2}C_{e}+C}\\&=&\dfrac{\left(100\cdot10^{-3}\times4185+32.3\right)\times18-25\cdot10^{-3}\times333.7\cdot10^{3}}{25\cdot10^{-3}\times4185+100\cdot10^{-3}\times4185+32.3}\\\Rightarrow\theta_{e}&=&-0.41^{\circ}C \end{array}$
Ce résultat est aberrant ; la température d'équilibre est donc : $\theta_{1}=0^{\circ}C$
6. Température d'équilibre
$Q_{1}$ laquantité de chaleur captée par la glace à la température $\theta_{1}=-18^{\circ}C$ :
$Q_{1}=m_{1}C_{g}\left(0-\theta_{1}\right)+m_{1}L_{f}+m_{1}C_{e}\left(\theta_{e}-0\right)$
$Q_{2}$ La quantité de chaleur cédée par l'eau et le calorimètre :
$Q_{2}=\left(m_{2}C_{e}+C\right)\left(\theta_{e}-\theta_{2}\right)$
Le système ${\text{eau}+\text{calorimètre}+\text{glace}}$ est isolé :
$\begin{array}{rcl} Q_{1}+Q_{2}&=&0\\\Rightarrow\;m_{1}C_{g}\left(0-\theta_{1}\right)+m_{1}L_{f}+m_{1}L_{f}+m_{1}C_{e}\left(\theta_{e}-0\right)+\left(m_{2}C_{e}+C\right)\left(\theta_{e}-\theta_{2}\right)&=&0\\\Rightarrow\left(m_{1}C_{e}+m_{2}C_{e}+C\right)\theta_{e}&=&m_{1}C_{g}\theta_{1}+\left(m_{2}C_{e}+C\right)\theta_{2} m_{1}L_{f}\\\Rightarrow\theta_{e}&=&\dfrac{m_{1}C_{g}\theta_{1}+\left(m_{2}C_{e}+C\right)\theta_{2}-m_{1}L_{f}}{m_{1}C_{e}+m_{2}C_{e}+C}\\\Rightarrow\theta_{e}&=&\dfrac{100\cdot10^{-3}\times2.10\cdot10^{3}\times-18+\left(100\cdot10^{-3}\times4185+32.3\right)\times18-25\cdot10^{-3}\times333.7\cdot10^{3}}{25\cdot10^{-3}\times4185+100\cdot10^{-3}\times4185+32.3}\\\Rightarrow\theta_{e}&=&-7.2^{\circ}C \end{array}$
Exercice 8
1. Expression littérale de la quantité de chaleur cédée par la brique au système ${\text{eau}+\text{calorimètre}}$ en fonction de $m_{1}$, $c_{1}$ et des températures $\theta_{1}$ et $\theta_{F}$
$Q_{1}=m_{1}c_{1}\left(\theta_{F}-\theta_{1}\right)$
2. Expression littérale de la quantité de chaleur reçue par le système ${\text{eau}+\text{calorimètre}}$ en fonction de $m_{2}$, $c_{2}$, $\mu$ et des températures $\theta_{2}$ et $\theta_{F}$
$Q_{2}=\left(m_{2}c_{2}+\mu\right)\left(\theta_{F}-\theta_{2}\right)$
3. Détermination de la capacité thermique massique $c_{1}$ de la brique.
Le système ${\text{eau}+\text{calorimètre}+\text{brique}}$ est isolé :
$\begin{array}{rcl} Q_{1}+Q_{2}&=&0\\\Rightarrow\;m_{1}c_{1}\left(\theta_{F}-\theta_{1}\right)+\left(m_{2}c_{2}+\mu\right)\left(\theta_{F}-\theta_{2}\right)&=&0\\\Rightarrow\;m_{1}c_{1}\left(\theta_{F}-\theta_{1}\right)&=&-\left(m_{2}c_{2}+\mu\right)\left(\theta_{F}-\theta_{2}\right)\\\Rightarrow\;c_{1}&=&-\dfrac{\left(m_{2}c_{2}+\mu\right)\left(\theta_{F}-\theta_{2}\right)}{m_{1}\left(\theta_{F}-\theta_{1}\right)}\\\Rightarrow\;c_{1}&=&\dfrac{\left(400\cdot10^{-3}\times4.18+209\right)(19.9-16.0)}{100\cdot10^{-3}(92.0-19.9)}\\\Rightarrow\;c_{1}&=&105.2J^{\circ}C^{-1} \end{array}$
Exercice 9
1. Bain à $37^{\circ}C$
Détermination des $V_{1}$ et $V_{2}$
$Q_{1}$ la quantité de chaleur cédée par l'eau chaude : $Q_{1}=m_{1}c_{e}\left(\theta-\theta_{1}\right)$.
