Série d'exercices sur les fonctions polynômes 1eS
Classe:
Première
Exercice 1
1) On considère le polynôme P(x)=(m2−m)x3+mx2−(m−1)x−3m−2
Déterminer m tel que :
a) degP=3;b) degP=2;c) degP=1
2) Reprendre les questions a), b) et c) ci-dessus avec le polynôme Q(x) suivant :
Q(x)=(m3−m2−6m)x3−(m2+m−2)x2+(m−1)x+2m−1.
Exercice 2
Déterminer, suivant les valeurs de m, le degré du polynôme f(x) dans chacun des cas ci-après :
a) f(x)=2x5−3(m+2)x3+7
b) f(x)=(m2+1)x2+mx+m
c) f(x)=(m−1)x3+(m+1)x2−5x
d) f(x)=(1−m2)x3+2(m+1)x2+3x−m.
Exercice 3
Dans chacun des cas suivants, montrer que x0 est une racine de P(x) puis factoriser P(x) (en polynômes du premier degré si possible).
1) P(x)=x3−21x+36 et x0=3
2) P(x)=2x3+3x2−1 et x0=−1
3) P(x)=x3−8x2+23x−24 et x0=3
4) P(x)=2x3−7x2−5x+4 et x0=−1.
5) f(x)=3x4−2x3+2x−3 et x0=−1
6) P(x)=−3x3+2x2+9x−6 et x0=√3
7) f(x)=2x4+x3−6x2+x+2 et x0=−2
8) P(x)=x4−4x2−x+2 et x0=2.
Exercice 4
Calcul de 1+2+3+⋯+n
1) Déterminer les polynômes f(x) de degré 2 vérifiant la relation P(x)−P(x−1)=x , quel que soit x∈R
2) En donnant successivement à x les valeurs 1, 2, 3,⋯, n dans la relation ci-dessus et en faisant la somme membre à membre des n relations obtenues, exprimer la somme 1+2+3+⋯+n (somme des n premiers entiers naturels non nuls) en fonction de n
Exercice 5
Calcul de 12+22+32+⋯+n2
1) Démontrer qu'il existe un unique polynôme P de degré 3 qui s'annule en 0 et qui vérifie l'égalité suivante :
P(x)−P(x−1)=x2 , quel que soit x∈R
2) En donnant successivement à x les valeurs 1, 2, 3,⋯,n dans la relation ci-dessus et en faisant la somme membre à membre des n relations obtenues, exprimer la somme 12+22+32+⋯+n2 en fonction de n.
Exercice 6
Calcul de 13+23+33+⋯+n3
1) Démontrer qu'il existe un unique polynôme P de degré 4 qui s'annule en 0 et qui vérifie l'égalité suivante :
P(x)−P(x−1)=x3, quel que soit x∈R.
(N.B factoriser f(x)
2) a) En donnant successivement à x les valeurs 1, 2, 3,⋯, n dans la relation ci-dessus et en faisant la somme membre à membre des n relations obtenues, exprimer la somme 13+23+33+⋯+n3 en fonction de n.
b) En utilisant la relation 1+2+3+⋯+n=n(n+1)2,
montrer que :
13+23+33+⋯+n3=(1+2+3+⋯+n)2
Exercice 7
Calcul de 13+33+53+⋯+(2n−1)3
1) Déterminer P(x) polynôme de degré 4, tel que, pour tout réel x,
P(x+1)−P(x)=(2x−1)3
2) En déduire l'expression en fonction de n de la somme
13+33+53+⋯+(2n−1)3
Exercice 8
Calcul de 1×2+2×3+3×4+⋯+n(n+1)
1) Déterminer les polynômes f(x) de degré 2 vérifiant la relation :
P(x)−P(x−1)=x2+x , quel que soit x∈R.
2) En déduire l'expression en fonction de n de la somme
1×2+2×3+3×4+⋯+n(n+1)
Exercice 9
Calcul de 1×2×3+2×3×4+3×4×5+⋯+n(n+1)(n+2)
1) Déterminer les polynômes f(x) de degré 2 vérifiant la relation :
P(x+1)−P(x)=x(x+1)(x+2), quel que soit x∈R.
2) En déduire l'expression en fonction de n de la somme 1×2×3+2×3×4+3×4×5+⋯+n(n+1)(n+2)
Exercice 10
Déterminer un polynôme du second degré divisible par (x−2) et par (x+1), et dont le reste de la division par (x−1) soit 5.
Exercice 11
Déterminer un polynôme du troisième degré divisible par (x−1) et par (x+2), dont les restes respectifs des divisions par (x+1) et (x−3) soient 10 et 30.
Exercice 12
Soient A(x) et B(x) polynômes fixés.
Déterminer les polynômes Q(x) et R(x) tels que :
A(x)=B(x)Q(x)+R(x) avec degR(x)<degB(x) ou R(x)=0
(Autrement dit, effectuer la division euclidienne de A(x) par B(x)).
1) A(x)=2x3−5x2−6x+1 et B(x)=x2−3x+1
2) A(x)=x5−3x4+5x3−x+9 et B(x)=x3−x+2.
