Corrigé Bac pc 1er groupe S2 S2A S4 S5 2018

4.1.1 Nom du phénomène :

 

Lorsque qu'on ferme l'interrupteur on a le phénomène d'auto-induction.

 

4.1.2 Schéma et vecteur champ magnétique :

4.1.3 Expression de l'inductance :

 

$\begin{array}{rcl} \Phi&=&NBS\quad\text{or }\ B=\dfrac{\mu_{0}Ni}{\ell}\\ \\ \Rightarrow\ \Phi&=&N\dfrac{\mu_{0}Ni}{\ell}S\\ \\&=&\dfrac{\mu_{0}N^{2}i}{\ell}S\quad\text{or }\ L=\dfrac{\Phi}{i}\\ \\\Rightarrow\ L&=&\dfrac{\mu_{0}N^{2}S}{\ell}\end{array}$

 

Calcul de l'inductance : 

 

$\begin{array}{rcl} L&=&\dfrac{4\pi.10^{-7}[1280]^{2}\times 314.10^{-4}}{0.8}\\ &=&0.081\;H\\&=&81\;mH\end{array}$

 

$\boxed{L=81\;mH}$

 

4.2.1 Attribution des courbes :

 

Le condensateur étant chargée à $t=0$ donc $u_{C}=u_{AM}\neq 0$ : 

 

courbe 1 $(u_{AM})\ $ et courbe 2 $(u_{DM}).$

 

Le phénomène expliquant la décroissance de l'amplitude de la courbe 1 : c'est la perte d'énergie par effet joule.

 

4.2.2 Relations : $$i=-\dfrac{dq}{dt}\quad\text{et}\quad u_{DM}=R.i$$

 

4.2.3 Équation différentielle :

 

$\begin{array}{rcl} & &u_{AM}=u_{AD}+u_{DM}\\ \\&\Rightarrow&u_{AM}=L.\dfrac{di}{dt}+R.i\quad\text{or }\ i=-\dfrac{dq}{dt}\ \text{ et }\ q=C.u_{AM}\\ \\&\Rightarrow&i=-C.\dfrac{du_{AM}}{dt}\ \text{ et }\ \dfrac{di}{dt}=-C.\dfrac{d^{2}u_{AM}}{dt^{2}}\\ \\&\Rightarrow&u_{AM}=-LC\dfrac{d^{2}u_{AM}}{dt^{2}}-RC\dfrac{du_{AM}}{dt}\\ \\&\Rightarrow&u_{AM}+LC\dfrac{d^{2}u_{AM}}{dt^{2}}+RC\dfrac{du_{AM}}{dt}=0\\ \\&\Rightarrow&\dfrac{d^{2}u_{AM}}{dt^{2}}+\dfrac{R}{L}\dfrac{du_{AM}}{dt}+\dfrac{1}{LC}u_{AM}=0\end{array}$

 

La pseudo-période : 

 

graphiquement $3.5\;T=14.7\;ms\ \Rightarrow\ T=\dfrac{14.7}{3.5}=4.2\;ms$

 

Valeur de la capacité : 

 

$\begin{array}{rcl} T\approx T_{0}=2\pi\sqrt{LC}&\Rightarrow&LC=\dfrac{T^{2}}{4\pi^{2}}\\ \\&\Rightarrow&C=\dfrac{T^{2}}{4\pi^{2}L}\\ \\&\Rightarrow&C=\dfrac{(4.2\;10^{-3})^{2}}{4\pi^{2}\times 0.081}\\ \\& &\quad=5.6\;10^{-6}\;F\end{array}$

 

$\boxed{C=5.6\;10^{-6}\;F}$

 

4.2.4 Expression de l'énergie électromagnétique :

 

$\begin{array}{rcl} & &E_{e,m}=\dfrac{1}{2}Li^{2}+\dfrac{1}{2}\dfrac{q^{2}}{C}\quad\text{or }\ q=C.u_{AM}\\ \\&\Rightarrow&u_{DM}=R.i\\ \\&\Rightarrow&E_{e,m}=\dfrac{1}{2}L\left[\dfrac{u_{DM}}{R}\right]^{2}+\dfrac{1}{2}Cu_{AM}^{2}\end{array}$

 

4.2.5 Valeur de $E_{e,m}(t=14.7\;ms)$

 

$\begin{array}{rcl} E_{e,m}=E_{\text{condensateur}}&=&\dfrac{1}{2}Cu_{AM}^{2}\\ \\&=&\dfrac{1}{2}\times 5.6\;10^{-6}\times(1.4)^{2}\\ \\&=&5.49\;10^{-6}\;J\end{array}$

 

$\boxed{E_{e,m}=5.49\;10^{-6}\;J}$

 

L'énergie dissipée : 

 

$E_{\text{dissipée}}=|E_{e,m}(t=14.7\;ms)-E_{e,m}(t=0)|$

 

$\begin{array}{rcl} E_{e,m}(t=0)&=&E_{\text{condensateur}}\\ \\&=&\dfrac{1}{2}Cu_{AM}^{2}\\ \\&=&\dfrac{1}{2}\times 5.6\;10^{-6}\times(6)^{2}\\ \\&=&100.8\;10^{-6}\;J\end{array}$

 

$E_{\text{dissipée}}=100.8\;10^{-6}-5.49\;10^{-6}=9.53\;10^{-5}\;J$

 

$\boxed{E_{\text{dissipée}}=9.53\;10^{-5}\;J}$

5.1.1 Composition des noyaux :

 

$_{26}^{59}Fe\left\lbrace\begin{array}{rcr} 26&\text{ protons}&\\33&\text{ neutrons}&\end{array}\right.\quad _{27}^{59}Co\left\lbrace\begin{array}{rcr} 27&\text{ protons}&\\32&\text{ neutrons}&\end{array}\right.$

 

Les deux noyaux ont en commun le même nombre de nucléons.