$Q_{2}$ la quantité de chaleur captée par l'eau froide : $Q_{2}=m_{2}c_{e}\left(\theta-\theta_{2}\right)$
Le système ${\text{eau}}$ est isolée :
$\begin{array}{rcl} Q_{1}+Q_{2}&=&0\\\Rightarrow\;m_{1}c_{e}\left(\theta-\theta_{1}\right)+m_{2}c_{e}\left(\theta-\theta_{2}\right)&=&0\\\Rightarrow\;m_{1}\left(\theta-\theta_{1}\right)+m_{2}\left(\theta-\theta_{2}\right)&=&0\\\Rightarrow\;m_{1}(37-70)+m_{2}(37-15)&=&0\\\Rightarrow\;-33m_{1}+22m_{2}&=&0 \end{array}$
Masse totale est :
$\begin{array}{rcl} m&=&\rho_{\text{eau}}V\\&=&1\times250\\\Rightarrow\;m&=&250\;kg\\\Rightarrow\;m_{1}+m_{2}\\&=&250\;kg \end{array}$
D'où le système d'équation :
$\left\lbrace\begin{array}{lcl} -33\;m_{1}+22\;m_{2}&=&0\quad[1]\\ m_{1}+m_{2}&=&250\quad[2] \end{array}\right.$
$\begin{array}{lcr} [1]+33\cdot[2]\Rightarrow\;55\cdot m_{2}&=&8250\\\Rightarrow\;m_{2}&=&150\;kg \end{array}$
$\begin{array}{rcl} m_{1}+m_{2}&=&250\\\Rightarrow\;m_{1}&=&250-m_{2}\\\Rightarrow\;m_{1}&=&250-100\\\Rightarrow\;m_{1}&=&100\;kg\end{array}$
$\begin{array}{rcl} V_{1}&=&\dfrac{m_{1}}{\rho_{\text{eau}}}\\&=&\dfrac{100}{1}\\\Rightarrow\;V_{1}&=&100\;L\end{array}$
$\begin{array}{rcl}V_{2}&=&\dfrac{m_{2}}{\rho_{\text{eau}}}\\&=&\dfrac{150}{1}\\\Rightarrow\;V_{2}&=&150\;L\end{array}$
Il faut donc $150\;L$ d'eau froide à $15^{\circ}C$ et $100\;L$ d'eau chaude à $70^{\circ}C$ pour obtenir $250\;L$ d'un bain à $37^{\circ}C$
2. Capacité thermique massique du plomb
Détermination de la chaleur massique du plomb.
$Q_{1}$ la quantité de chaleur cédée par le bloc de plomb $Q_{1}=m_{1}C_{Pb}\left(\theta_{e}-\theta_{1}\right)$
$Q_{2}$ la quantité de chaleur captée par l'eau froide et le calorimètre : $Q_{2}=\left(m_{2}c_{\text{eau}+C}\right)\left(\theta_{e}-\theta_{2}\right)$
le système ${\text{eau}+\text{calorimètre}+\text{plomb}}$ est isolé :
$\begin{array}{rcl} Q_{1}+Q_{2}&=&0\\\Rightarrow\;m_{1}C_{Pb}\left(\theta_{e}-\theta_{1}\right)+\left(m_{2}C_{\text{eau}}+C\right)\left(\theta_{e}-\theta_{2}\right)&=&0\\\Rightarrow\;m_{1}C_{Pb}\left(\theta_{e}-\theta_{1}\right)&=&-\left(m_{2}C_{\text{eau}}+C\right)\left(\theta_{e}-\theta_{2}\right)\\\Rightarrow\;C_{Pb}&=&-\dfrac{\left(m_{2}C_{\text{eau}}+C\right)\left(\theta_{e}-\theta_{2}\right)}{m_{1}\left(\theta_{e}-\theta_{1}\right)}\\&=&\dfrac{\left(m_{2}C_{\text{eau}}+C\right)\left(\theta_{e}-\theta_{2}\right)}{m_{1}\left(\theta_{1}-\theta_{e}\right)}\\&=&\dfrac{\left(350\cdot10^{-3}\times 4185+209\right)(17.7-16)}{280\cdot10^{-3}(98-17.7)}\\\Rightarrow\;C_{Pb}&=&126.5J\cdot kg^{-1}\cdot K^{-1} \end{array}$
Exercice 10
1. Bloc de fer plongé dans l'eau
Détermination de l'état final d'équilibre du système (température final, masse des différents corps présents dans le calorimètre).
