Série d'exercices sur les angles orientés et trigonométrie 1e S

Vérifier les identités suivantes :

1) $(1+\sin x+\cos x)^{2}=(1+\sin x)(1+\cos x)$

2) $\cot^{2}x-\cos^{2}x=\cot^{2}x\cos^{2}x$

3) $\dfrac{1-\sin x}{\cos x}=\dfrac{\cos x}{1+\sin x}$

4) $\tan^{2}x+\cot^{2}x=\dfrac{1}{\sin^{2}x\cos^{2}x}-2$

5) $2(\sin^{6}x+\cos^{6}x)-3(\sin^{4}+\cos^{4}x)+1=0$

6) $\sin^{2}x-\sin^{2}y=\dfrac{1}{1+\tan^{2}y}-\dfrac{1}{1+\tan^{2}x}$

Exprimer en fonction des lignes trigonométriques de l'angle $\alpha$ les lignes trigonométriques des angles suivants :

$a)\ \alpha-5\pi\;;\qquad b)\ -\alpha-\pi\;;\qquad c)\ -\alpha-2\pi$

$d)\ -\alpha-\dfrac{\pi}{2}\;;\qquad e)\ \alpha-\dfrac{9\pi}{2}\;;\qquad f)\ -\alpha+\dfrac{5\pi}{2}$

Calculer les lignes trigonométriques des angles suivants:

$a)\ 3\pi\;,\ -5\pi\;,\ \dfrac{3\pi}{2}\;;\qquad b)\ \dfrac{3\pi}{4}\;,\ -\dfrac{7\pi}{4}\;,\ \dfrac{15\pi}{4}$

$c)\ -\dfrac{2\pi}{3}\;,\ \dfrac{5\pi}{3}\;,\ \dfrac{8\pi}{3}\;;\qquad d)\ \dfrac{7\pi}{6}\;,\ \dfrac{13\pi}{6}\;,\ \dfrac{31\pi}{6}$

Simplifier les expressions suivantes :

$A=\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-\alpha\right)-\cos(-\alpha+2k\pi)+\cos(3\pi+\alpha)+\sin\left(\alpha-\dfrac{7\pi}{2}\right)$

$B=2\tan\left(\alpha+\dfrac{3\pi}{2}\right)+\tan\left(\alpha-\dfrac{5\pi}{2}\right)+3\cot(\alpha+k\pi)-\cot[(2h+1)\pi-\alpha]$

$C=\dfrac{\cos\left(3\alpha+\dfrac{3\pi}{2}\right)+\cos\left(\dfrac{5\pi}{2}-3\alpha\right)+\sin(3\alpha+k\pi)}{\cos(3\alpha-\pi)+\cos(k\pi+3\alpha)+3\sin\left(\dfrac{3\pi}{2}-3\alpha\right)}$

Dans chacun des cas suivants, on donne la valeur de $\sin\alpha$ et l'intervalle où varie $\alpha$.

On demande $\cos \alpha$ et $\tan \alpha$

$1)\ \alpha\in\;\left[-\dfrac{\pi}{2}\;;\ 0\right]\text{ et }\sin \alpha=-0.6$

$2)\ \alpha\in\;[0\;;\ \pi]\text{ et }\sin \alpha=\dfrac{15}{17}$

$3)\ \alpha\in\;\left[\dfrac{\pi}{2}\;;\ \pi\right]\text{ et }\sin \alpha=\sqrt{\dfrac{2}{3}}$

Dans chacun des cas suivants, on donne la valeur de $\cos \alpha$ et l'intervalle où varie $\alpha$.

On demande $\sin \alpha$ et $\tan \alpha$

$1)\ \alpha\in\;\left[\dfrac{-\pi}{2}\;;\ 0\right]\text{ et }\cos \alpha=\dfrac{\sqrt{5}}{3}$

$2)\ \alpha\in\;\left[\pi\;;\ \dfrac{3\pi}{2}\right]\text{ et }\cos \alpha=-0.8$

$3)\ \alpha\in\;\left[\dfrac{\pi}{2}\;;\ \pi\right]\text{ et }\cos \alpha=1-\sqrt{2}$

Dans chacun des cas suivants, on donne la valeur de $\tan \alpha$ et l'intervalle où varie $\alpha$.