 

5.1.2 Calcul des énergies de liaison : $E_{L}=\Delta m.C^{2}$

 

$\begin{array}{rcl} E_{L}(_{26}^{59}Fe)&=&[26\times 1.00728+33\times 1.00867-58.9348755]\times 931.5\\&=&503.49\;MeV\end{array}$

 

$\begin{array}{rcl} E_{L}(_{27}^{59}Co)&=&[27\times 1.00728+32\times 1.00867-58.9331950]\times 931.5\\&=&503.76\;MeV\end{array}$

 

5.1.3 Comparaison de la stabilité des noyaux :

 

La stabilité d'un noyau est déterminée par la valeur de son énergie de liaison par nucléon. Comme les deux noyaux ont le même nombre de nucléons, la comparaison des énergies de liaison suffit pour comparer leur stabilité.

Le cobalt-59 est plus stable que le fer-59.

 

5.2.1 Équation de désintégration du fer :

 

$$_{26}^{59}Fe\ \longrightarrow\ _{27}^{59}Co + _{Z}^{A}X$$

 

$\left\lbrace\begin{array}{rcl} 59&=&59+A\ \Rightarrow\ A=0\ :\ \text{ loi de conservation du nombre de nucléons}\\26&=&27+Z\ \Rightarrow\ Z=-1\ :\ \text{ loi de conservation du nombre de charge}\end{array}\right.$

 

$$\Rightarrow\ _{Z}^{A}X=_{-1}^{\;\ 0}e$$

 

5.2.2 La particule émise et son origine :

 

La particule émise est un électron $_{-1}^{\;\ 0}e$ : l'émission d'un électron par un noyau s'explique par la transformation d'un neutron en proton : $$_{0}^{1}n\ \longrightarrow\ _{-1}^{\;\ 0}e + _{1}^{1}p$$

 

5.2.3.1 Définition de l'activité :

 

L'activité d'un échantillon radioactif est le nombre de désintégrations par unité de temps.

 

Expression de l'activité : $A=A_{0}\mathrm{e}^{-\lambda t}$

 

5.2.3.2 Calcul de la valeur de $\lambda$ :

 

$\begin{array}{rcrcl} A(t)=A_{0}\mathrm{e}^{-\lambda t}&\Rightarrow&A(t+10)&=&A_{0}\mathrm{e}^{-\lambda(t+10)}\\ \\&\Rightarrow&\dfrac{A(t)}{A(t+10)}&=&\dfrac{A_{0}\mathrm{e}^{-\lambda t}}{A_{0}\mathrm{e}^{-\lambda(t+10)}}\\ \\&\Rightarrow&\dfrac{A(t)}{A(t+10)}&=&\dfrac{\mathrm{e}^{-\lambda t}}{\mathrm{e}^{-\lambda(t+10)}}=1.17\\ \\&\Rightarrow&\mathrm{e}^{10.\lambda t}&=&1.17\\ \\&\Rightarrow&\lambda&=&\dfrac{\ln 1.17}{10}\\ \\& & &=&1.57\;10^{-2}\;\text{Jour}^{-1}\end{array}$

 

$\boxed{\lambda=1.57\;10^{-2}\;\text{Jour}^{-1}}$

 

La demi-vie $T$ : 

 

$T=\dfrac{\ln 2}{\lambda}=\dfrac{\ln 2}{1.57\;10^{-2}}=44.1\;\text{jours}$

 

$\boxed{T=44.1\;\text{jours}}$

 

5.2.3.3 Calcul de $A_{0}$ :

 

$\begin{array}{rcl} A_{0}&=&\lambda N_{0}\\ \\&=&\lambda.\dfrac{m_{0}}{m(_{26}^{59}Fe)}\\ \\&=&\dfrac{1.57\;10^{-2}}{24\times 3600}\times\dfrac{1.5\;10^{-6}}{58.9331950\times 1.66\;10^{-27}}\\ \\&=&2.79\;10^{12}\;Bq\end{array}$

 

$\boxed{A_{0}=2.79\;10^{12}\;Bq}$

 

5.2.4 Masse de fer désintégrée à $t=10\;\text{jours}$ :

 

$\begin{array}{rcl} m_{\text{desint}}&=&m_{0}-m_{0}\mathrm{e}^{-\lambda t}\\&=&m_{0}(1-\mathrm{e}^{-\lambda t})\\&=&1.5(1-\mathrm{e}^{-1.57\;10^{-2}\times 10})\\&=&0.218\;mg\end{array}$

 

$\boxed{m_{\text{desint}}=0.218\;mg}$