Bac Maths 1er groupe S1 S3 2019
Exercice 1 (4 points)
Le plan est muni d'un repère (O, →i, →j).
1) a) Montrer que si (x, y) est un couple d'entiers relatifs, alors l'entier 35x−30y est divisible par 5. 0.5 pt
b) Existe-il un point de la droite d'équation y=76x−25 dont les coordonnées sont deux entiers relatifs ?
Justifier. 0.5 pt
Étant donnés deux entiers relatifs p et q premiers entre eux, on considère la droite (Dp, q) d'équation y=76x−pq.
On dit que (Dp, q) est une droite rationnelle.
Le but de l'exercice est de trouver une condition nécessaire et suffisante sur p et q pour que la droite rationnelle (Dp, q) comporte au moins un point dont les coordonnées sont des entiers relatifs.
2) On suppose ici, que la droite (Dp, q) comporte un point de coordonnées (x0, y0) où x0 et y0 sont des entiers relatifs.
a) Démontrer que q divise le produit 6p. 0.5 pt
b) En déduire que q divise 6. 0.5 pt
3) Réciproquement, on suppose que q divise 6 et on souhaite trouver un couple (x0, y0) d'entiers relatifs tels que y0=76x0−pq.
a) On pose 6=qr où r est un entier relatif.
Démontrer qu'on peut trouver deux entiers relatifs u et v tels que 7u−qrv=1. 0.5 pt
b) En déduire qu'il existe un couple (x0, y0) d'entiers relatifs tels que y0=76x0−pq. 0.5 pt
4) a) Soit (Δ) la droite d'équation y=76x−83.
Cette droite possède t-elle un point dont les coordonnées sont des entiers relatifs ?
Justifier. 0.5 pt
b) Déterminer tous les points de (Δ) à coordonnées entières. 0.5 pt
Exercice 2 (6 points)
A(0, 0, 3√2),
B(4, 0, −√2),
C(−2, −2√3, −√2) et
D(−2, 2√3, −√2).
1) a) Montrer que ABC est un triangle équilatérale. 0.5 pt
b) Montrer que les points A, B, C et D sont non coplanaires puis démontrer que ABCD est un tétraèdre régulier. 0.5+0.75 pt
c) Calculer le volume du tétraèdre ABCD. 0.5 pt
2) On note P, Q, R et S les milieux respectifs des arêtes [AC], [AD], [BD] et [BC].
a) Déterminer la nature exacte du quadrilatère PQRS. 0.75 pt
b) Calculer l'aire du quadrilatère PQRS. 0.25 pt
3) Le tétraèdre qui est parfaitement équilibré, a une face numérotée 0, une face numérotée 1 et deux faces numérotées 2.
On le lance deux fois de suite et on lit à chaque fois les chiffres apparus sur les trois faces visibles.
Calculer la probabilité des évènements suivants :
E : « le produit des six chiffres apparus est non nul. » 0.5 pt
F : « la somme des six chiffres apparus est supérieure ou égale à 8. » 0.75 pt
4) On note X la variable aléatoire qui à chaque série de deux lancers associe la somme des chiffres apparus sur les faces visibles.
a) Donner la loi de probabilité de X et calculer l'espérance mathématique de X. 0.5+0.25 pt
b) On effectue n fois de suite de manière indépendante l'expérience qui consiste à lancer deux fois de suite le tétraèdre.
Calculer la probabilité pn que l'évènement F soit réalisé au moins une fois. 0.5 pt
c) Calculer lim 0.25 pt
Problème (10 points)
Partie A
1) a) Étudier la dérivabilité de f à droite en 0.
Interpréter géométriquement le résultat. 0.5 pt
b) Étudier les variations de f et dresser son tableau de variations. 0.75 pt
c) Vérifier que pour tout réel x>\dfrac{1}{2}\;,\ f'(x)<1.
Montrer que l'équation f(x)=x admet dans l'intervalle \left]\dfrac{1}{2}\;,\ +\infty\right[ une unique solution \alpha et que 0.7<\alpha<0.8. 0.5+2\times 0.25\;pt
d) Tracer \mathcal{C}_{f}. 0.5 pt
2) a) Montrer que f admet une fonction réciproque g définie sur un ensemble J que l'on précisera. 0.5 pt
b) Démontrer que l'équation g(x)=x admet dans J une solution unique égale à \alpha.
Tracer la courbe de g. 0.75 pt
c) Expliciter g(x), x\in J. 0.25 pt
Partie B
Pour tout entier naturel n non nul, on pose \forall\,x\in J\;,\ F_{n}(x)=\int_{0}^{g(x)}[f(t)]^{n}\mathrm{d}t\;,\text{ et }I_{n}=F_{n}(\alpha).
1) Montrer que pour tout x\in J, F_{2}=g(x)-x^{2}.
Exprimer alors I_{2} en fonction de \alpha. 0.5+0.25 pt
2) a) Montrer que F_{n} est dérivable dans J et que pour tout x appartenant à J,F'_{n}(x)=\dfrac{2x^{n+1}}{1-x^{2}}.\quad0.25+0.5\;pt
b) Déterminer les réels a, b et c tels que pour tout réel x distinct de 1 et de -1 on ait :
\dfrac{2x^{2}}{1-x^{2}}=a+\dfrac{b}{1-x}+\dfrac{c}{1+x}.\quad 0.25\;pt
c) Pour x\in J, expliciter F_{1}(x).
Exprimer alors I_{1} en fonction de \alpha. 0.5+0.25 pt
d) Déterminer en fonction de \alpha l'aire du domaine plan délimité par \mathcal{C}_{f} , l'axe des abscisses et les droites d'équations x=0 et x=\alpha. 0.25 pt
Partie C
1) a) Montrer que :
F_{n+2}(x)-F_{n}(x)=-\dfrac{2}{n+2}x^{n+2}.\quad0.5\;pt
b) En déduire que I_{n+2}-I_{n}=-\dfrac{2}{n+2}\alpha^{n+2}. 0.25 pt
2) Montrer que :
\forall\,n\in\mathbb{N}^{\ast}\;,\ I_{2n}=\alpha-\sum_{k=1}^{n}\dfrac{\alpha^{2k}}{k}
\text{et }\forall\,n\in\mathbb{N}\;,\ I_{2n+1}=\ln\dfrac{1+\alpha}{1-\alpha}-2\sum_{k=0}^{n}\dfrac{\alpha^{2k+1}}{2k+1}\qquad 2\times 0.5\;pt
3) a) Montrer que pour tout n\in\mathbb{N}^{\ast}\;,\ 0\leq I_{n}\leq \alpha^{n+1}. 0.5 pt
b) En déduire \lim_{n\rightarrow +\infty}I_{n}\;,\ \lim_{n\rightarrow +\infty}\sum_{k=1}^{n}\dfrac{\alpha^{2k}}{k}\text{ et }\lim_{n\rightarrow +\infty}\sum_{k=0}^{n}\dfrac{\alpha^{2k+1}}{2k+1}.\quad 3\times 0.25\;pt
Commentaires
Farrage (non vérifié)
mar, 02/11/2020 - 22:59
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