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Solution des exercices : la Calorimétrie - 1er s

Classe:

Première

Exercice 1

1. Calcul de quantité de chaleur nécessaire pour élever de

$20^{\circ}C$ à

$80^{\circ}C$ une masse égale a

$1$ tonne d'eau.

$\begin{array}{rcl} Q&=&mC_{e}\left(t_{f}-t_{i}\right)\\&=&10^{3}\times4180(80-20)\\\Rightarrow\;Q&=&2.5\cdot10^{8}J \end{array}$

2. Altitude

$Z$ dont on pourrait soulever cette tonne d'eau ?

$\begin{array}{rcl} E_{p}&=&Q\\\Rightarrow\;mgh&=&Q \\\Rightarrow\;h&=&\dfrac{Q}{mg}\\&=&\dfrac{2.5\cdot10^{8}}{10^{3}\times10}\\\Rightarrow\;h&=&2.5\cdot10^{4}m \end{array}$

Exercice 2

1. Calcul de la température final

$t_{f}$

$Q_{1}$ la quantité de chaleur cédée par l'eau chaude :

$Q_{1}=m_{1}c_{e}\left(t_{f}-t_{1}\right).$

$Q_{2}$ la quantité de chaleur captée par l'eau froide :

$Q_{2}=m_{2}c_{e}\left(t_{f}-t_{2}\right)$

Le système

${\text{calorimètre}+\text{contenu}}$ est isolé:

$\begin{array}{rcl} Q_{1}+Q_{2}&=&0\\\Rightarrow\;m_{1}c_{e}\left(t_{f}-t_{1}\right)+m_{2}c_{e}\left(t_{f}-t_{2}\right)&=&0\\\Rightarrow\;m_{1}\left(t_{f}-t_{1}\right)+m_{2}\left(t_{f}-t_{2}\right)&=&0\\\Rightarrow\left(m_{1}+m_{2}\right)t_{f}&=&m_{1}t_{1}+m_{2}t_{2}\\\Rightarrow\;t_{f}&=&\dfrac{m_{1}t_{1}+m_{2}t_{2}}{m_{1}+m_{2}}\\&=&\dfrac{95\times20+100\times50}{95+100}\\\Rightarrow\;t_{f}&=&35.4^{\circ}C \end{array}$

2. Calcul de la valeur en eau

$\mu$

$\begin{array}{rcl} Q_{1}+Q_{2}&=&0\\\Rightarrow\;\left(m_{1}+\mu\right)c_{e}\left(t_{f}^{'}-t_{1}\right)+m_{2}c_{e}\left(_{f}^{'}-t_{2}\right)&=&0\\\Rightarrow\left(m_{1}+\mu\right)\left(t_{f}^{'}-t_{1}\right)&=&-m_{2}\left(t_{f}^{'}-t_{2}\right)\\\Rightarrow\;m_{1}+\mu&=&-\dfrac{m_{2}\left(t_{f}^{'}-t_{2}\right)}{t_{f}^{'}-t_{1}}\\\Rightarrow\mu&=&-\dfrac{100(31.3-50)}{31.3-20}-95\\\Rightarrow\mu&=&70.5g \end{array}$

Exercice 3

1. Calcul de la valeur en eau

$\mu$ du calorimètre

$Q_{1}$ la quantité de chaleur par le calorimètre et l'eau à la température

$t_{a}$ :

$Q_{1}=\mu c_{e}\left(t_{1}-t_{a}\right)$

$Q_{2}$ la quantité de chaleur captée par l'eau froide :

$Q_{2}=m_{e}C_{e}\left(t_{1}-t_{e}\right)$

Le système

${\text{Calorimètre}+\text{contenu}}$ est isolé :

$\begin{array}{rcl} Q_{1}+Q_{2}&=&0\\\Rightarrow\mu C_{e}\left(t_{1}-t_{a}\right)+m_{e}c_{e}\left(t_{1}-t_{e}\right)&=&0\\\Rightarrow\mu c_{e}\left(t_{1}-t_{a}\right)&=&-m_{e}c_{e}\left(t_{1}-t_{e}\right)\\\Rightarrow\mu&=&-\dfrac{m_{e}\left(t_{1}-t_{e}\right)}{t_{1}-t_{a}}\\\Rightarrow\mu&=&-\dfrac{90\cdot10^{-3}\times(24.5-25)}{24.5-15.5}\\\Rightarrow\mu&=&5.0\cdot10^{-3}kg\end{array}$

2. Calcul de la chaleur massique du platine.

$Q_{1}$ la quantité de chaleur gagnée par le calorimètre et l'eau à la température

$t_{1}$ :

$Q_{1}=c_{e}\left(\mu+m_{e}\right)\left(t_{2}-t_{1}\right)$

$Q_{2}$ la quantité de chaleur cédée par le platine :

$Q_{2}=m_{p}C_{p}\left(t_{2}-t_{p}\right)$

Le système

${\text{Calorimètre}+\text{contenu}}$ est isolé :

$\begin{array}{rcl} Q_{1}+Q_{2}&=&0\\\Rightarrow\;c_{e}\left(\mu+m_{e}\right)\left(t_{2}-t_{1}\right)+m_{p}c_{p}\left(t_{2}-t_{p}\right)&=&0\\\Rightarrow\;m_{p}c_{p}\left(t_{2}-t_{p}\right)&=&0\\\Rightarrow\;m_{p}c_{p}\left(t_{2}-t_{p}\right)&=&-c_{e}\left(\mu+m_{e}\right)\left(t_{2}-t_{1}\right)\\\Rightarrow\,c_{p}&=&\dfrac{c_{e}\left(\mu+m_{e}\right)\left(t_{2}-t_{1}\right)}{m_{p}\left(t_{2}-t_{p}\right)}\\\Rightarrow\;c_{p}&=&\dfrac{4185\left(0.021+90\cdot10^{-3}\right)\left(27.7-24.5\right)}{100\cdot10^{-3}(27.7-104)}\\\Rightarrow\;c_{p}&=&195Jkg^{-1} \end{array}$