On demande $\cos \alpha$ et $\sin \alpha$

$1)\ \alpha\in\;[0\;;\ \pi]\text{ et }\tan\alpha=-2\;;\qquad 2)\ \alpha\in\;\left[\dfrac{3\pi}{2}\;;\ 2\pi\right]\text{ et }\tan\alpha=-\dfrac{3}{4}$

$3)\ \alpha\in\;\left[\pi\;;\ \dfrac{3\pi}{2}\right]\text{ et }\tan\alpha=\dfrac{8}{15}\;;\qquad 4)\ \alpha\in\;\left[0\;;\ \dfrac{\pi}{2}\right]\text{ et }\tan\alpha=2-\sqrt{3}$

Résoudre les équations suivantes :

$1)\ \cos\left(x-\dfrac{\pi}{2}\right)=\cos3x\;;\qquad 2)\ \cos\left(2x-\dfrac{\pi}{4}\right)=\cos\left(x+\dfrac{\pi}{6}\right)$

$3)\ \cos\left(2x+\dfrac{\pi}{3}\right)=\cos3x\;;\qquad 4)\ \cos\left(3x+\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{1}{2}$

$5)\ \cos\left(2x-\dfrac{\pi}{4}\right)=-\dfrac{1}{3}\;;\qquad 6)\ 4\cos^{2}x-3=0$

$7)\ 2\cot^{2}x=\dfrac{1}{\sin^{2}x}\;;\qquad 8)\ \sin\left(3x-\dfrac{\pi}{5}\right)=\sin\left(\dfrac{\pi}{5}-x\right)$

$9)\ \sin\left(2x+\dfrac{\pi}{3}\right)=\sin\left(\dfrac{2\pi}{3}-x\right)\;;\qquad 10)\ \sin\left(2x-\dfrac{\pi}{3}\right)=\sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)$

$11)\ \sin\left(\dfrac{\pi}{3}-x\right)=\dfrac{1}{2}\;;\qquad 12)\ 4\sin^{2}x-1=0$

$13)\ \tan\left(2x-\dfrac{\pi}{3}\right)=-\sqrt{3}\;;\qquad 17)\ \sqrt{3}\tan x=3$

N.B Les équations de $n^{\circ}$ pair sont à résoudre dans $[0\;;\ 2\pi[$ et celles de $n^{\circ}$ impair dans $]-\pi\;;\ \pi]$

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes :

$1)\ \sin\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right)=\cos\left(x-\dfrac{\pi}{3}\right)\;;\qquad 2)\ \sin\left(x+\dfrac{\pi}{6}\right)=\cos\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)$

$3)\ \cos\left(2x+\dfrac{\pi}{3}\right)=\sin\left(5x-\dfrac{\pi}{6}\right)\;;\qquad 4)\ \tan\left(3x-\dfrac{\pi}{4}\right)=\cot 2x$

$5)\ \tan\left(x-\dfrac{\pi}{3}\right)=3\cot\left(x-\dfrac{\pi}{3}\right)\;;\qquad 6)\ \tan^{2}4x\tan^{2}x=1$

Résoudre dans $[0\;;\ 2\pi[$ les équations suivantes :

$1)\ \sin2x+\cos3x=0\;;\qquad 2)\ \cos\left(\dfrac{\pi}{3}-x\right)+\sin\left(\dfrac{\pi}{4}+2x\right)=0$

$3)\ \sin^{2}\left(2x+\dfrac{\pi}{3}\right)-\sin^{2}x=0\;;\qquad 4)\ \cos^{2}4x-\sin^{2}3x=0$

$5)\ \tan2x\cot\left(\dfrac{\pi}{6}-x\right)=1\;;\qquad 6)\ 4\sin^{2}\left(x+\dfrac{\pi}{6}\right)-1=0$

Résoudre dans $]-\pi\;;\ \pi]$ les équations suivantes :

$1)\ \sqrt{2}\cos^{2}x-\cos x-\sqrt{2}=0\;;\qquad 2)\ 2\sin^{2}x+\sqrt{3} \sin x-3=0$

$3)\ \tan^{2}x+(\sqrt{3}-1)\tan x-\sqrt{3}=0$

$4)\ \cot^{2}x+(1-\sqrt{3})\cot x-\sqrt{3}=0$

Soit l'équation : $\cos^{2}x+3 \cos x+m=0.$

1) Discuter suivant les valeurs du paramètre $m$ le nombre de solutions de l'équation qui appartiennent à l'intervalle $[0\;;\ 2\pi[$

2) Résoudre l'équation pour $m=-\dfrac{7}{4}$

1) Pour quelles valeurs de $m$, paramètre, l'équation $\tan x+\cot x+m=0$ a-t-elle des solutions ?

