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Bac Maths 1er Groupe S2 S2A S4 S5 2017

Exercice 1 (04 points)

Pour chaque question, une seul des trois propositions est exacte.

Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondante à la réponse.

Chaque réponse trouvée rapporte $0.5$ point et la justification $0.5$ point ; soit au total $1$ point pour la réponse trouvée.

Une réponse fausse ou l'absence de réponse n'enlève pas de point,

1) $\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{\mathrm{e^{x}}-\mathrm{e^{-x}}}{2x}$ est égale à :

a) $0$

b) $0.5$

c) $1$

2) $$\int_{1}^{\mathrm{e}}\ln x\mathrm{d}x$$ est égale à :

a) $1$

b) $\mathrm{e}-1$

c) $\mathrm{e}$

3) La formation générale de l'équation différentielle $y''+6y'+9y=0$ est donnée par :

a) $y(x)=Ax\mathrm{e^{-3x}}$

b) $y(x)=A\mathrm{e^{-3x}}+B\mathrm{e^{3x}}$

c) $y(x)=(Ax+B)\mathrm{e^{-3x}}$

4) $f$ est définie sur $]0\;,\ +\infty[$ par $f(x)=x(\ln x)^{2}$, alors $f'(x)$ est égale à :

a) $(\ln x)^{2}$

b) $x\ln x$

c) $(\ln x)^{2}+2\ln x$

Exercice 2 (6 points)

Dans l'ensemble des nombres complexes $\mathbb{C}$, on considère le polynôme $P(z)$ définie par :

$P(z)=z^{4}+(3-\mathrm{i})z^{3}+(4-3\mathrm{i})z-12\mathrm{i}$ et l'équation $(E)\ :\ z^{2}-2\sqrt{3}z+4=0$

1) a) Montrer que $P(z)$ est divisible par $(z-\mathrm{i})(z+3)$ $0.5\;pt$

b) Factoriser $P(z)$ $0.5\;pt$

c) En déduire les solutions de l'équation :

$P(z)=0$ sous la forme trigonométrique. $1\;pt$

2) a) Déterminer les nombres complexes $\alpha$ et $\beta$ solution de l'équation $(E)$ avec $\Im>0.$ $0.5\;pt$

b) Écrire $\alpha$ et $\beta$ sous la forme trigonométrique. $0.5\;pt$

3) On considère un dé bien équilibré à six faces et sur chaque face, on inscrit l'un des nombres :

$\mathrm{i}\;;\ 2\mathrm{i}\;;\ -2\mathrm{i}\;;\ \sqrt{3}+\mathrm{i}\;;\ \sqrt{3}-\mathrm{i}\text{ et }-3$

On lance ce dé et on note $z$ le nombre qui apparait sur sa face supérieure.

a) Calculer la probabilité de chacun des évènements $A$ et $B$ suivants : $1\;pt$

$A$ : $z$ est réel ;

$B$ : $z$ est imaginaire pur.

b) On lance $5$ fois de suite ce même dé.

Calculer la probabilité d'obtenir $4$ fois la réalisation de l'évènement $B.$ $0.5\;$

4) On définit la variable aléatoire $\theta$ qui, à chaque nombre $z$ inscrit sur une face, associe son argument principal.

a) Déterminer l'ensemble des valeurs prises par $\theta$ $0.5\;pt$

b) Déterminer lea loi de probabilité de $\theta.$ $0.5\;pt$

c) Calculer son espérance mathématique $E(\theta).$

Problème (10 points)

Partie A

On considère la fonction numérique d'une variable réel $f$ définie par :

$$f(x)=\left\lbrace\begin{array}{ll} 2x+2+\ln\left(2\mathrm{e^{-x}-1}\right)&\text{si }x\leq 0\;,\\ \\ \dfrac{-1}{x(1-\ln x)}&\text{si }x>0. \end{array}\right.$$

et $(\mathcal{C_{f}})$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O\;;\ \vec{i}\;;\ \vec{j})$, unité graphique $2\;cm.$

1) a) Montrer que l'ensemble de définition $\mathcal{D_{f}}$ de $f$ est $\mathbb{R}\setminus{\mathrm{e}}$, puis calculer les limites aux bornes de $\mathcal{D_{f}}.$ $1.5;pt$

b) Montrer que pour tout $x\leq 0$, $f(x)=x+2+\ln(2-\mathrm{e^{x}}.)$ $0.25\;pt$

c) Étudier le signe de $x(1-\ln x).$ $0.25\;pt$

d) Étudier la continuité de $f$ en $0.$ $0.5\;pt$

e) On admet que $\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{\ln(2-\mathrm{e^{x})}}{x}=-1.$

Calculer la limite $\lim_{x\rightarrow 0^{-}}\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}$ et interpréter géométriquement le résultat. $1\;pt$

f) Monter que la droite $(\Delta)$ d'équation $y=x+2+\ln2$ est asymptote à $(\mathcal{D_{f})}$ au voisinage de $-\infty$, puis étudier la position relative de $(\mathcal{C_{f})}$ et de la droite $(\Delta)$. $0.5\;pt$

2) a) Étudier les variations de $f$ $1.5\;pt$

b) Dresser son tableau de variations. $0.5\;pt$

c) Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\lambda$ située dans l'intervalle $]-3\;;\ -2[.$

En déduire une valeur approchée de $\lambda$ à $10^{-1}$ près. $0.5\;pt$

3) Tracer les droites asymptotes à $(\mathcal{C_{f})}$, puis la courbe $(\mathcal{C_{f})}.$ $1.25\;pt$

Partie B

Soit $g$ la restriction de $f$ à l'intervalle $I=]\mathrm{e}\;;\ +\infty[.$

1) Montrer que $g$ réalise une bijection de $I$ vers un intervalle $J$ à préciser. $0.25\;pt$

2) On note $g^{-1}$ la bijection réciproque de $g.$

a) Dresser le tableau de variation de $g^{-1}$ $0.25\;pt$

b) Comment obtient-on la courbe $\left(\mathcal{C_{g^{-1}}}\right)$ à partir de la courbe $(\mathcal{C_{g}})$ ?

(On ne demande pas la construction de $\mathcal{C_{g^{-1}}}$). $0.25\;pt$

Partie C

Soit $F$ la fonction définie par :

$F(x)=\ln\left|1-\ln x\right|.$

1) Déterminer l'ensemble de définition $D_{f}$ de $F$ $0.5\;pt$

2) Déterminer la fonction dérivée $F'$ de $F.$ $0.5\;pt$

3) En déduire l'aire du domaine plan délimité par la courbe $(\mathcal{C_{f}})$, l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives $x=3$ et $x=5.$ $0.5\;pt$