3. Calcul de la température finale

$t_{3}$

$Q_{1}$ La quantité de chaleur échangée par e calorimètre, le plaine et l'eau à la température

$t_{2}$ :

$Q_{1}=\left(m_{p}C_{p}+c_{e}\left(\mu+m_{e}\right)\right)\left(t_{3}-t_{2}\right)$

$Q_{2}$ la quantité de chaleur cédée par l'eau à la température

$t_{a}$ :

$Q_{2}=mC_{e}\left(t_{3}-t_{a}\right)$

Le système

${\text{calorimètre}+\text{contenu}}$ est isolé :

$\begin{array}{rcl} Q_{1}+Q_{2}&=&0\\\Rightarrow\left(m_{p}C_{p}+c_{e}\left(\mu+m_{e}\right)\right)\left(t_{3}-t_{2}\right)+mc_{e}\left(t_{3}-t_{a}\right)&=&0\\\Rightarrow\left(m_{p}c_{p}+c_{e}\left(\mu+m_{e}+m\right)\right)t_{3}&=&\left(m_{p}c_{p}+c_{e}\left(\mu+m_{e}\right)\right)t_{2}+mc_{e}t_{a}\\\Rightarrow\;t_{3}&=&\dfrac{\left(m_{p}c_{p}+c_{e}\left(\mu+m_{e}\right)\right)t_{2}+mc_{e}t_{a}}{\left(m_{p}c_{p}+c_{e}\left(\mu+m_{e}+m\right)\right)}\\\Rightarrow\;t_{3}&=&\dfrac{\left(100\cdot10^{-3}\times195+4185\left(5.0\cdot10^{-3}\right)\right)\times27.7+23\cdot10^{-3}\times4185\times15.5} {\left(100\cdot10^{-3}\times195+4185\left(5.0\cdot10^{-3}+90\cdot10^{-3}+23\cdot10^{-3}\right)\right)}\\\Rightarrow\;t_{3}&=&25.4^{\circ}C \end{array}$

Exercice 4

1. Calcul de la température finale

$t_{f}.$

Soit

$Q_{0}$ la quantité de chaleur cédée par le cuivre et par l'eau

$Q_{0}=\left(m_{c}C_{cu}+m_{e}C_{e}\right)\left(t_{f}-t_{e}\right)$

Soit

$Q_{1}$ la quantité de chaleur gagnée par le cuivre

$Q_{1}=m_{1}C_{cu}\left(t_{f}-t_{1}\right)$

Le calorimètre et son contenu constituent un système isolé.

Le bilan thermique s'écrit :

$\begin{array}{rcl} Q_{0}+Q_{1}&=&0\\\Rightarrow\left(m_{c}C_{cu}+m_{e}C_{e}\right)\left(t_{f}-t_{e}\right)+m_{1}C_{cu}\left(t_{f}-t_{1}\right)\\&=&0\\\Rightarrow\left(m_{c}C_{cu}+m_{e}C_{e}+m_{1}C_{cu}\right)t_{f}-\left(m_{c}C_{cu}+m_{e}C_{cu}\right)t_{e}-m_{1}C_{cu}t_{1}&=&0\\\Rightarrow\left(m_{c}C_{cu}+m_{e}C_{e}+m_{1}C_{cu}\right)t_{f}&=&\left(m_{c}C_{cu}+m_{e}C_{e}\right)t_{e}+m_{1}C_{cu}t_{1}\\\Rightarrow\;t_{f}&=&\dfrac{\left(m_{c}C_{cu}+m_{e}C_{e}\right)t_{e}+m_{1}C_{cu}t_{1}}{m_{e}C_{e}+m_{c}C_{cu}+m_{1}C_{cu}}\\\Rightarrow\;t_{f}&=&\dfrac{(100\times395+200\times4158 \times4+300\times395\times-20}{200\times4185+100\times395+300\times395}\\\Rightarrow\;t_{f}&=&1.14^{\circ}C \end{array}$

2. Montrons qu'une partie de l'eau congèle.

Soit

$Q_{0}$ la quantité de chaleur cédée par le cuivre et par l'eau

$\begin{array}{rcl} Q_{0}&=&\left(m_{c}C_{cu}+m_{e}C_{e}\right)\left(t_{f}-t_{e}\right)\\&=&\left(100\cdot10^{-3}\times395+200\cdot10^{-3}\times4185\right)(0-4)\\\Rightarrow\;Q_{0}&=&-3506J \end{array}$

Soit

$Q_{1}$ la quantité de chaleur gagnée par la cuivre

$\begin{array}{rcl} Q_{1}&=&m_{1}C_{cu}\left(0-t_{2}\right)\\&=&300\cdot10^{-3}\times395(0-(-50))\\\Rightarrow\;Q_{1}&=&5925J \end{array}$

$\left|Q_{1}\right|>\left|Q_{0}\right|$

La quantité de chaleur gagnée par le cuivre est supérieure à celle cédée par l'eau et le calorimètre pour abaisser sa température jusqu'à

$0^{\circ}C.$

Une partie de l'eau va donc geler pour céder de l'énergie thermique au cuivre.

Soit

$Q$ l'énergie cédée par cette eau pour geler

Le système

${\text{eau}+\text{calorimètre en cuivre}+\text{cuivre}}$ est isolé :

$\begin{array}{rcl} Q+Q_{0}+Q_{1}&=&0\\\Rightarrow\;Q&=&-Q_{0}-Q_{1}\\\Rightarrow\;Q&=&(-3506)-5925\\\Rightarrow\;Q&=&-2419J \end{array}$

Soit

$m$ la masse d'eau gelée.

$\begin{array}{rcl} Q&=&mL_{s}\\\Rightarrow\;m&=&\dfrac{Q}{L_{s}}\\&=&\dfrac{-2419}{-3.34\cdot10^{5}}\\\Rightarrow\;m&=&7.24\cdot10^{-3}Kg\\\Rightarrow\;m&=&7.24g \end{array}$

Exercice 5

1. Calcul de la capacité calorifique

$C_{cal}$ du calorimètre.