2) Montrer que, lorsque l'équation admet des solutions, une de ces solutions et une seule appartient à l'intervalle $[-\dfrac{\pi}{4}\;;\ \dfrac{\pi}{4}]$.

3) Résoudre l'équation pour $m=-\dfrac{4}{\sqrt{3}}$

Résoudre les inéquations suivantes :

$1)\ \sqrt{2}\cos x-1<0\;;\qquad 2)\ 2 \sin x-\sqrt{3}>0$

$3)\ 4\sin^{2}x-2(1+\sqrt{3})\sin x+\sqrt{3}<0$

$4)\ 4\sin^{2}x-2(1-\sqrt{3})\sin x-4+\sqrt{3}>0$

$5)\ \sqrt{3}\tan^{2}x-(1+\sqrt{3})\tan x+1>0$

$6)\ \tan^{2}x-3\leq 0\;;\qquad 7)\ 3\tan^{4}x-4\tan^{2}x+1<0$

$8)\ \dfrac{\tan^{2}x-2}{\tan^{2}x-1}<\dfrac{1}{2}$

$9)\ -4\cos^{2}x-2(\sqrt{2}+1)\cos x+4+\sqrt{2}\leq 0$

$10)\ \tan x-\sqrt{3}\cot x+1-\sqrt{3}>0$

$11)\ 4\sin^{2}x-2(1-\sqrt{3})\cos x-4+\sqrt{3}>0$

$12)\ \sqrt{1-4\sin^{2}x}<2\cos x-1$

$13)\ \dfrac{2}{4\cos^{2}x-1}<1\;;\qquad 14)\ \dfrac{2\cos2x-1}{1+2\cos2x}<0$

1) Former l'équation du second degré dont les racines sont les réels $\sin x$ et $\sin y$ tels que :

$$\left\lbrace\begin{array}{lcl} \sin x+\sin y &=& 1 \\ \sin x\sin y &=& k \end{array}\right.$$

Discuter suivant les valeurs de $k$

2) Déterminer $x$ et $y$ sachant qu'ils appartiennent à $[0\;;\ 2\pi[$ et que $k=0.24$.

Factoriser les expressions suivantes :

$A(x)=1+\cos x+\cos\dfrac{x}{2}\;;\qquad B(x)=1-\cos x+\sin\dfrac{x}{2}$

Exprimer $A(x)=\cos^{2}2x-\cos^{2}x$ en fonction de $\sin x$

Exprimer les expressions suivantes en fonction de $\cos 2x$ :

a) $2\cos^{2}x+4\sin^{2}x$

b) $\cos^{4}x-2\sin^{2}x\cos^{2}x+\sin^{4}x$

c) $\cos^{4}x-\sin^{4}x$

1) Soit le réel $x$ tel que :

$\cos x=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\text{ et }0<x<\dfrac{\pi}{2}$

Calculer $\cos 2x$ et en déduire $x$

2) Soit le réel $x$ tel que :

$\sin x=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}\text{ et }0<x<\dfrac{\pi}{2}$

Calculer $\sin 2x$ et $\cos 2x$.

En déduire $x$

Calculer $\cos\dfrac{\pi}{8}\text{ et }\sin\dfrac{\pi}{8}$

En déduire $\cos\dfrac{3\pi}{8}\text{ et }\sin\dfrac{3\pi}{8}$

(On pourra utiliser $\cos\dfrac{\pi}{4}\text{ et }\sin\dfrac{\pi}{4})$

Montrer que, pour tout réel $x$ :

$a)\ \cos x+\sin x=\sqrt{2}\cos\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)\;;\qquad b)\ \cos x-\sin x=\sqrt{2}\cos\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)$

Démontrer que $$\dfrac{\cos\dfrac{\pi}{8}+\sin\dfrac{\pi}{8}}{\cos\dfrac{\pi}{8}-\sin\dfrac{\pi}{8}}=1+\sqrt{2}$$

1) En utilisant la relation : $2\cos^{2}x=1+\cos 2x$, démontrer que, pour tout $x$ réel :