Soit $Q_{1}$ l'énergie captée par le bloc de fer pour de $\theta_{1}$ à $0^{\circ}C$ :
$\begin{array}{rcl} Q_{1}&=&m_{1}C_{Fe}\left(0-\theta_{1}\right)\\\Rightarrow\;Q_{1}&=&500\cdot10^{-3}\times460(0-(-30))\\\Rightarrow\;Q_{1}&=&6900J \end{array}$
Soit $Q_{2}$ l'énergie cédée par l'eau pour passer de $4^{\circ}C$ à $0^{\circ}C$ :
$\begin{array}{rcl} Q_{2}&=&m_{2}C_{\text{eau}}\left(0-\theta_{2}\right)\\\Rightarrow\;Q_{2}&=&m_{2}C_{\text{eau}}\left(0-\theta_{2}\right)\\\Rightarrow\;Q_{2}&=&200\cdot10^{-3}\times4185(0-4)\\\Rightarrow\;Q_{2}&=&-3348J \end{array}$
$\left|Q_{1}\right|>\left|Q_{2}\right|.$
L'énergie captée par le fer est supérieure à celle cédée par l'eau pour abaisser sa température jusqu'à $0^{\circ}C$.
Une partie de l'eau va donc geler pour céder de l'énergie thermique au bloc de fer.
Soit $Q$ l'énergie cédée par cette eau pour geler.
Le système ${\text{eau}+\text{fer}}$ est isolé :
$\begin{array}{rcl} Q+Q_{1}+Q_{2}&=&0\\\Rightarrow\;Q&=&-Q_{1}-Q_{2}\\\Rightarrow\;Q&=&-6900-(-3348)\\\Rightarrow\;Q&=&3552J \end{array}$
Soit $m$ la masse d'eau gelée.
$\begin{array}{rcl} Q&=&mL_{s}\\\Rightarrow\;m&=&\dfrac{Q}{L_{s}}\\&=&\dfrac{-3552}{-3.34\cdot10^{5}}\\\Rightarrow\;m&=&10.6\cdot10^{-3}kg\\\Rightarrow\;m&=&10.6\;g \end{array}$
Le système est donc composé de :
$m_{Fe}=500\;g\text{ de fer à la température de }0^{\circ}C$ ;
$m_{g}=10.6\;g\text{ de glace à la température de }0^{\circ}C$
$m_{\text{ eau }}=200-10.6=189.4\;g\text{ d'eau à la température de }0^{\circ}C$
Autre méthode
Soit $Q_{1}$ l'énergie captée par le fer pour passer de $\theta_{1}$ à $\theta_{e}$
$\begin{array}{rcl} Q_{1}&=&m_{1}C_{Fe}\left(\theta_{e}-\theta_{1}\right)\\\Rightarrow\;Q_{1}&=&500\cdot10^{-3}\times460\left(\theta_{e}-(-)\right)\\\Rightarrow\;Q_{1}&=&230\theta_{e}+6900 \end{array}$
Soit $Q_{2}$ l'énergie cédée par l'eau pour passer de $\theta_{2}$ à $\theta_{e}$
$\begin{array}{rcl} Q_{2}&=&m_{2}C_{\text{eau}}\left(0-\theta_{2}\right)+m_{2}L_{s}+m_{2}C_{\text{glace}}\left(\theta_{e}-0\right) \\&=&0.2\times4185(0-4)+0.2\left(-3.34\cdot10^{5}\right)+0.2\times2090\left(\theta_{e}-0\right)\\\Rightarrow\;Q_{2}&=&-3348-66800+418\theta_{e} \end{array}$
Si l'eau se transforme entièrement en glace, elle cédera beaucoup plus d'énergie que celle nécessaire pour que le morceau de fer ait une température de $0^{\circ}C$
La température d'équilibre sera donc de $0^{\circ}C.$
On aura donc : $Q_{1}=6900J$ et $Q_{2}=-3348J$
Soit $m$ la masse d'eau qui va geler et soit $Q$ l'énergie cédée par l'eau pour se transformer en glace.