1. Température d'équilibre

Soit

$Q_{0}$ la quantité de chaleur gagnée le calorimètre

$Q_{0}=C_{cal}\left(t_{f}-t_{c}\right)$

Soit

$Q_{1}$ la quantité de chaleur cédée par le bloc de cuivre

$Q_{1}=m_{1}C_{cu}\left(t_{f}-t_{1}\right)$

Le calorimètre et son contenu constituent un système isolé.

Le bilan thermique s'écrit :

$\begin{array}{rcl}Q_{0}+Q_{1}&=&0\\\Rightarrow\;C_{cal}\left(t_{f}-t_{c}\right)+m_{1}C_{cu}\left(t_{f}-t_{1}\right)\\&=&0\\\Rightarrow\;C_{cal}\left(t_{f}-t_{c}\right)&=&-m_{1}C_{cu}\left(t_{f}-t_{1}\right)\\\Rightarrow\;C_{cal}&=&-\dfrac{m_{1}C_{cu}\left(t_{f}-t_{1}\right)}{\left(t_{f}-t_{c}\right)}\\\Rightarrow\;C_{cal}&=&-\dfrac{200\cdot10^{-3}\times395(20-100)}{20-15}\\\Rightarrow\;C_{cal}&=&1264J\cdot K^{-1} \end{array}$

2. Calcul de la chaleur massique de l'alliage

le bilan thermique s'écrit :

$\begin{array}{rcl} Q_{0}+Q_{1}&=&0\\\Rightarrow\;C_{cal}\left(t_{f}-t_{c}\right)+m_{2}C_{Al}\left(t_{f}-t_{c}\right)+m_{2}C_{Al}\left(t_{f}-t_{2}\right)&=&0\\\Rightarrow\;m_{2}C_{Al}\left(t_{f}-t_{2}\right)&=&-C_{cal}\left(t_{f}-t_{c}\right)\\\Rightarrow\;C_{Al}&=&-\dfrac{C_{cal}\left(t_{f}-t_{c}\right)}{m_{2}\left(t_{f}-t_{2}\right)}\\\Rightarrow\;C_{Al}&=&-\dfrac{1264\times(20-15)}{100\cdot10^{-3}\times(20-100)}\\\Rightarrow\;C_{Al}&=&790J\cdot K^{-1} \end{array}$

Exercice 6

1. Déduction de la capacité calorifique

$C$ du calorimètre

$+$ récipient.

$\begin{array}{rcl} Q&=&mP_{c}\\&=&C\left(t_{1}-t_{0}\right)\\\Rightarrow\;C&=&\dfrac{mP_{c}}{t_{1}-t_{0}}\\&=&\dfrac{1\cdot10^{-3}\times40500\cdot10^{3}}{21.4-18.3}\\\Rightarrow\;C13.1\cdot10^{3}J \end{array}$

2. Détermination de l'expression littérale de

$P_{c^{'}}$ puis faire l'application numérique

$\begin{array}{rcl} Q&=&mP'_{c}\\&=&C\left(t_{2}-t_{0}\right)\\\Rightarrow\;P'_{c}&=&\dfrac{C\left(t_{2}-t_{0}\right)}{m}\\&=&\dfrac{13.1\cdot10^{3}\times(20.8-18.3)}{1\cdot10^{-3}}\\\Rightarrow\;P'_{c}&=&32.75\cdot^{6}J\cdot kg^{-1} \end{array}$

Exercice 7

1. Température d'équilibre

Soit

$Q_{1}$ la quantité de chaleur gagnée par l'eau froide pour passer de

$\theta_{1}$ à

$\theta_{e}$

$Q_{1}=m_{1}C_{e}\left(\theta_{e}-\theta_{1}\right)$

Soit

$Q_{2}$ la quantité de chaleur cédée par l'eau chaude pour passer de

$\theta_{2}$ à

$\theta_{e}$

$Q_{2}=m_{2}C_{e}\left(\theta_{e}-\theta_{2}\right)$

Le calorimètre et son contenu constituent un système isolé.

Le bilan thermique s'écrit :

$\begin{array}{rcl} Q_{1}+Q_{2}&=&0\\\Rightarrow\;m_{1}C_{Al}\left(\theta_{e}-\theta_{1}\right)+\left(m_{2}C_{e}+C\right)\left(\theta_{e}-\theta_{2}\right)&=&0\\\Rightarrow\left(m_{1}C_{Al}+m_{2}C_{e}+C\right)\theta_{e}&=&m_{1}C_{Al}\theta_{1}+\left(m_{2}C_{e}+C\right)\theta_{2}\\\Rightarrow\theta_{e}&=&\dfrac{m_{1}C_{Al}\theta_{1}+\left(m_{2}C_{e}+C\right)\theta_{2}}{m_{1}C_{Al}+m_{2}C_{e}+C}\\&=&\dfrac{\left(30.2\cdot10^{-3}\times920\times100\right)+\left(100\cdot10^{-3}\times 4185+32.3\right)\times 18}{30.2\cdot10^{-3}\times 920+100\cdot10^{-3}\times 4185+32.3}\\\Rightarrow\theta_{e}&=&22.8^{\circ}C \end{array}$

2. Déduction de la capacité thermique du colorimètre et de ces accessoires.

Le bilan thermique s'écrit :

$\begin{array}{rcl} Q_{1}+Q_{2}&=&0\\\Rightarrow\left(m_{1}C_{e}+C\right)\left(\theta_{e}-\theta_{1}\right)+m_{2}C_{e}\left(\theta_{e}-\theta_{2} \right)&=&0\\\Rightarrow\left(m_{1}C_{e}+C\right)\left(\theta_{e}-\theta_{1}\right)&=&-m_{2}C_{e}\left(\theta_{e}-\theta_{2}\right)\\\Rightarrow\;m_{1}C_{e}+C&=&-\dfrac{m_{2}C_{e}\left(\theta_{e}-\theta_{2}\right)}{\theta_{e}-\theta_{1}}\\\Rightarrow\;C&=&-\dfrac{m_{2}C_{e}\left(\theta_{e}-\theta_{2}\right)}{\theta_{e}-\theta_{1}}-m_{1}C_{e}\\\Rightarrow\;C&=&-\dfrac{\left(80\cdot10^{-3}\times4185\right)(35.9-60)}{(35.9-18)}-100\cdot10^{-3}\times4185\\\Rightarrow\;C&=&32.3J^{\circ}\cdot C^{-1} \end{array}$