$a)\ \cos^{4}x=\dfrac{1}{8}(\cos4x+4\cos2x+3)$

$b)\ \sin^{4}x=\dfrac{1}{8}(\cos4x-4\cos2x+3)$

2) Calculer : $\cos^{4}\dfrac{\pi}{8}+\cos^{4}\dfrac{3\pi}{8}+\cos^{4}\dfrac{5\pi}{8}+\cos^{4}\dfrac{7\pi}{8}$

En remarquant que $2\times\dfrac{\pi}{12}=\dfrac{\pi}{6}$, calculer $\cos\dfrac{\pi}{12}\text{ et }\sin\dfrac{\pi}{12}$

Calculer les sinus, cosinus et tangentes des réels suivants :

$a)\ \dfrac{7\pi}{12}=\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{\pi}{4}\text{ et }\dfrac{\pi}{12}=\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\pi}{4}$

$b)\ \dfrac{5\pi}{12}=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi}{6}\text{ et }\dfrac{\pi}{12}=\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{\pi}{6}$

$c)\ -\dfrac{7\pi}{4}\;,\ \dfrac{5\pi}{3}\;,\ -\dfrac{23\pi}{6}\;,\ \dfrac{\pi}{8}$

Démontrer les identités suivantes:

$1)\ \cos a\sin(b-c)+\cos b\sin(c-a)+\cos c\sin(a-b)=0$

$2)\ \sin a\sin(b-c)+\sin b\sin(c-a)+\sin c\sin(a-b)=0$

$3)\ \cos(a+b)\cos(a-b)=\cos^{2}a-\sin^{2}b=\cos^{2}b-\sin^{2}a$

1) Calculer $\cos(a+b+c)$.

En déduire $\cos 3a$ en fonction de $\cos a$.

2) Calculer $\sin(a+b+c)$.

En déduire $\sin 3a$ en fonction de $\sin a$.

3) Calculer $\tan(a+b+c)$.

En déduire $\tan 3a$ en fonction de $\tan a$.

Démontrer les identités suivantes :

$1)\ 2\cos(a+b)\sin(a-b)=\sin 2a-\sin 2b$

$2)\ 2\sin(a+b)\sin(a-b)=\cos 2b-\cos 2a$

$3)\ \tan 2a-\tan a=\dfrac{\tan a}{\cos 2a}$

$4)\ \cos^{2}2a-\sin^{2}a=\cos a \cos 3a$

Soit $\alpha\;,\ \beta\;,\ \gamma$, trois réels tels que $\alpha+\beta+\gamma=\pi$

Par exemple, $\alpha\;,\ \beta\;,\ \gamma$ peuvent être les mesures en radians des angles non orientés d'un triangle $ABC$.

Démontrer les relations suivantes :

$1)\ \sin \alpha+\sin \beta+\sin \gamma=4\cos\dfrac{\alpha}{2}\cos\dfrac{\beta}{2}\cos\dfrac{\gamma}{2}$

$2)\ \cos \alpha+\cos \beta+\cos \gamma=1+4\sin\dfrac{\alpha}{2}\sin\dfrac{\beta}{2}\sin\dfrac{\gamma}{2}$

$3)\ \tan\alpha+\tan\beta+\tan\gamma=\tan \alpha \tan \beta \tan \gamma$

$4)\ \sin \alpha-\sin \beta+\sin \gamma=4\sin\dfrac{\alpha}{2}\cos\dfrac{\beta}{2}\sin\dfrac{\gamma}{2}$

$5)\ \sin 2\alpha+\sin 2\beta+\sin 2\gamma=4\sin \alpha\sin \beta\sin \gamma$

$6)\ \cos^{2}\alpha+\cos^{2}\beta+\cos^{2}\gamma+2\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma=1$

$7)\ \sin^{2}\alpha+\sin^{2}\beta+\sin^{2}\gamma-2\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma=2$

$8)\ \dfrac{\sin\alpha}{\sin\beta \sin\gamma}=\dfrac{1}{\tan \beta}+\dfrac{1}{\tan \gamma}$

$9)\ \sin \gamma=\dfrac{\sin^{2}\alpha-\sin^{2}\beta}{\sin(\alpha-\beta)}$

Dans la figure ci-dessous, on a $AI=6\;,\ BI=8\;,\text{ et }OI=4$.

Le point $O$, intersection des bissectrices, est le centre du cercle inscrit dans le triangle $ABC$.

$OI$ est donc un rayon de ce cercle et l'angle $OIB$ est droit.