Le système ${\text{eau}+\text{fer}}$ est isolé :
$\begin{array}{rcl} Q+Q_{1}+Q_{2}&=&0\\\Rightarrow\;Q&=&-Q_{1}-Q_{2}\\\Rightarrow\;Q&=&-6900+3348\\\Rightarrow\;Q&=&-3552J \end{array}$
$\begin{array}{rcl} Q&=&mL_{s}\\\Rightarrow\;m&=&\dfrac{Q}{L_{s}}\\&=&\dfrac{-3552}{-3.34\cdot10^{5}}\\\Rightarrow\;m&=&10.6\cdot10^{-3}\;kg\\\Rightarrow\;m&=&10.6\;g \end{array}$
Le système est donc composé de :
$m_{Fe}=500\,g$ de fer à la température de $0^{\circ}C$
$m_{g}=10.6\;g$ de glace à la température de $0^{\circ}C$ ;
$m_{\text{eau}}=200-10.6=189.4\;g$ d'eau à la température de $0^{\circ}C;$
2. Détermination de l'état final d'équilibre su système (température finale, masse des différents corps présents dans le calorimètre).
Soit $Q_{1}$ l'énergie captée par l'eau et calorimètre pour passer de $\theta_{1}$ à $\theta_{e}$
$Q_{2}=\left(m_{1}+C\right)+\left(\theta_{e}-\theta_{1}\right)$
Soit $Q_{2}$ l'énergie cédée par le glaçon pour passer de $\theta_{2}$ à $\theta_{e}$
$Q_{2}=m_{2}C_{2}\left(\theta-\theta_{2}\right)+m_{2}L_{f}+m_{2}C_{e}\left(\theta_{e}-\theta\right)$
le bilan thermique s'écrit :
$\begin{array}{rcl} Q_{1}+Q_{2}&=&0\\\Rightarrow\left(m_{1}C_{e}+C\right)\left(\theta_{e}-\theta_{1}\right)+m_{2}C_{g}\left(\theta-\theta_{2}\right)+m_{2}L_{f}+m_{2}C_{e}\left(\theta_{e}-0\right)&=&0\\\Rightarrow\left(m_{1}C_{e}+C+m_{2}C_{e}\right)\theta_{e}&=&\left(m_{1}C_{e}+C\right)\theta_{1}m_{2}C_{g}\theta_{2}-m_{2}L_{f}\\\Rightarrow\theta_{e}&=&\dfrac{\left(m_{1}C_{e}+C\right)\theta_{1}+m_{2}C_{g}\theta_{2}-m_{2}L_{f}}{\left(m_{1}C_{e}+C+m_{2}C_{e}\right)}\\\Rightarrow\theta_{e}&=&\dfrac{\left(200\cdot10^{-3}\times4185+150\right)\times50+160\cdot10^{-3}\times2090\times-23-160\cdot10^{-3}\times3.34\cdot10^{5}}{\left(200\cdot10^{-3}\times4185+150+160\cdot10^{-3}\times4185\right)}\\\Rightarrow\theta_{e}&=&-7.11^{\circ}C \end{array}$
Ce résultat est aberrant car à cette température et sous la pression atmosphérique, l'eau est à l'état solide.
La totalité de la glace ne fondra pas et la température du système sera $\theta_{e}=0^{\circ}C$
Soit $Q_{1}$ l'énergie cédée par l'eau et le calorimètre pour passer de $\theta_{1}=50^{\circ}C$ à $\theta_{e}=0^{\circ}C$
$\begin{array}{rcl} Q_{1}&=&\left(m_{1}C_{e}+C\right)\left(\theta_{e}-\theta_{1}\right)\\&=&\left(200\cdot10^{-3}\times 4185+150\right)(0-50)\\\Rightarrow\;Q_{1}&=&-49350J \end{array}$
Soit $Q_{2}$ l'énergie captée par le bloc de glace pour passer de $\theta_{2}=-23^{\circ}C$ à $\theta_{e}=^{\circ}C$
$\begin{array}{rcl} Q_{2}&=&m_{2}c_{g}\left(\theta_{e}-\theta_{1}\right)\\\Rightarrow\;Q_{2}&=&160\cdot10^{-3}\times2090(0-(-23))\\\Rightarrow\;Q_{2}&=&7691.20J \end{array}$
Soit $m$ la masse de glace qui va fondre et soit $Q$ l'énergie captée par cette glace.