3. Calcul de la chaleur massique du cuivre

$Q_{1}$ La quantité de chaleur cédée par le morceau de cuivre :

$Q_{1}+m_{1}C_{cu}\left(\theta_{e}-\theta_{1}\right)$

$Q_{2}$ La quantité de chaleur captée par l'eau froide et le calorimètre :

$Q_{2}=\left(m_{2}+C_{e}+C\right)\left(\theta_{e}-\theta_{2}\right)$

Le système

${\text{eau}+\text{calorimètre}+\text{cuivre}}$ est isolé

4. Détermination de la température d'équilibre.

$Q_{1}$ la quantité de chaleur cédée par le morceau d'aluminium :

$Q_{1}=m_{1}C_{Al}\left(\theta_{e}-\theta_{1}\right)$

$Q_{2}$ la quantité de chaleur captée par l'eau et le calorimètre :

$Q_{2}=\left(m_{2}C_{e}+C\right)\left(\theta_{e}-\theta_{2}\right)$

Le système

${\text{eau}+\text{calorimètre}+\text{aluminium}}$ est isolé :

$\begin{array}{rcl} Q_{1}+Q_{2}&=&0\\\Rightarrow\;m_{1}C_{Al}\left(\theta_{e}-\theta_{1}\right)+\left(m_{2}C_{e}+C\right)\left(\theta_{e}-\theta_{2}\right)&=&0\\\Rightarrow\left(m_{1}C_{Al}+m_{2}C_{e}+C\right)\theta_{e}&=&m_{1}C_{Al}\theta_{1}+\left(m_{2}C_{e}+C\right)\theta_{2}\\\Rightarrow\theta_{e}&=&\dfrac{m_{1}C_{Al}\theta_{1}+\left(m_{2}C_{e}+C\right)\theta_{2}}{m_{1}C_{Al}+m_{2}C_{e}+C}\\&=&\dfrac{\left(30.2\cdot10^{-3}\times920\times100\right)\left(100\cdot10^{-3}\times4185+32.3\right)\times18}{30.2\cdot10^{-3}\times920+100\cdot10^{-3}\times4185+32.3}\\\Rightarrow\theta_{e}&=&22.8^{\circ}C \end{array}$

5. Calcul de la température d'équilibre

$Q_{1}$ la quantité de chaleur captée par la glace à la température

$\theta_{1}=0^{\circ}C$ :

$Q_{1}=m_{1}C_{e}\left(\theta_{e}-0\right)+m_{1}L_{f}$

$Q_{2}$ la quantité de chaleur cédée par l'eau et le calorimètre :

$Q_{2}=\left(m_{2}C_{e}+C\right)\left(\theta_{e}-\theta_{2}\right)$

Le système

${\text{eau} + \text{calorimètre} + \text{glace}}$ est isolé :

$\begin{array}{rcl} Q_{1}+Q_{2}&=&0\\\Rightarrow\;m_{1}C_{e}\left(\theta_{e}-0\right)+m_{1}L_{f}+\left(m_{2}C_{e}+C\right)\left(\theta_{e}-\theta_{2}\right)&=&0\\\Rightarrow\left(m_{1}C_{e}+m_{2}C_{e}+C\right)\theta_{e}&=&\left(m_{2}C_{e}+C\right)\theta_{2}-m_{1}L_{f}\\\Rightarrow\theta_{e}&=&\dfrac{\left(m_{2}C_{e}+C\right)\theta_{2}-m_{1}L_{f}}{m_{1}C_{e}+m_{2}C_{e}+C}\\&=&\dfrac{\left(100\cdot10^{-3}\times4185+32.3\right)\times18-25\cdot10^{-3}\times333.7\cdot10^{3}}{25\cdot10^{-3}\times4185+100\cdot10^{-3}\times4185+32.3}\\\Rightarrow\theta_{e}&=&-0.41^{\circ}C \end{array}$

Ce résultat est aberrant ; la température d'équilibre est donc :

$\theta_{1}=0^{\circ}C$

6. Température d'équilibre

$Q_{1}$ laquantité de chaleur captée par la glace à la température

$\theta_{1}=-18^{\circ}C$ :

$Q_{1}=m_{1}C_{g}\left(0-\theta_{1}\right)+m_{1}L_{f}+m_{1}C_{e}\left(\theta_{e}-0\right)$

$Q_{2}$ La quantité de chaleur cédée par l'eau et le calorimètre :

$Q_{2}=\left(m_{2}C_{e}+C\right)\left(\theta_{e}-\theta_{2}\right)$

Le système

${\text{eau}+\text{calorimètre}+\text{glace}}$ est isolé :

$\begin{array}{rcl} Q_{1}+Q_{2}&=&0\\\Rightarrow\;m_{1}C_{g}\left(0-\theta_{1}\right)+m_{1}L_{f}+m_{1}L_{f}+m_{1}C_{e}\left(\theta_{e}-0\right)+\left(m_{2}C_{e}+C\right)\left(\theta_{e}-\theta_{2}\right)&=&0\\\Rightarrow\left(m_{1}C_{e}+m_{2}C_{e}+C\right)\theta_{e}&=&m_{1}C_{g}\theta_{1}+\left(m_{2}C_{e}+C\right)\theta_{2} m_{1}L_{f}\\\Rightarrow\theta_{e}&=&\dfrac{m_{1}C_{g}\theta_{1}+\left(m_{2}C_{e}+C\right)\theta_{2}-m_{1}L_{f}}{m_{1}C_{e}+m_{2}C_{e}+C}\\\Rightarrow\theta_{e}&=&\dfrac{100\cdot10^{-3}\times2.10\cdot10^{3}\times-18+\left(100\cdot10^{-3}\times4185+32.3\right)\times18-25\cdot10^{-3}\times333.7\cdot10^{3}}{25\cdot10^{-3}\times4185+100\cdot10^{-3}\times4185+32.3}\\\Rightarrow\theta_{e}&=&-7.2^{\circ}C \end{array}$

