Bac Maths 1er groupe S1 S3 2019

Pour tout couple d'entiers relatifs non nuls $(a\;,\ b)$, on note $pgcd$ $(a\;,\ b)$ le plus grand diviseur commun de $a$ et $b.$

Le plan est muni d'un repère $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j}).$

1) a) Montrer que si $(x\;,\ y)$ est un couple d'entiers relatifs, alors l'entier $35x-30y$ est divisible par $5.$   0.5 pt

b) Existe-il un point de la droite d'équation $y=\dfrac{7}{6}x-\dfrac{2}{5}$ dont les coordonnées sont deux entiers relatifs ?

Justifier.   0.5 pt

Étant donnés deux entiers relatifs $p$ et $q$ premiers entre eux, on considère la droite $(D_{p\;,\ q})$ d'équation $y=\dfrac{7}{6}x-\dfrac{p}{q}.$

On dit que $(D_{p\;,\ q})$ est une droite rationnelle.

Le but de l'exercice est de trouver une condition nécessaire et suffisante sur $p$ et $q$ pour que la droite rationnelle $(D_{p\;,\ q})$ comporte au moins un point dont les coordonnées sont des entiers relatifs.

2) On suppose ici, que la droite $(D_{p\;,\ q})$ comporte un point de coordonnées $(x_{0}\;,\ y_{0})$ où $x_{0}$ et $y_{0}$ sont des entiers relatifs.

a) Démontrer que $q$ divise le produit $6p.$   0.5 pt

b) En déduire que $q$ divise $6.$   0.5 pt

3) Réciproquement, on suppose que $q$ divise $6$ et on souhaite trouver un couple $(x_{0}\;,\ y_{0})$ d'entiers relatifs tels que $y_{0}=\dfrac{7}{6}x_{0}-\dfrac{p}{q}.$

a) On pose $6=qr$ où $r$ est un entier relatif.

Démontrer qu'on peut trouver deux entiers relatifs $u$ et $v$ tels que $7u-qrv=1.$   0.5 pt

b) En déduire qu'il existe un couple $(x_{0}\;,\ y_{0})$ d'entiers relatifs tels que $y_{0}=\dfrac{7}{6}x_{0}-\dfrac{p}{q}.$   0.5 pt

4) a) Soit $(\Delta)$ la droite d'équation $y=\dfrac{7}{6}x-\dfrac{8}{3}.$

Cette droite possède t-elle un point dont les coordonnées sont des entiers relatifs ?

Justifier.   0.5 pt

b) Déterminer tous les points de $(\Delta)$ à coordonnées entières.   0.5 pt

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé $(O,\;\ \vec{i}\;,\ \vec{j}\;,\ \vec{k})$, on considère les points

$A(0\;,\ 0\;,\ 3\sqrt{2})$,

$B(4\;,\ 0\;,\ -\sqrt{2})$,

$C(-2\;,\ -2\sqrt{3}\;,\ -\sqrt{2})$ et

$D(-2\;,\ 2\sqrt{3}\;,\ -\sqrt{2}).$

1) a) Montrer que $ABC$ est un triangle équilatérale.   0.5 pt

b) Montrer que les points $A$, $B$, $C$ et $D$ sont non coplanaires puis démontrer que $ABCD$ est un tétraèdre régulier. 0.5+0.75 pt

c) Calculer le volume du tétraèdre $ABCD.$   0.5 pt

2) On note $P$, $Q$, $R$ et $S$ les milieux respectifs des arêtes $[AC]$, $[AD]$, $[BD]$ et $[BC].$

a) Déterminer la nature exacte du quadrilatère $PQRS.$   0.75 pt

b) Calculer l'aire du quadrilatère $PQRS.$   0.25 pt

3) Le tétraèdre qui est parfaitement équilibré, a une face numérotée $0$, une face numérotée $1$ et deux faces numérotées $2.$

On le lance deux fois de suite et on lit à chaque fois les chiffres apparus sur les trois faces visibles.

Calculer la probabilité des évènements suivants :

E : « le produit des six chiffres apparus est non nul. »   0.5 pt

F : « la somme des six chiffres apparus est supérieure ou égale à $8.$ »   0.75 pt

4) On note $X$ la variable aléatoire qui à chaque série de deux lancers associe la somme des chiffres apparus sur les faces visibles.

a) Donner la loi de probabilité de $X$ et calculer l'espérance mathématique de $X.$   0.5+0.25 pt

b) On effectue $n$ fois de suite de manière indépendante l'expérience qui consiste à lancer deux fois de suite le tétraèdre.

