Bac Maths 1er groupe S1 S3 2019

Exercice 1 (4 points)

Pour tout couple d'entiers relatifs non nuls (a, b), on note pgcd (a, b) le plus grand diviseur commun de a et b.

Le plan est muni d'un repère (O, i, j).

1) a) Montrer que si (x, y) est un couple d'entiers relatifs, alors l'entier 35x30y est divisible par 5.   0.5 pt

b) Existe-il un point de la droite d'équation y=76x25 dont les coordonnées sont deux entiers relatifs ?

Justifier.   0.5 pt

Étant donnés deux entiers relatifs p et q premiers entre eux, on considère la droite (Dp, q) d'équation y=76xpq.

On dit que (Dp, q) est une droite rationnelle.

Le but de l'exercice est de trouver une condition nécessaire et suffisante sur p et q pour que la droite rationnelle (Dp, q) comporte au moins un point dont les coordonnées sont des entiers relatifs.

2) On suppose ici, que la droite (Dp, q) comporte un point de coordonnées (x0, y0)x0 et y0 sont des entiers relatifs.

a) Démontrer que q divise le produit 6p.   0.5 pt

b) En déduire que q divise 6.   0.5 pt

3) Réciproquement, on suppose que q divise 6 et on souhaite trouver un couple (x0, y0) d'entiers relatifs tels que y0=76x0pq.

a) On pose 6=qrr est un entier relatif.

Démontrer qu'on peut trouver deux entiers relatifs u et v tels que 7uqrv=1.   0.5 pt

b) En déduire qu'il existe un couple (x0, y0) d'entiers relatifs tels que y0=76x0pq.   0.5 pt

4) a) Soit (Δ) la droite d'équation y=76x83.

Cette droite possède t-elle un point dont les coordonnées sont des entiers relatifs ?

Justifier.   0.5 pt

b) Déterminer tous les points de (Δ) à coordonnées entières.   0.5 pt

Exercice 2 (6 points)

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé (O, i, j, k), on considère les points

A(0, 0, 32),

B(4, 0, 2),

C(2, 23, 2) et

D(2, 23, 2).

1) a) Montrer que ABC est un triangle équilatérale.   0.5 pt

b) Montrer que les points A, B, C et D sont non coplanaires puis démontrer que ABCD est un tétraèdre régulier. 0.5+0.75 pt

c) Calculer le volume du tétraèdre ABCD.   0.5 pt

2) On note P, Q, R et S les milieux respectifs des arêtes [AC], [AD], [BD] et [BC].

a) Déterminer la nature exacte du quadrilatère PQRS.   0.75 pt

b) Calculer l'aire du quadrilatère PQRS.   0.25 pt

3) Le tétraèdre qui est parfaitement équilibré, a une face numérotée 0, une face numérotée 1 et deux faces numérotées 2.

On le lance deux fois de suite et on lit à chaque fois les chiffres apparus sur les trois faces visibles.

Calculer la probabilité des évènements suivants :

E : « le produit des six chiffres apparus est non nul. »   0.5 pt

F : « la somme des six chiffres apparus est supérieure ou égale à 8. »   0.75 pt

4) On note X la variable aléatoire qui à chaque série de deux lancers associe la somme des chiffres apparus sur les faces visibles.

a) Donner la loi de probabilité de X et calculer l'espérance mathématique de X.   0.5+0.25 pt

b) On effectue n fois de suite de manière indépendante l'expérience qui consiste à lancer deux fois de suite le tétraèdre.

Calculer la probabilité pn que l'évènement F soit réalisé au moins une fois.   0.5 pt

c) Calculer limn+pn.   0.25 pt

Problème (10 points)

Soit f la fonction définie sur [0, +[ par : f(x)=1ex et Cf sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O, i, j), unité graphique 2cm.

Partie A

1) a) Étudier la dérivabilité de f à droite en 0.

Interpréter géométriquement le résultat.   0.5 pt

b) Étudier les variations de f et dresser son tableau de variations.   0.75 pt

c) Vérifier que pour tout réel x>12, f(x)<1.

Montrer que l'équation f(x)=x admet dans l'intervalle ]12, +[ une unique solution α et que 0.7<α<0.8.   0.5+2×0.25pt

d) Tracer Cf.   0.5 pt

2) a) Montrer que f admet une fonction réciproque g définie sur un ensemble J que l'on précisera.   0.5 pt

b) Démontrer que l'équation g(x)=x admet dans J une solution unique égale à α.

Tracer la courbe de g.   0.75 pt

c) Expliciter g(x), xJ.   0.25 pt

Partie B

Pour tout entier naturel n non nul, on pose xJ, Fn(x)=g(x)0[f(t)]ndt, et In=Fn(α).

1) Montrer que pour tout xJ, F2=g(x)x2.

Exprimer alors I2 en fonction de α.   0.5+0.25 pt

2) a) Montrer que Fn est dérivable dans J et que pour tout x appartenant à J,Fn(x)=2xn+11x2.0.25+0.5pt

b) Déterminer les réels a, b et c tels que pour tout réel x distinct de 1 et de 1 on ait :
2x21x2=a+b1x+c1+x.0.25pt

c) Pour xJ, expliciter F1(x).

Exprimer alors I1 en fonction de α.   0.5+0.25 pt

d) Déterminer en fonction de α l'aire du domaine plan délimité par Cf , l'axe des abscisses et les droites d'équations x=0 et x=α.   0.25 pt

Partie C

1) a) Montrer que :
Fn+2(x)Fn(x)=2n+2xn+2.0.5pt

b) En déduire que In+2In=2n+2αn+2.   0.25 pt

2) Montrer que :
nN, I2n=αnk=1α2kk
et nN, I2n+1=ln1+α1α2nk=0α2k+12k+12×0.5pt

3) a) Montrer que pour tout nN, 0Inαn+1. 0.5 pt

b) En déduire limn+In, limn+nk=1α2kk et limn+nk=0α2k+12k+1.3×0.25pt

Commentaires

J'aurai besoin de fichiers pdf

Ajouter un commentaire

Plain text

  • Aucune balise HTML autorisée.
  • Les adresses de pages web et de courriels sont transformées en liens automatiquement.