Exercice 8

1. Expression littérale de la quantité de chaleur cédée par la brique au système

${\text{eau}+\text{calorimètre}}$ en fonction de

$m_{1}$ ,

$c_{1}$ et des températures

$\theta_{1}$ et

$\theta_{F}$

$Q_{1}=m_{1}c_{1}\left(\theta_{F}-\theta_{1}\right)$

2. Expression littérale de la quantité de chaleur reçue par le système

${\text{eau}+\text{calorimètre}}$ en fonction de

$m_{2}$ ,

$c_{2}$ ,

$\mu$ et des températures

$\theta_{2}$ et

$\theta_{F}$

$Q_{2}=\left(m_{2}c_{2}+\mu\right)\left(\theta_{F}-\theta_{2}\right)$

3. Détermination de la capacité thermique massique

$c_{1}$ de la brique.

Le système

${\text{eau}+\text{calorimètre}+\text{brique}}$ est isolé :

$\begin{array}{rcl} Q_{1}+Q_{2}&=&0\\\Rightarrow\;m_{1}c_{1}\left(\theta_{F}-\theta_{1}\right)+\left(m_{2}c_{2}+\mu\right)\left(\theta_{F}-\theta_{2}\right)&=&0\\\Rightarrow\;m_{1}c_{1}\left(\theta_{F}-\theta_{1}\right)&=&-\left(m_{2}c_{2}+\mu\right)\left(\theta_{F}-\theta_{2}\right)\\\Rightarrow\;c_{1}&=&-\dfrac{\left(m_{2}c_{2}+\mu\right)\left(\theta_{F}-\theta_{2}\right)}{m_{1}\left(\theta_{F}-\theta_{1}\right)}\\\Rightarrow\;c_{1}&=&\dfrac{\left(400\cdot10^{-3}\times4.18+209\right)(19.9-16.0)}{100\cdot10^{-3}(92.0-19.9)}\\\Rightarrow\;c_{1}&=&105.2J^{\circ}C^{-1} \end{array}$

Exercice 9

1. Bain à

$37^{\circ}C$

Détermination des

$V_{1}$ et

$V_{2}$

$Q_{1}$ la quantité de chaleur cédée par l'eau chaude :

$Q_{1}=m_{1}c_{e}\left(\theta-\theta_{1}\right)$ .

$Q_{2}$ la quantité de chaleur captée par l'eau froide :

$Q_{2}=m_{2}c_{e}\left(\theta-\theta_{2}\right)$

Le système

${\text{eau}}$ est isolée :

$\begin{array}{rcl} Q_{1}+Q_{2}&=&0\\\Rightarrow\;m_{1}c_{e}\left(\theta-\theta_{1}\right)+m_{2}c_{e}\left(\theta-\theta_{2}\right)&=&0\\\Rightarrow\;m_{1}\left(\theta-\theta_{1}\right)+m_{2}\left(\theta-\theta_{2}\right)&=&0\\\Rightarrow\;m_{1}(37-70)+m_{2}(37-15)&=&0\\\Rightarrow\;-33m_{1}+22m_{2}&=&0 \end{array}$

Masse totale est :

$\begin{array}{rcl} m&=&\rho_{\text{eau}}V\\&=&1\times250\\\Rightarrow\;m&=&250\;kg\\\Rightarrow\;m_{1}+m_{2}\\&=&250\;kg \end{array}$

D'où le système d'équation :

$\left\lbrace\begin{array}{lcl} -33\;m_{1}+22\;m_{2}&=&0\quad[1]\\ m_{1}+m_{2}&=&250\quad[2] \end{array}\right.$

$\begin{array}{lcr} [1]+33\cdot[2]\Rightarrow\;55\cdot m_{2}&=&8250\\\Rightarrow\;m_{2}&=&150\;kg \end{array}$

$\begin{array}{rcl} m_{1}+m_{2}&=&250\\\Rightarrow\;m_{1}&=&250-m_{2}\\\Rightarrow\;m_{1}&=&250-100\\\Rightarrow\;m_{1}&=&100\;kg\end{array}$

$\begin{array}{rcl} V_{1}&=&\dfrac{m_{1}}{\rho_{\text{eau}}}\\&=&\dfrac{100}{1}\\\Rightarrow\;V_{1}&=&100\;L\end{array}$

$\begin{array}{rcl}V_{2}&=&\dfrac{m_{2}}{\rho_{\text{eau}}}\\&=&\dfrac{150}{1}\\\Rightarrow\;V_{2}&=&150\;L\end{array}$

Il faut donc

$150\;L$ d'eau froide à

$15^{\circ}C$ et

$100\;L$ d'eau chaude à

$70^{\circ}C$ pour obtenir

$250\;L$ d'un bain à

$37^{\circ}C$

2. Capacité thermique massique du plomb

Détermination de la chaleur massique du plomb.

$Q_{1}$ la quantité de chaleur cédée par le bloc de plomb

$Q_{1}=m_{1}C_{Pb}\left(\theta_{e}-\theta_{1}\right)$

$Q_{2}$ la quantité de chaleur captée par l'eau froide et le calorimètre :

$Q_{2}=\left(m_{2}c_{\text{eau}+C}\right)\left(\theta_{e}-\theta_{2}\right)$

le système

${\text{eau}+\text{calorimètre}+\text{plomb}}$ est isolé :

$\begin{array}{rcl} Q_{1}+Q_{2}&=&0\\\Rightarrow\;m_{1}C_{Pb}\left(\theta_{e}-\theta_{1}\right)+\left(m_{2}C_{\text{eau}}+C\right)\left(\theta_{e}-\theta_{2}\right)&=&0\\\Rightarrow\;m_{1}C_{Pb}\left(\theta_{e}-\theta_{1}\right)&=&-\left(m_{2}C_{\text{eau}}+C\right)\left(\theta_{e}-\theta_{2}\right)\\\Rightarrow\;C_{Pb}&=&-\dfrac{\left(m_{2}C_{\text{eau}}+C\right)\left(\theta_{e}-\theta_{2}\right)}{m_{1}\left(\theta_{e}-\theta_{1}\right)}\\&=&\dfrac{\left(m_{2}C_{\text{eau}}+C\right)\left(\theta_{e}-\theta_{2}\right)}{m_{1}\left(\theta_{1}-\theta_{e}\right)}\\&=&\dfrac{\left(350\cdot10^{-3}\times 4185+209\right)(17.7-16)}{280\cdot10^{-3}(98-17.7)}\\\Rightarrow\;C_{Pb}&=&126.5J\cdot kg^{-1}\cdot K^{-1} \end{array}$

Exercice 10

1. Bloc de fer plongé dans l'eau

Détermination de l'état final d'équilibre du système (température final, masse des différents corps présents dans le calorimètre).