Le système ${\text{eaau}+\text{glace}+\text{calorimètre}}$ est isolé :
$\begin{array}{rcl} Q+Q_{1}+Q_{2}&=&0\\\Rightarrow\;Q&=&-Q_{1}-Q_{2}\\\Rightarrow\;Q&=&49350-7691.2\\\Rightarrow\;Q&=&41658.80J \end{array}$
$\begin{array}{rcl} Q&=&mL_{f}\\\Rightarrow\;m&=&\dfrac{Q}{L_{f}}\\&=&\dfrac{41658.80}{3.34\cdot10^{5}}\\\Rightarrow\;m&=&125\cdot10^{-3}kg\\\text{ ou }m&=&125\;g \end{array}$
Le système est donc composé de :
$m_{g}=160-125=35\;g$ de glace à la température de $0^{\circ}C.$
$m_{\text{eau}}=200+125=325\;g$ d'eau à la température de $0^{\circ}C$
Exercice 11
Détermination de la capacité thermique d'un calorimètre
1. Détermination de la température d'équilibre
Quantité de chaleur captée par l'eau froide : $Q_{1}=m_{1}C_{e}\left(\theta_{e}-\theta_{1}\right)$
Quantité de chaleur cédée par l'eau chaude : $Q_{2}=m_{2}C_{e}\left(\theta_{e}-\theta_{2}\right)$
Le système ${\text{eau}+\text{calorimètre}}$ est isolé :
$\begin{array}{rcl} Q_{1}+Q_{2}&=&0\\\Rightarrow\;m_{1}c_{e}\left(\theta_{e}-\theta_{1}\right)+m_{2}c_{e}\left(\theta_{e}-\theta_{2}\right)&=&0\\\Rightarrow\left(m_{1}c_{e}+m_{2}c_{e}\right)\theta_{e}-\left(m_{1}c_{e}\theta_{1}+m_{2}c_{e}\theta_{2}\right)&=&0\\\Rightarrow\theta_{e}&=&\dfrac{m_{1}\theta_{1}+m_{2}\theta_{2}}{m_{1}+m_{2}}\\&=&\dfrac{250\times18+300\times80}{250+300}\\\Rightarrow\theta_{e}&=&51.8^{\circ}C \end{array}$
2. Détermination de la capacité thermique $C$ du calorimètre et de ses accessoires.
Quantité de chaleur captée par l'eau froide et le calorimètre : $Q_{1}=\left(m_{1}c_{e}+C\right)\left(\theta_{e}-\theta_{1}\right)$
Quantité de chaleur cédée par l'eau chaude : $Q_{2}=m_{2}c_{e}\left(\theta_{e}-\theta_{2}\right)$
Le système ${\text{eau}+\text{calorimètre}}$ est isolé :
$\begin{array}{rcl} Q_{1}+Q_{2}&=&0\\\Rightarrow\left(m_{1}c_{e}+C\right)\left(\theta_{e}-\theta_{1}\right)+m_{2}c_{e}\left(\theta_{e}-\theta_{2}\right)&=&0\\\Rightarrow\;C\left(\theta_{e}-\theta_{1}\right)&=&-m_{1}c_{e}\left(\theta_{e}-\theta_{1}\right)-m_{2}c_{e}\left(\theta_{e}-\theta_{2}\right)\\\Rightarrow\;C&=&\dfrac{m_{1}c_{e}\left(\theta_{e}-\theta_{1}\right)+m_{2}C_{2}\left(\theta_{e}-\theta_{2}\right)}{\theta_{e}-\theta_{1}}\\C&=&\dfrac{250\cdot10^{-3}\times4185(50-18)+300\cdot10^{-3}\times4185(50-80)}{50-18}\\\Rightarrow\;C&=&130.8J\cdot K^{-1} \end{array}$
