Bac Maths 1er Groupe S2 S2A S4 S5 2017

 

Exercice 1 (04 points)

Pour chaque question, une seul des trois propositions est exacte.
 
Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondante à la réponse.
 
Chaque réponse trouvée rapporte 0.5 point et la justification 0.5 point ; soit au total 1 point pour la réponse trouvée.
 
Une réponse fausse ou l'absence de réponse n'enlève pas de point,
 
1) limx0exex2x est égale à :
 
a) 0
 
b) 0.5
 
c) 1
 
2) e1lnxdx est égale à :
 
a) 1
 
b) e1
 
c) e
 
3) La formation générale de l'équation différentielle y+6y+9y=0 est donnée par :
 
a) y(x)=Axe3x
 
b) y(x)=Ae3x+Be3x
 
c) y(x)=(Ax+B)e3x
 
4) f est définie sur ]0, +[ par f(x)=x(lnx)2, alors f(x) est égale à :
 
a) (lnx)2
 
b) xlnx
 
c) (lnx)2+2lnx

Exercice 2 (6 points)

Dans l'ensemble des nombres complexes C, on considère le polynôme P(z) définie par : 
 
P(z)=z4+(3i)z3+(43i)z12i et l'équation (E) : z223z+4=0
 
1) a) Montrer que P(z) est divisible par (zi)(z+3) 0.5pt
 
b) Factoriser P(z) 0.5pt
 
c) En déduire les solutions de l'équation : 
 
P(z)=0 sous la forme trigonométrique. 1pt
 
2) a) Déterminer les nombres complexes α et β solution de l'équation (E) avec >0. 0.5pt
 
b) Écrire α et β sous la forme trigonométrique. 0.5pt
 
3) On considère un dé bien équilibré à six faces et sur chaque face, on inscrit l'un des nombres : 
 
i; 2i; 2i; 3+i; 3i et 3
 
On lance ce dé et on note z le nombre qui apparait sur sa face supérieure.
 
a) Calculer la probabilité de chacun des évènements A et B suivants : 1pt
 
A : z est réel ;
 
B : z est imaginaire pur.
 
b) On lance 5 fois de suite ce même dé.
 
Calculer la probabilité d'obtenir 4 fois la réalisation de l'évènement B. 0.5
 
4) On définit la variable aléatoire θ qui, à chaque nombre z inscrit sur une face, associe son argument principal.
 
a) Déterminer l'ensemble des valeurs prises par θ 0.5pt
 
b) Déterminer lea loi de probabilité de θ. 0.5pt
 
c) Calculer son espérance mathématique E(θ).

Problème (10 points)

Partie A
 
On considère la fonction numérique d'une variable réel f définie par :
f(x)={2x+2+ln(2ex1)si x0,1x(1lnx)si x>0.
 
et (Cf) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O; i; j), unité graphique 2cm.
 
1) a) Montrer que l'ensemble de définition Df de f est Re, puis calculer les limites aux bornes de Df. 1.5;pt
 
b) Montrer que pour tout x0, f(x)=x+2+ln(2ex.) 0.25pt
 
c) Étudier le signe de x(1lnx). 0.25pt
 
d) Étudier la continuité de f en 0. 0.5pt
 
e) On admet que limx0ln(2ex)x=1.
 
Calculer la limite limx0f(x)f(0)x0 et interpréter géométriquement le résultat. 1pt
 
f) Monter que la droite (Δ) d'équation y=x+2+ln2 est asymptote à (Df) au voisinage de , puis étudier la position relative de (Cf) et de la droite (Δ). 0.5pt
 
2) a) Étudier les variations de f 1.5pt
 
b) Dresser son tableau de variations. 0.5pt
 
c) Montrer que l'équation f(x)=0 admet une unique solution λ située dans l'intervalle ]3; 2[.
 
En déduire une valeur approchée de λ à 101 près. 0.5pt
 
3) Tracer les droites asymptotes à (Cf), puis la courbe (Cf). 1.25pt
 
Partie B
 
Soit g la restriction de f à l'intervalle I=]e; +[.
 
1) Montrer que g réalise une bijection de I vers un intervalle J à préciser. 0.25pt
 
2) On note g1 la bijection réciproque de g. 
 
a) Dresser le tableau de variation de g1 0.25pt
 
b) Comment obtient-on la courbe (Cg1) à partir de la courbe (Cg) ?
 
(On ne demande pas la construction de Cg1). 0.25pt
 
Partie C
 
Soit F la fonction définie par :
 
F(x)=ln|1lnx|.
 
1) Déterminer l'ensemble de définition Df de F 0.5pt
 
2) Déterminer la fonction dérivée F de F. 0.5pt
 
3) En déduire l'aire du domaine plan délimité par la courbe (Cf), l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives x=3 et x=5. 0.5pt
 

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