Soit

$Q_{1}$ l'énergie captée par le bloc de fer pour de

$\theta_{1}$ à

$0^{\circ}C$ :

$\begin{array}{rcl} Q_{1}&=&m_{1}C_{Fe}\left(0-\theta_{1}\right)\\\Rightarrow\;Q_{1}&=&500\cdot10^{-3}\times460(0-(-30))\\\Rightarrow\;Q_{1}&=&6900J \end{array}$

Soit

$Q_{2}$ l'énergie cédée par l'eau pour passer de

$4^{\circ}C$ à

$0^{\circ}C$ :

$\begin{array}{rcl} Q_{2}&=&m_{2}C_{\text{eau}}\left(0-\theta_{2}\right)\\\Rightarrow\;Q_{2}&=&m_{2}C_{\text{eau}}\left(0-\theta_{2}\right)\\\Rightarrow\;Q_{2}&=&200\cdot10^{-3}\times4185(0-4)\\\Rightarrow\;Q_{2}&=&-3348J \end{array}$

$\left|Q_{1}\right|>\left|Q_{2}\right|.$

L'énergie captée par le fer est supérieure à celle cédée par l'eau pour abaisser sa température jusqu'à

$0^{\circ}C$ .

Une partie de l'eau va donc geler pour céder de l'énergie thermique au bloc de fer.

Soit

$Q$ l'énergie cédée par cette eau pour geler.

Le système

${\text{eau}+\text{fer}}$ est isolé :

$\begin{array}{rcl} Q+Q_{1}+Q_{2}&=&0\\\Rightarrow\;Q&=&-Q_{1}-Q_{2}\\\Rightarrow\;Q&=&-6900-(-3348)\\\Rightarrow\;Q&=&3552J \end{array}$

Soit

$m$ la masse d'eau gelée.

$\begin{array}{rcl} Q&=&mL_{s}\\\Rightarrow\;m&=&\dfrac{Q}{L_{s}}\\&=&\dfrac{-3552}{-3.34\cdot10^{5}}\\\Rightarrow\;m&=&10.6\cdot10^{-3}kg\\\Rightarrow\;m&=&10.6\;g \end{array}$

Le système est donc composé de :

$m_{Fe}=500\;g\text{ de fer à la température de }0^{\circ}C$ ;

$m_{g}=10.6\;g\text{ de glace à la température de }0^{\circ}C$

$m_{\text{ eau }}=200-10.6=189.4\;g\text{ d'eau à la température de }0^{\circ}C$

Autre méthode

Soit

$Q_{1}$ l'énergie captée par le fer pour passer de

$\theta_{1}$ à

$\theta_{e}$

$\begin{array}{rcl} Q_{1}&=&m_{1}C_{Fe}\left(\theta_{e}-\theta_{1}\right)\\\Rightarrow\;Q_{1}&=&500\cdot10^{-3}\times460\left(\theta_{e}-(-)\right)\\\Rightarrow\;Q_{1}&=&230\theta_{e}+6900 \end{array}$

Soit

$Q_{2}$ l'énergie cédée par l'eau pour passer de

$\theta_{2}$ à

$\theta_{e}$

$\begin{array}{rcl} Q_{2}&=&m_{2}C_{\text{eau}}\left(0-\theta_{2}\right)+m_{2}L_{s}+m_{2}C_{\text{glace}}\left(\theta_{e}-0\right) \\&=&0.2\times4185(0-4)+0.2\left(-3.34\cdot10^{5}\right)+0.2\times2090\left(\theta_{e}-0\right)\\\Rightarrow\;Q_{2}&=&-3348-66800+418\theta_{e} \end{array}$

Si l'eau se transforme entièrement en glace, elle cédera beaucoup plus d'énergie que celle nécessaire pour que le morceau de fer ait une température de

$0^{\circ}C$

La température d'équilibre sera donc de

$0^{\circ}C.$

On aura donc :

$Q_{1}=6900J$ et

$Q_{2}=-3348J$

Soit

$m$ la masse d'eau qui va geler et soit

$Q$ l'énergie cédée par l'eau pour se transformer en glace.

Le système

${\text{eau}+\text{fer}}$ est isolé :

$\begin{array}{rcl} Q+Q_{1}+Q_{2}&=&0\\\Rightarrow\;Q&=&-Q_{1}-Q_{2}\\\Rightarrow\;Q&=&-6900+3348\\\Rightarrow\;Q&=&-3552J \end{array}$

$\begin{array}{rcl} Q&=&mL_{s}\\\Rightarrow\;m&=&\dfrac{Q}{L_{s}}\\&=&\dfrac{-3552}{-3.34\cdot10^{5}}\\\Rightarrow\;m&=&10.6\cdot10^{-3}\;kg\\\Rightarrow\;m&=&10.6\;g \end{array}$

Le système est donc composé de :

$m_{Fe}=500\,g$ de fer à la température de

$0^{\circ}C$

$m_{g}=10.6\;g$ de glace à la température de

$0^{\circ}C$ ;

$m_{\text{eau}}=200-10.6=189.4\;g$ d'eau à la température de

$0^{\circ}C;$

2. Détermination de l'état final d'équilibre su système (température finale, masse des différents corps présents dans le calorimètre).