La capacité thermique du calorimètre est $130.8J\cdot K^{-1}$
Exercice 12
A. Mesure de la capacité thermique d'un calorimètre.
1. Détermination de la valeur $\theta_{2}$ de la température final de l'eau après mélange
Quantité de chaleur captée par l'eau et le calorimètre :
$Q_{0}=m_{0}c_{e}\left(\theta_{2}-\theta_{0}\right)=\mu_{0}V_{0}c_{e}\left(\theta_{2}-\theta_{0}\right)$
Quantité de chaleur cédée par l'eau chaude : $Q_{1}=m_{1}c_{e}\left(\theta_{2}-\theta_{1}\right)$
Le système ${\text{eau}+\text{calorimètre}}$ est isolé :
$\begin{array}{rcl} Q_{0}+Q_{1}&=&0\\\Rightarrow\mu_{0}V_{0}C_{e}\left(\theta_{2}-\theta_{0}\right)+m_{1}c_{e}\left(\theta_{2}-\theta_{1}\right)&=&0\\\Rightarrow\left(\mu_{0}V_{0}c_{e}+m_{1}c_{e}\right)\theta_{2}-\left(\mu_{0}V_{0}c_{e}\theta_{1}+m_{1}c_{e}\theta_{1}\right)&=&0\\\Rightarrow\theta_{2}\\&=&\dfrac{\mu_{0}V_{0}\theta_{1}+m_{1}\theta_{1}}{\mu_{0}V_{0}+m_{1}}\\&=&\dfrac{1\times200\times20.0+250\times60.0}{1\times200+250}\\ \Rightarrow\theta_{2}&=&42.2^{\circ}C \end{array}$
2.1. Détermination de la valeur de l'énergie thermique gagnée par le calorimètre.
Soit $Q$ l'énergie la valeur de l'énergie thermique gagnée par le calorimètre
Le bilan thermique s'écrit :
$\begin{array}{rcl} Q_{0}+Q_{1}+Q&=&0\\\Rightarrow\;Q&=&-Q_{0}-Q_{1}\\\Rightarrow\;Q&=&-\mu_{0}V_{0}c_{e}\left(\theta'_{2}-\theta_{0}\right)-m_{1}c_{e}\left(\theta'_{2} \theta_{1}\right)\\&=&-1\times200\cdot10^{-3}\times4185(38.0-20.0)-250\cdot10^{-3}\times4185(38.0-60.0)\\\Rightarrow\;Q&=&7.95\cdot10^{3}J \end{array}$
2.2 Déduction de la valeur de la capacité thermique du calorimètre.
$\begin{array}{rcl} Q&=&C\left(\theta'_{2}-\theta_{0}\right)\\\Rightarrow\;C&=&\dfrac{Q}{\theta'_{2}-\theta_{0}}\\&=&\dfrac{7.95\cdot10^{3}}{38.0-20.0}\\\Rightarrow\;C&=&442J^{\circ}\cdot C^{-1} \end{array}$
B. Mesure de la chaleur latente $L_{v}$ de vaporisation de l'eau.
1. Expression, en fonction des données, de l'énergie thermique échangée par le calorimètre et les $450\;mL$ d'eau liquide.
$\begin{array}{rcl} Q_{1}&=&\left(m_{1}C_{\text{eau}+C}\right)\left(\theta_{4}-\theta_{0}\right)\text{ avec }m_{1}\\&=&\rho_{\text{eau}}V_{0}\\\Rightarrow\;Q_{1}&=&\left(\rho_{\text{eau}}V_{0}C_{\text{eau}+\mu}\right)\left(\theta_{4}-\theta_{0}\right) \end{array}$
Le signe de cette énergie est négatif, car ce système perd de l'énergie thermique
3. Calcul d'une valeur numérique de $L_{v}$
Le bilan thermique s'écrit :
$\begin{array}{rcl} Q_{1}+Q_{2}&=&0\\\Rightarrow\left(\rho_{\text{eau}}V_{0}C_{\text{eau}}+\mu\right)\left(\theta_{4}-\theta_{0}\right)-m'L_{v}+m'C_{\text{eau}}\left(\theta_{4}-\theta_{3}\right)&=&0\\\Rightarrow\;-m'L_{v} &=&\left(\rho_{\text{eau}}V_{0}C_{\text{eau}}+\mu\right)\left(\theta_{0}-\theta_{4}\right)+m'C_{\text{eau}}\left(\theta_{3}-\theta_{4}\right)\\\Rightarrow\;L_{v}&=&-\dfrac{\left(\rho_{\text{eau}}V_{0}C_{\text{eau}}+\mu\right)\left(\theta_{0}-\theta_{4}\right)+m'C_{\text{eau}}\left(\theta_{3}-\theta_{4}\right)}{m'}\\\Rightarrow\;L_{v}&=&-\dfrac{\left(1\times450\cdot10^{-3}\times4185+100\right)(20.0-45.2)+20.0\cdot10^{-3}\times4185(100-45.2)}{20.0\cdot10^{-3}}\\\Rightarrow\;L_{v}&=&2.27\cdot10^{6}J\cdot kg^{-1} \end{array}$
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