Bac Maths 1er Groupe S2 S2A S4 S5 2017
Exercice 1 (04 points)
Pour chaque question, une seul des trois propositions est exacte.
Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondante à la réponse.
Chaque réponse trouvée rapporte 0.5 point et la justification 0.5 point ; soit au total 1 point pour la réponse trouvée.
Une réponse fausse ou l'absence de réponse n'enlève pas de point,
1) lim est égale à :
a) 0
b) 0.5
c) 1
2) \int_{1}^{\mathrm{e}}\ln x\mathrm{d}x est égale à :
a) 1
b) \mathrm{e}-1
c) \mathrm{e}
3) La formation générale de l'équation différentielle y''+6y'+9y=0 est donnée par :
a) y(x)=Ax\mathrm{e^{-3x}}
b) y(x)=A\mathrm{e^{-3x}}+B\mathrm{e^{3x}}
c) y(x)=(Ax+B)\mathrm{e^{-3x}}
4) f est définie sur ]0\;,\ +\infty[ par f(x)=x(\ln x)^{2}, alors f'(x) est égale à :
a) (\ln x)^{2}
b) x\ln x
c) (\ln x)^{2}+2\ln x
Exercice 2 (6 points)
Dans l'ensemble des nombres complexes \mathbb{C}, on considère le polynôme P(z) définie par :
P(z)=z^{4}+(3-\mathrm{i})z^{3}+(4-3\mathrm{i})z-12\mathrm{i} et l'équation (E)\ :\ z^{2}-2\sqrt{3}z+4=0
1) a) Montrer que P(z) est divisible par (z-\mathrm{i})(z+3) 0.5\;pt
b) Factoriser P(z) 0.5\;pt
c) En déduire les solutions de l'équation :
P(z)=0 sous la forme trigonométrique. 1\;pt
2) a) Déterminer les nombres complexes \alpha et \beta solution de l'équation (E) avec \Im>0. 0.5\;pt
b) Écrire \alpha et \beta sous la forme trigonométrique. 0.5\;pt
3) On considère un dé bien équilibré à six faces et sur chaque face, on inscrit l'un des nombres :
\mathrm{i}\;;\ 2\mathrm{i}\;;\ -2\mathrm{i}\;;\ \sqrt{3}+\mathrm{i}\;;\ \sqrt{3}-\mathrm{i}\text{ et }-3
On lance ce dé et on note z le nombre qui apparait sur sa face supérieure.
a) Calculer la probabilité de chacun des évènements A et B suivants : 1\;pt
A : z est réel ;
B : z est imaginaire pur.
b) On lance 5 fois de suite ce même dé.
Calculer la probabilité d'obtenir 4 fois la réalisation de l'évènement B. 0.5\;
4) On définit la variable aléatoire \theta qui, à chaque nombre z inscrit sur une face, associe son argument principal.
a) Déterminer l'ensemble des valeurs prises par \theta 0.5\;pt
b) Déterminer lea loi de probabilité de \theta. 0.5\;pt
c) Calculer son espérance mathématique E(\theta).
Problème (10 points)
Partie A
On considère la fonction numérique d'une variable réel f définie par :
f(x)=\left\lbrace\begin{array}{ll} 2x+2+\ln\left(2\mathrm{e^{-x}-1}\right)&\text{si }x\leq 0\;,\\ \\ \dfrac{-1}{x(1-\ln x)}&\text{si }x>0. \end{array}\right.
et (\mathcal{C_{f}}) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O\;;\ \vec{i}\;;\ \vec{j}), unité graphique 2\;cm.
1) a) Montrer que l'ensemble de définition \mathcal{D_{f}} de f est \mathbb{R}\setminus{\mathrm{e}}, puis calculer les limites aux bornes de \mathcal{D_{f}}. 1.5;pt
b) Montrer que pour tout x\leq 0, f(x)=x+2+\ln(2-\mathrm{e^{x}}.) 0.25\;pt
c) Étudier le signe de x(1-\ln x). 0.25\;pt
d) Étudier la continuité de f en 0. 0.5\;pt
e) On admet que \lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{\ln(2-\mathrm{e^{x})}}{x}=-1.
Calculer la limite \lim_{x\rightarrow 0^{-}}\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0} et interpréter géométriquement le résultat. 1\;pt
f) Monter que la droite (\Delta) d'équation y=x+2+\ln2 est asymptote à (\mathcal{D_{f})} au voisinage de -\infty, puis étudier la position relative de (\mathcal{C_{f})} et de la droite (\Delta). 0.5\;pt
2) a) Étudier les variations de f 1.5\;pt
b) Dresser son tableau de variations. 0.5\;pt
c) Montrer que l'équation f(x)=0 admet une unique solution \lambda située dans l'intervalle ]-3\;;\ -2[.
En déduire une valeur approchée de \lambda à 10^{-1} près. 0.5\;pt
3) Tracer les droites asymptotes à (\mathcal{C_{f})}, puis la courbe (\mathcal{C_{f})}. 1.25\;pt
Partie B
Soit g la restriction de f à l'intervalle I=]\mathrm{e}\;;\ +\infty[.
1) Montrer que g réalise une bijection de I vers un intervalle J à préciser. 0.25\;pt
2) On note g^{-1} la bijection réciproque de g.
a) Dresser le tableau de variation de g^{-1} 0.25\;pt
b) Comment obtient-on la courbe \left(\mathcal{C_{g^{-1}}}\right) à partir de la courbe (\mathcal{C_{g}}) ?
(On ne demande pas la construction de \mathcal{C_{g^{-1}}}). 0.25\;pt
Partie C
Soit F la fonction définie par :
F(x)=\ln\left|1-\ln x\right|.
1) Déterminer l'ensemble de définition D_{f} de F 0.5\;pt
2) Déterminer la fonction dérivée F' de F. 0.5\;pt
3) En déduire l'aire du domaine plan délimité par la courbe (\mathcal{C_{f}}), l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives x=3 et x=5. 0.5\;pt
Commentaires
Joel Diatta (non vérifié)
sam, 06/26/2021 - 19:17
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tous les exercices et leur corrigé
Papa Talla Thioune (non vérifié)
dim, 07/11/2021 - 00:44
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Voir la correction
Fatima Sow (non vérifié)
jeu, 06/23/2022 - 08:44
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Je souhaite avoir la
Modou tall (non vérifié)
lun, 09/02/2024 - 16:12
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Besoin de la correction du bac 2017
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