1) Calculer $OA$ et $OB$, puis $\sin\left(\dfrac{A}{2}\right)\;,\ \cos\left(\dfrac{A}{2}\right)\;,\ \sin\left(\dfrac{B}{2}\right)\text{ et }\cos\left(\dfrac{B}{2}\right)$

2) Calculer $\sin A\;,\ \cos A\;,\ \sin B\text{ et }\cos B$.

3) Montrer que $\sin C=\sin(A+B)$ . Calculer $\sin C$.

4) Calculer les distances $BC$ et $AC.$

On considère l'équation : $\sin 3x=-\sin 2x\quad(1)$
 
1) Résoudre cette équation dans $\mathbb{R}$, puis dans l'intervalle $]-\pi\;;\ \pi[$.

Représenter les solutions sur le cercle trigonométrique.

2) a) Démontrer que $\sin 3x=\sin x(4\cos^{2}x-1)$.

b) En déduire que l'équation (1) est équivalente à :

$\sin x(4\cos^{2}x+2\cos x-1)=0$.

c) Parmi les solutions trouvées pour (1) , lesquelles sont aussi solutions de l'équation :
$$(4\cos^{2}x+2\cos x-1)=0$$ ?

3) On pose $X=\cos x$.

Résoudre $4X^{2}+2X-1=0$.

En déduire les valeurs exactes de $\cos\dfrac{2\pi}{5}\text{ et }\cos\dfrac{4\pi}{5}$

Sur le cercle trigonométrique $\mathcal{C}$ muni d'un repère orthonormal direct et tel que $\overrightarrow{OA}=\vec{i}$,

On considère les points $B\;,\ C\text{ et }D$ tels que :

$(\overrightarrow{OA}\;,\ \overrightarrow{OB})=x\;,\text{ avec }x\in\;\mathbb{R}\;,\ (\overrightarrow{OB}\;,\ \overrightarrow{OC})=\dfrac{2\pi}{3}\text{ et }(\overrightarrow{OC}\;,\ \overrightarrow{OD})=\dfrac{2\pi}{3}$

1) a) Faire une figure.

Donner une mesure de $(\overrightarrow{OD}\;,\ \overrightarrow{OB})$

b) Démontrer que le triangle $BCD$ est équilatéral quelle que soit la position du point $B$.

c) Montrer que $\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\vec{O}$

d) Préciser une mesure de $(\overrightarrow{OA}\;,\ \overrightarrow{OC})\text{ et de }(\overrightarrow{OA}\;,\ \overrightarrow{OD})$ en fonction de $x.$

2) Déduire des questions précédentes que, pour tout réel $x$,

$\cos x+\cos\left(x+\dfrac{2\pi}{3}\right)+\cos\left(x+\dfrac{4\pi}{3}\right)=0$

et $\sin x+\sin\left(x+\dfrac{2\pi}{3}\right)+\sin\left(x+\dfrac{4\pi}{3}\right)=0$

3) Vérifier les deux égalités précédentes en utilisant les formules d'addition.

1) En regroupant judicieusement les termes et en utilisant les angles associés, montrer que :

$S_{1}=\sin\dfrac{\pi}{8}+\sin\dfrac{3\pi}{8}+\sin\dfrac{5\pi}{8}+\sin\dfrac{7\pi}{8}=0$

$S_{2}=\sin^{2}\dfrac{\pi}{8}+\sin^{2}\dfrac{3\pi}{8}+\sin^{2}\dfrac{5\pi}{8}+\sin^{2}\dfrac{7\pi}{8}=2$

$S_{3}=\sin^{4}\dfrac{\pi}{8}+\sin^{4}\dfrac{3\pi}{8}+\sin^{4}\dfrac{5\pi}{8}+\sin^{4}\dfrac{7\pi}{8}=\dfrac{3}{2}$

2) a) Vérifier que, tout réel $x\;,\ 4 \sin^{3}x=3 \sin x-\sin 3x$.

b) En déduire la valeur exacte de :

$S_{3}=\sin^{3}\dfrac{\pi}{8}+\sin^{3}\dfrac{3\pi}{8}+\sin^{3}\dfrac{5\pi}{8}-\sin^{3}\dfrac{7\pi}{8}$

Calcul de $\cos\dfrac{\pi}{5}\text{ et }\cos\dfrac{2\pi}{5}$

On considère un triangle $ABC$, isocèle en $A$, tel que $BC=a$ et $B$ mesure $\dfrac{2\pi}{5}\;\text{rad}$

La bissectrice de l'angle $B$ coupe $[AC]$ en $D$.