Calculer la probabilité $p_{n}$ que l'évènement F soit réalisé au moins une fois.   0.5 pt

c) Calculer $\lim_{n\rightarrow +\infty}p_{n}.$   0.25 pt

Soit $f$ la fonction définie sur $[0\;,\ +\infty[$ par : $f(x)=\sqrt{1-\mathrm{e}^{-x}}$ et $\mathcal{C}_{f}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$, unité graphique $2\;cm.$

Partie A

1) a) Étudier la dérivabilité de $f$ à droite en $0.$

Interpréter géométriquement le résultat.   0.5 pt

b) Étudier les variations de $f$ et dresser son tableau de variations.   0.75 pt

c) Vérifier que pour tout réel $x>\dfrac{1}{2}\;,\ f'(x)<1.$

Montrer que l'équation $f(x)=x$ admet dans l'intervalle $\left]\dfrac{1}{2}\;,\ +\infty\right[$ une unique solution $\alpha$ et que $0.7<\alpha<0.8.$   $0.5+2\times 0.25\;pt$

d) Tracer $\mathcal{C}_{f}.$   0.5 pt

2) a) Montrer que $f$ admet une fonction réciproque $g$ définie sur un ensemble $J$ que l'on précisera.   0.5 pt

b) Démontrer que l'équation $g(x)=x$ admet dans $J$ une solution unique égale à $\alpha.$

Tracer la courbe de $g.$   0.75 pt

c) Expliciter $g(x)$, $x\in J$.   0.25 pt

Partie B

Pour tout entier naturel $n$ non nul, on pose $$\forall\,x\in J\;,\ F_{n}(x)=\int_{0}^{g(x)}[f(t)]^{n}\mathrm{d}t\;,\text{ et }I_{n}=F_{n}(\alpha).$$

1) Montrer que pour tout $x\in J$, $F_{2}=g(x)-x^{2}.$

Exprimer alors $I_{2}$ en fonction de $\alpha.$   0.5+0.25 pt

2) a) Montrer que $F_{n}$ est dérivable dans $J$ et que pour tout $x$ appartenant à $J$,$$F'_{n}(x)=\dfrac{2x^{n+1}}{1-x^{2}}.\quad0.25+0.5\;pt$$

b) Déterminer les réels $a$, $b$ et $c$ tels que pour tout réel $x$ distinct de $1$ et de $-1$ on ait :
$$\dfrac{2x^{2}}{1-x^{2}}=a+\dfrac{b}{1-x}+\dfrac{c}{1+x}.\quad 0.25\;pt$$

c) Pour $x\in J$, expliciter $F_{1}(x).$

Exprimer alors $I_{1}$ en fonction de $\alpha.$   0.5+0.25 pt

d) Déterminer en fonction de $\alpha$ l'aire du domaine plan délimité par $\mathcal{C}_{f}$ , l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0$ et $x=\alpha.$   0.25 pt

Partie C

1) a) Montrer que :
$$F_{n+2}(x)-F_{n}(x)=-\dfrac{2}{n+2}x^{n+2}.\quad0.5\;pt$$

b) En déduire que $I_{n+2}-I_{n}=-\dfrac{2}{n+2}\alpha^{n+2}.$   0.25 pt

2) Montrer que :
$$\forall\,n\in\mathbb{N}^{\ast}\;,\ I_{2n}=\alpha-\sum_{k=1}^{n}\dfrac{\alpha^{2k}}{k}$$
$$\text{et }\forall\,n\in\mathbb{N}\;,\ I_{2n+1}=\ln\dfrac{1+\alpha}{1-\alpha}-2\sum_{k=0}^{n}\dfrac{\alpha^{2k+1}}{2k+1}\qquad 2\times 0.5\;pt$$

3) a) Montrer que pour tout $n\in\mathbb{N}^{\ast}\;,\ 0\leq I_{n}\leq \alpha^{n+1}.$ 0.5 pt

b) En déduire $$\lim_{n\rightarrow +\infty}I_{n}\;,\ \lim_{n\rightarrow +\infty}\sum_{k=1}^{n}\dfrac{\alpha^{2k}}{k}\text{ et }\lim_{n\rightarrow +\infty}\sum_{k=0}^{n}\dfrac{\alpha^{2k+1}}{2k+1}.\quad 3\times 0.25\;pt$$