Travail et puissance mécaniques - 1er s

 

Un ouvrier monte un sac à l'aide d'une poulie. Lorsque le sac monte, l'ouvrier travail. Lorsque le reste immobile l'ouvrier se fatigue mais ne travaille pas.

 

Une pierre tombe verticalement sous l'action de la pesanteur. Le poids de la pierre est une force qui se déplace, il effectue un travail.

Une force travail lorsque son poids d'application se déplace

Une force constante est représentée par un vecteur qui reste parallèle à lui-même et qui conserve le même sens, et la même valeur (intensité) au cours du temps. 

Dans un référentiel donné, le travail $(w)$ d'une force constante $(F)$ dont le point d'application de $A$ à $B$ se déplace suivant une ligne droite est donné par :

$$W_{AB}\left(\overrightarrow{F}\right)=\overrightarrow{F}\cdot\overrightarrow{AB}=||\overrightarrow{F}||||\overrightarrow{AB}||\cos(\overrightarrow{F}\overrightarrow{AB})$$

 

On  pose : $||\overrightarrow{F}||=F$  et  $||\overrightarrow{AB}||=AB$

 

$\Rightarrow W_{AB}\left(\overrightarrow{F}\right)=F\cdot AB=F\ AB\cos\alpha$

 

 

$\overrightarrow{F}$ en newtons $(N)$ ; 

 

$AB$ en mètres $(m)$ ; 

 

$W_{AB}(\overrightarrow{F})$ en joules $(J)$

 

$\blacktriangleright\ $Travail moteur et resistant

 

Les deux valeurs $F$ et $AB$ étant toujours positives, le signe du travail dépend de l'angle.

 

Le travail est donc une grandeur algébrique c'est-à-dire, il peut être positif ou négatif.

 

 

La trajectoire $AB$ peut être découpée en une infinité de petits vecteurs déplacent élémentaires rectilignes $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AA_{1}}+\overrightarrow{A_{1}A_{2}}+\ldots\overrightarrow{A_{n}B}$

 

 

Le travail total est la somme de des travaux élémentaires successifs

 

$W_{AB}(\overrightarrow{F})=\overrightarrow{F}\cdot\overrightarrow{AA_{1}}+\overrightarrow{F}\cdot\overrightarrow{A_{1}A_{2}}+\ldots\overrightarrow{F}\cdot\overrightarrow{A_{n}B}$

 

$\Rightarrow W_{AB}(\overrightarrow{F})=\overrightarrow{F}\cdot\left(\overrightarrow{AA_{1}}+\overrightarrow{A_{1}A_{2}}+\ldots\overrightarrow{A_{n}B}\right)$

 

$\Rightarrow W_{AB}(\overrightarrow{F})=\overrightarrow{F}\cdot\overrightarrow{AB}$

 

$\Rightarrow W_{AB}(\overrightarrow{F})=F\cdot AB=F\ AB\cos\alpha$

 

Le travail d'une force constante $F$ ne dépend pas du chemin suivi. Il ne dépend que du point de départ et du point d'arrivée. La force $F$ est appelée « Force conservative ».

 

$\blacktriangleright\ $Application au travail du poids

Remarque :

3.2. Expression du travail d'une force de moment constant 

3.2.1. Expression du travail du couple de force

3.2.2. Généralisation

\begin{eqnarray} W_{AB}\left(\overrightarrow{F}\right)&=&\overrightarrow{F}\cdot\overrightarrow{AB} \nonumber\\\\ &=& \overrightarrow{F}\cdot\left(\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OB}\right) \nonumber\\\\ &=&6\vec{j}\cdot\left(-2\vec{i}-4\vec{j}+-3\vec{i}+4\vec{j}\right)\nonumber\\\\&=&6\vec{j}\cdot-5\vec{i}\nonumber\\\\ &=&6\times-5\cdot10^{-2}\nonumber\\\\ \Rightarrow\;W_{AB}\left(\overrightarrow{F}\right) &=& -30\cdot10^{-2}J\end{eqnarray}

$\blacktriangleright\ $Sur le déplacement $BC$

\begin{eqnarray} W_{BC}\left(\overrightarrow{F}\right)&=&\overrightarrow{F}\cdot\overrightarrow{BC} \nonumber\\\\ &=& \overrightarrow{F}\cdot\left(\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{OC}\right) \nonumber\\\\ &=&6\vec{j}\cdot\left(3\vec{i}-4\vec{j}+2\vec{i}+8\vec{j}\right)\nonumber\\\\&=&6\vec{j}\cdot4\vec{j}\nonumber\\\\ &=&6\times4\cdot10^{-2}\nonumber\\\\ \Rightarrow\;W_{BC}\left(\overrightarrow{F}\right) &=& 24\cdot10^{-2}J\end{eqnarray}

$\blacktriangleright\ $Sur le déplacement $CD$

\begin{eqnarray} W_{CD}\left(\overrightarrow{F}\right)&=&\overrightarrow{F}\cdot\overrightarrow{CD} \nonumber\\\\ &=& \overrightarrow{F}\cdot\left(\overrightarrow{CO}+\overrightarrow{OD}\right) \nonumber\\\\ &=&6\vec{j}\cdot\left(-2\vec{i}-8\vec{j}-4\vec{j}\right)\nonumber\\\\&=&6\vec{j}\cdot-12\vec{j}\nonumber\\\\ &=&6\times-12\cdot10^{-2}\nonumber\\\\ \Rightarrow\;W_{CD}\left(\overrightarrow{F}\right) &=& -72\cdot10^{-2}J\end{eqnarray}