Soit

$Q_{1}$ l'énergie captée par l'eau et calorimètre pour passer de

$\theta_{1}$ à

$\theta_{e}$

$Q_{2}=\left(m_{1}+C\right)+\left(\theta_{e}-\theta_{1}\right)$

Soit

$Q_{2}$ l'énergie cédée par le glaçon pour passer de

$\theta_{2}$ à

$\theta_{e}$

$Q_{2}=m_{2}C_{2}\left(\theta-\theta_{2}\right)+m_{2}L_{f}+m_{2}C_{e}\left(\theta_{e}-\theta\right)$

le bilan thermique s'écrit :

$\begin{array}{rcl} Q_{1}+Q_{2}&=&0\\\Rightarrow\left(m_{1}C_{e}+C\right)\left(\theta_{e}-\theta_{1}\right)+m_{2}C_{g}\left(\theta-\theta_{2}\right)+m_{2}L_{f}+m_{2}C_{e}\left(\theta_{e}-0\right)&=&0\\\Rightarrow\left(m_{1}C_{e}+C+m_{2}C_{e}\right)\theta_{e}&=&\left(m_{1}C_{e}+C\right)\theta_{1}m_{2}C_{g}\theta_{2}-m_{2}L_{f}\\\Rightarrow\theta_{e}&=&\dfrac{\left(m_{1}C_{e}+C\right)\theta_{1}+m_{2}C_{g}\theta_{2}-m_{2}L_{f}}{\left(m_{1}C_{e}+C+m_{2}C_{e}\right)}\\\Rightarrow\theta_{e}&=&\dfrac{\left(200\cdot10^{-3}\times4185+150\right)\times50+160\cdot10^{-3}\times2090\times-23-160\cdot10^{-3}\times3.34\cdot10^{5}}{\left(200\cdot10^{-3}\times4185+150+160\cdot10^{-3}\times4185\right)}\\\Rightarrow\theta_{e}&=&-7.11^{\circ}C \end{array}$

Ce résultat est aberrant car à cette température et sous la pression atmosphérique, l'eau est à l'état solide.

La totalité de la glace ne fondra pas et la température du système sera

$\theta_{e}=0^{\circ}C$

Soit

$Q_{1}$ l'énergie cédée par l'eau et le calorimètre pour passer de

$\theta_{1}=50^{\circ}C$ à

$\theta_{e}=0^{\circ}C$

$\begin{array}{rcl} Q_{1}&=&\left(m_{1}C_{e}+C\right)\left(\theta_{e}-\theta_{1}\right)\\&=&\left(200\cdot10^{-3}\times 4185+150\right)(0-50)\\\Rightarrow\;Q_{1}&=&-49350J \end{array}$

Soit

$Q_{2}$ l'énergie captée par le bloc de glace pour passer de

$\theta_{2}=-23^{\circ}C$ à

$\theta_{e}=^{\circ}C$

$\begin{array}{rcl} Q_{2}&=&m_{2}c_{g}\left(\theta_{e}-\theta_{1}\right)\\\Rightarrow\;Q_{2}&=&160\cdot10^{-3}\times2090(0-(-23))\\\Rightarrow\;Q_{2}&=&7691.20J \end{array}$

Soit

$m$ la masse de glace qui va fondre et soit

$Q$ l'énergie captée par cette glace.

Le système

${\text{eaau}+\text{glace}+\text{calorimètre}}$ est isolé :

$\begin{array}{rcl} Q+Q_{1}+Q_{2}&=&0\\\Rightarrow\;Q&=&-Q_{1}-Q_{2}\\\Rightarrow\;Q&=&49350-7691.2\\\Rightarrow\;Q&=&41658.80J \end{array}$

$\begin{array}{rcl} Q&=&mL_{f}\\\Rightarrow\;m&=&\dfrac{Q}{L_{f}}\\&=&\dfrac{41658.80}{3.34\cdot10^{5}}\\\Rightarrow\;m&=&125\cdot10^{-3}kg\\\text{ ou }m&=&125\;g \end{array}$

Le système est donc composé de :

$m_{g}=160-125=35\;g$ de glace à la température de

$0^{\circ}C.$

$m_{\text{eau}}=200+125=325\;g$ d'eau à la température de

$0^{\circ}C$

Exercice 11

Détermination de la capacité thermique d'un calorimètre

1. Détermination de la température d'équilibre

Quantité de chaleur captée par l'eau froide :

$Q_{1}=m_{1}C_{e}\left(\theta_{e}-\theta_{1}\right)$

Quantité de chaleur cédée par l'eau chaude :

$Q_{2}=m_{2}C_{e}\left(\theta_{e}-\theta_{2}\right)$

Le système

${\text{eau}+\text{calorimètre}}$ est isolé :

$\begin{array}{rcl} Q_{1}+Q_{2}&=&0\\\Rightarrow\;m_{1}c_{e}\left(\theta_{e}-\theta_{1}\right)+m_{2}c_{e}\left(\theta_{e}-\theta_{2}\right)&=&0\\\Rightarrow\left(m_{1}c_{e}+m_{2}c_{e}\right)\theta_{e}-\left(m_{1}c_{e}\theta_{1}+m_{2}c_{e}\theta_{2}\right)&=&0\\\Rightarrow\theta_{e}&=&\dfrac{m_{1}\theta_{1}+m_{2}\theta_{2}}{m_{1}+m_{2}}\\&=&\dfrac{250\times18+300\times80}{250+300}\\\Rightarrow\theta_{e}&=&51.8^{\circ}C \end{array}$

2. Détermination de la capacité thermique

$C$ du calorimètre et de ses accessoires.