1) Démontrer que les triangles $ABD$ et $BCD$ sont isocèles.

En déduire que : $DA=DB=a.$

2) Démontrer que $AB=2a \cos\dfrac{2\pi}{5}$

En déduire que $\cos\dfrac{\pi}{5}-\cos\dfrac{2\pi}{5}=\dfrac{1}{2}$

3) Démontrer que $BC=BD \cos\dfrac{\pi}{5}+CD\cos\dfrac{2\pi}{5}$

En déduire que $\cos\dfrac{\pi}{5}\cos\dfrac{2\pi}{5}=\dfrac{1}{4}$

4) On pose $x= \cos\dfrac{\pi}{5}\text{ et }y=\cos\dfrac{2\pi}{5}$

On sait que $x-y=\dfrac{1}{2}\text{ et que }xy=\dfrac{1}{2}$

En utilisant $(x+y)^{2}=(x-y)^{2}+4xy$, calculer $x+y$ et en déduire $x$ et $y$.

5) Application :

Calculer les longueurs des cotés du pentagone régulier convexe et du décagone régulier convexe inscrits dans un cercle de rayon $R.$( On exprimera ces longueurs en fonction de $R$)

On considère un demi-cercle $\mathcal{C}$ de diamètre $[AB]$ de centre $O$ et de rayon $R$.

La droite passant par $O$ et orthogonale à $(AB)$ coupe $\mathcal{C}$ en $O.$

Soit $M$ un point de l'arc $BC$ distinct de $B$ et $C.$

On note $x$ la mesure en radians de l'angle $MAB.$

1) Démontrer que $MOB=2x$.

2) La tangente en $M$ à $\mathcal{C}$ coupe la droite $(AB)$ en $D.$

a) Exprimer $MA$ et $MD$ en fonction de $R$ et $x.$

b) Déterminer $x$ de manière que $MA=MD$.

c) Déterminer $x$ de manière que $MA=2MD.$

1) Construire un triangle $ABC$ tel que $A-C=\dfrac{\pi}{2}$

Exprimer $C$ en fonction de $B$ et démontrer que : $0<C<\dfrac{\pi}{2}$

2) Calculer en fonction de $C$ et de la longueur $a=BC$ :

a) le rayon $R$ du cercle circonscrit au triangle $ABC$.

b) les longueurs $b=AC\text{ et }c=AB.$

c) l'aire du triangle $ABC.$

Établir que dans un triangle $ABC$ avec $AB=c\;,\ AC=b\text{ et }BC=a$, on a les formules suivantes :

$a=b \cos C+c \cos B\;;\qquad b=c \cos A+a \cos C\;;\qquad c=a \cos B+b \cos A.$

Soit $ABC$ un triangle dont les angles sont aigus.

Soient $O$ le centre du cercle circonscrit et $H$ l'orthocentre.

1) Démontrer que : $AH=2R \cos A$ et que l'angle $OAH$ est égal à $|B-C|$.

2) Calculer $OH^{2}$ en fonction de $R\;,\ A\text{ et }(B-C)$.

3) En déduire que : $OH^{2}=9R^{2}-(a^{2}+b^{2}+c^{2})$.

Dans tout ce paragraphe, on considère un triangle $ABC$. $S$ désigne son aire, $a\;,\ b\text{ et }c$ désignent les cotés opposés à $A\;,\ B\text{ et }C$ respectivement. On notera (par abus) $\cos A$ au lieu de $\cos\hat{A}$ etc...

On a alors les trois relations fondamentales suivantes :

Formule d'Al-Kashi : $a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos A$

Formule de l'aire du triangle : $S=\dfrac{1}{2}bc\sin A$

Formule des sinus : $\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}$

$p$ désigne le demi périmètre du triangle $ABC$
$\left(p=\dfrac{1}{2}(a+b+c)\right)$
 
On note $R$ le rayon du cercle circonscrit à $ABC\;,\ r$ le rayon du cercle inscrit.

On note enfin $h_{A}\;,\ h_{B}\text{ et }h_{C}$ les longueurs des hauteurs $[AA']\;,\ [BB']\text{ et }[CC']$.