Quantité de chaleur captée par l'eau froide et le calorimètre :

$Q_{1}=\left(m_{1}c_{e}+C\right)\left(\theta_{e}-\theta_{1}\right)$

Quantité de chaleur cédée par l'eau chaude :

$Q_{2}=m_{2}c_{e}\left(\theta_{e}-\theta_{2}\right)$

Le système

${\text{eau}+\text{calorimètre}}$ est isolé :

$\begin{array}{rcl} Q_{1}+Q_{2}&=&0\\\Rightarrow\left(m_{1}c_{e}+C\right)\left(\theta_{e}-\theta_{1}\right)+m_{2}c_{e}\left(\theta_{e}-\theta_{2}\right)&=&0\\\Rightarrow\;C\left(\theta_{e}-\theta_{1}\right)&=&-m_{1}c_{e}\left(\theta_{e}-\theta_{1}\right)-m_{2}c_{e}\left(\theta_{e}-\theta_{2}\right)\\\Rightarrow\;C&=&\dfrac{m_{1}c_{e}\left(\theta_{e}-\theta_{1}\right)+m_{2}C_{2}\left(\theta_{e}-\theta_{2}\right)}{\theta_{e}-\theta_{1}}\\C&=&\dfrac{250\cdot10^{-3}\times4185(50-18)+300\cdot10^{-3}\times4185(50-80)}{50-18}\\\Rightarrow\;C&=&130.8J\cdot K^{-1} \end{array}$

La capacité thermique du calorimètre est

$130.8J\cdot K^{-1}$

Exercice 12

A. Mesure de la capacité thermique d'un calorimètre.

1. Détermination de la valeur

$\theta_{2}$ de la température final de l'eau après mélange

Quantité de chaleur captée par l'eau et le calorimètre :

$Q_{0}=m_{0}c_{e}\left(\theta_{2}-\theta_{0}\right)=\mu_{0}V_{0}c_{e}\left(\theta_{2}-\theta_{0}\right)$

Quantité de chaleur cédée par l'eau chaude :

$Q_{1}=m_{1}c_{e}\left(\theta_{2}-\theta_{1}\right)$

Le système

${\text{eau}+\text{calorimètre}}$ est isolé :

$\begin{array}{rcl} Q_{0}+Q_{1}&=&0\\\Rightarrow\mu_{0}V_{0}C_{e}\left(\theta_{2}-\theta_{0}\right)+m_{1}c_{e}\left(\theta_{2}-\theta_{1}\right)&=&0\\\Rightarrow\left(\mu_{0}V_{0}c_{e}+m_{1}c_{e}\right)\theta_{2}-\left(\mu_{0}V_{0}c_{e}\theta_{1}+m_{1}c_{e}\theta_{1}\right)&=&0\\\Rightarrow\theta_{2}\\&=&\dfrac{\mu_{0}V_{0}\theta_{1}+m_{1}\theta_{1}}{\mu_{0}V_{0}+m_{1}}\\&=&\dfrac{1\times200\times20.0+250\times60.0}{1\times200+250}\\ \Rightarrow\theta_{2}&=&42.2^{\circ}C \end{array}$

2.1. Détermination de la valeur de l'énergie thermique gagnée par le calorimètre.

Soit

$Q$ l'énergie la valeur de l'énergie thermique gagnée par le calorimètre

Le bilan thermique s'écrit :

$\begin{array}{rcl} Q_{0}+Q_{1}+Q&=&0\\\Rightarrow\;Q&=&-Q_{0}-Q_{1}\\\Rightarrow\;Q&=&-\mu_{0}V_{0}c_{e}\left(\theta'_{2}-\theta_{0}\right)-m_{1}c_{e}\left(\theta'_{2} \theta_{1}\right)\\&=&-1\times200\cdot10^{-3}\times4185(38.0-20.0)-250\cdot10^{-3}\times4185(38.0-60.0)\\\Rightarrow\;Q&=&7.95\cdot10^{3}J \end{array}$

2.2 Déduction de la valeur de la capacité thermique du calorimètre.

$\begin{array}{rcl} Q&=&C\left(\theta'_{2}-\theta_{0}\right)\\\Rightarrow\;C&=&\dfrac{Q}{\theta'_{2}-\theta_{0}}\\&=&\dfrac{7.95\cdot10^{3}}{38.0-20.0}\\\Rightarrow\;C&=&442J^{\circ}\cdot C^{-1} \end{array}$

B. Mesure de la chaleur latente

$L_{v}$ de vaporisation de l'eau.

1. Expression, en fonction des données, de l'énergie thermique échangée par le calorimètre et les

$450\;mL$ d'eau liquide.

$\begin{array}{rcl} Q_{1}&=&\left(m_{1}C_{\text{eau}+C}\right)\left(\theta_{4}-\theta_{0}\right)\text{ avec }m_{1}\\&=&\rho_{\text{eau}}V_{0}\\\Rightarrow\;Q_{1}&=&\left(\rho_{\text{eau}}V_{0}C_{\text{eau}+\mu}\right)\left(\theta_{4}-\theta_{0}\right) \end{array}$

Le signe de cette énergie est négatif, car ce système perd de l'énergie thermique

3. Calcul d'une valeur numérique de

$L_{v}$

Le bilan thermique s'écrit :

$\begin{array}{rcl} Q_{1}+Q_{2}&=&0\\\Rightarrow\left(\rho_{\text{eau}}V_{0}C_{\text{eau}}+\mu\right)\left(\theta_{4}-\theta_{0}\right)-m'L_{v}+m'C_{\text{eau}}\left(\theta_{4}-\theta_{3}\right)&=&0\\\Rightarrow\;-m'L_{v} &=&\left(\rho_{\text{eau}}V_{0}C_{\text{eau}}+\mu\right)\left(\theta_{0}-\theta_{4}\right)+m'C_{\text{eau}}\left(\theta_{3}-\theta_{4}\right)\\\Rightarrow\;L_{v}&=&-\dfrac{\left(\rho_{\text{eau}}V_{0}C_{\text{eau}}+\mu\right)\left(\theta_{0}-\theta_{4}\right)+m'C_{\text{eau}}\left(\theta_{3}-\theta_{4}\right)}{m'}\\\Rightarrow\;L_{v}&=&-\dfrac{\left(1\times450\cdot10^{-3}\times4185+100\right)(20.0-45.2)+20.0\cdot10^{-3}\times4185(100-45.2)}{20.0\cdot10^{-3}}\\\Rightarrow\;L_{v}&=&2.27\cdot10^{6}J\cdot kg^{-1} \end{array}$

Auteur:

Sidy Mouhamed Ndiaye

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Anonyme (non vérifié)

lun, 03/03/2025 - 22:31

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