1) Montrer l'égalité :

$\sin A=\dfrac{2}{bc}\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

(on pourra utiliser l'expression de $\cos A$ tirée de la formule d'Al-Kashi et la relation : $\cos^{2}A+sin^{2}A=1$).

2) Montrer l'égalité :

$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

(on pourra utiliser la formule de l'aire d'un triangle).

3) Donner une expression de $h_{A}$ à l'aide des nombres réels $a\;,\ b\text{ et }c$ uniquement (utiliser 2) ).

4) On introduit le point $B_{1}$ diamétralement opposé à $B$ sur le cercle circonscrit.

Utiliser une relation entre les angles $BAC$ et $B_{1}BC$ pour en déduire l'égalité :

$S=2R \sin A$

Établir les égalités :

$\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}=2R$

5) Montrer l'égalité :

$h_{A}=\dfrac{2S}{a}$

6) Montrer l'égalité :

$S=pr.$

On pourra diviser le triangle $ABC$ en six triangles à l'aide du point $\omega$, centre du cercle inscrit.

Les résultats précédents permettent de calculer $S\;,\ h_{A}\;,\ r\text{ et }R$ à l'aide de $a\;,\ b\text{ et }c$

uniquement. On pourra les utiliser dans les exercices qui suivent.

Un triangle $ABC$ a des cotés de longueurs 5, 6 et 7.

Calculer son aire, les longueurs de ses hauteurs, le rayon des cercles inscrit et circonscrit à ce triangle, les hauteurs de ses médianes.

Dans chacun des cas suivants, on demande de calculer les angles et les cotés du triangle $ABN$ sachant que certains éléments sont donnés :

1) On donne :

$a+b=480\;;\quad \hat{A}=70^{\circ}\;,\ \hat{B}=50^{\circ}$

2) On donne :

$S=25\;;\ ab=78\;;\ \hat{B}+\hat{C}=70^{\circ}$

3) On donne :

$h_{A}=8\;;\ h_{B}=12\;;\ h_{C}=18$

Soit $ABC$ un triangle. montrer les relations :

1) $\dfrac{1}{h_{A}}+\dfrac{1}{h_{B}}+\dfrac{1}{h_{C}}=\dfrac{1}{r}$

2) $\dfrac{abc}{a+b+c}=2rR$

3) $a^{2}+b^{2}>\dfrac{c^{2}}{2}$

4 $bc=2Rh_{A}$

Deux cercles de centres $O$ et $O'$, de rayons respectifs $R$ et $R'$ sont tangents extérieurement en $A$, et tangents en $B$ et $C$ à la droite $(BC)$.

Démontrer que le cercle de diamètre $[BC]$ est tangent en $A$ à $(OO')$.

Calculer $BC$ en fonction de $R$ et $R'$.

Soit $a$ un réel strictement positif.

Soit $\alpha$ un réel fixé.

Soit $AOB$ un triangle rectangle en $O$, tel que $OA=3a\text{ et }OB=4a$

1) a) Déterminer $\Gamma_{\alpha}$, ensemble des points $M$ du plan tels que :

$\alpha MO^{2}+MA^{2}+MB^{2}=25a^{2}$.

b) Lorsque $\Gamma_{\alpha}$ est un cercle de centre $\Omega_{\alpha}$,

déterminer l'ensemble des points $\Omega_{\alpha}$ quand $\alpha$ décrit $\mathbb{R}$.

c) Le point $O$ est sur $\Gamma_{\alpha}$.

Démontrer que $\Delta$, tangente en $O$ à $\Gamma_{\alpha}$ est une droite indépendante de $\alpha$.

Caractériser $\Delta$

d) Soit $N$ un point quelconque de $\Delta$.

Démontrer que $N$ a même puissance pour tous les cercles $\Gamma_{\alpha}$

e) Soit $E$ un point fixé de $\Delta$.

On mène par $E$ deux tangentes à un cercle $\Gamma_{\alpha}$.

L'une d'elles est $(EO)$; l'autre est tangente à $\Gamma_{\alpha}$ en $T_{\alpha}$.

Déterminer l'ensemble des points $\Omega_{\alpha}$ quand $\alpha$ décrit $\mathbb{R}$.

2) Déterminer l'ensemble des points $M$ du plan tels que :
$4MA=3MB$.

Déterminer les points $M$ du plan vérifiant à la fois :

$MO^{2}+MA^{2}+MB^{2}=25a^{2}\text{ et }4MA=3MB.$