3) A(x)=2x4+x3−10x2+6x−5 et B(x)=x2+x−5
Exercice 13
Simplifier les quotients suivants :
A(x)=x3−10x+3x2−5x+6;B(x)=x4+4x3−6x2−7x−10x2+3x−10
C(x)=2x3+17x2+20x−75x3+9x2+15x−25;D(x)=x4+x3−x−1x4−3x3+4x2+3x−5
Exercice 14
Soit P(x)=x(x−b)(x−c)a(a−b)(a−c)+x(x−c)(x−a)b(b−c)(a−c)+x(x−a)(x−b)c(c−a)(c−b)
Calculer P(a), P(b), P(c)
Simplifier P(x)
Exercice 15
Soit P(x)=2x4x3−10x2+3
1) Déterminer un polynôme Q(x), et un polynôme R(x) du premier degré, tels que :
P(x)=(x2−2x−1)Q(x)+R(x)
2) En déduire le quotient et le reste de la division de P(x) par (x−1−√2)
3) Déterminer P(1−√2)
Exercice 16
1) Après avoir déterminé une racine évidente, résoudre dans R l'équation :
x3+2x2−13x+10=0
2) Les restes des divisions d'un polynôme P(x) par x−1, par x+5, et par x−2 sont respectivement 9, −3 et 5.
Déterminer le reste de la division de P(x) par (x−1)(x+5)(x−2)
Sachant que P(x) est du quatrième degré et qu'il est divisible par x2−9, déterminer P(x) ainsi que son quotient par x3+2x2−13x+10
Exercice 17
Vrai / Faux
Parmi les 5 affirmations suivantes, dire celles qui sont vraies et celles qui sont fausses.
Si elles sont vraies, les démontrer, si elles sont fausses, donner un contrexemple.
1) Si une fonction polynôme est de degré 3, alors son carré est de degré 9.
2) Une fonction polynôme admet toujours une racine réelle.
3) La fonction polynôme P définie par : P(x)=x5+x4+7x+1 n'a pas de racines positives.
4) Deux fonctions polynômes qui ont les mêmes racines sont égales.
5) Si α est une racine de deux fonctions polynômes R et S, alors R(x)−S(x) est factorisable par (x−α)
Exercice 18
On considère la fonction polynôme P définie par : P(x)=x3−5x2+3x+1
On note α, β, γ ses racines (si elles existent)
1) Écrire en fonction de α, β et γ la forme totalement factorisée de P(x)
2) Déterminer la valeur des expressions suivantes :
α+β+γ, αβ+βγ+γα, αβγ, 1α+1β+1γ, et α2+β2+γ2
3) Sachant que α=2−√5 et β=1, calculer γ.
Exercice 19
Démontrer que (x−2)2n+(x−1)n−1 est divisible par (x−1)(x−2)
Déterminer le quotient pour n∈{1, 2, 3}
Exercice 20
Démontrer que (x+1)2n−x2n2x−1 est divisible par x(x+1)(2x+1).
Déterminer le quotient pour n∈{2, 3}.
Exercice 21
Les restes respectifs des divisions d'un polynôme P(x) par (x−1) par (x−1), par (x+5), par (x−2), sont 9, −39, 3.
Déterminer R(x), polynôme du second degré, tel que :
P(x)=(x−1)(x+5)(x−2)Q(x)+R(x), où Q(x) est un polynôme qu'on ne demande pas de déterminer.
Exercice 22
Soit P(x)=2x4−x3−10x2+3
1) Déterminer un polynôme Q(x), et un polynôme R(x) du premier degré, tels que :
P(x)=(x2−2x−1)Q(x)+R(x)
2) En déduire le quotient et le reste de la division de P(x) par (x−1−√2)
3) Déterminer P(1−√2)
Exercice 23
Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 1, a1, a2,⋯, an n nombres réels,
b1, b2,⋯bn n autres nombres réels.
On se propose de démontrer le résultat suivant :
Il existe un unique polynôme P vérifiant les conditions suivantes :
a)deg(P)≤n−1;b)P(a1)=b1, P(a2)=b2,⋯P(an)=bn
Ce résultat s'appelle théorème de Lagrange(∗).
1) On suppose qu'il existe deux polynômes P et Q vérifiant les conditions a) et b).
En raisonnant sur le degré et les racines du polynôme (P−Q), démontrer que : P−Q=0
En conclure que, s'il existe un polynome qui satisfait les conditions a) et b), ce polynôme est unique.
2) Pour tout entier i tel que 1≤i≤n, on pose :
Pi(x)=(x−a1)(x−a2)⋯(x−ai−1)(x−ai+1)⋯(x−an)(ai−a1)(ai−a1)(ai−a2)⋯(ai−ai−1)(ai−ai+1)⋯(ai−an)
a) Vérifier que pour tout i tel que 1≤i≤n−1, Pi est un polynôme de degré n−1.
Les polynômes Pi sont appelés polynômes d'interpolation de Lagrange.
b) Vérifier que pour tout i tel que 1≤i≤n−1, on a :
Pi(a1)=Pi(a2)=⋯Pi(ai−1)=Pi(ai+1)=⋯Pi(an)=0 et Pi(ai)=1
c) Démontrer que P=b1P1+b2P2+⋯+bnPn est un polynôme qui vérifie les conditions a) et b) du théorème de Lagrange.
3) Énoncer une conclusion.
Exercice 24
Résolution d'une équation du troisième degré
Le but du problème est la résolution de l'équation :
x3+3x2+15x−99=0(E)
1) On se ramène à la résolution d'une équation de la forme :
X3+pX+q=0
a) Trouver trois réels a, p, q, tels que pour tout x,
x3+3x2+15x−99=(x+a)3+p(x+a)+q
b) En posant x+a=X, vérifier que X3+12X−112=0
2) On résout l'équation X3+12X−112=0(E1)
Pour cela, on pose X=u+v
a) Vérifier que (u+v)3=u3+v3+3uv(u+v)
En déduire que :
Lorsque X=u+v, alors :
X3+12X−112=u3+v3+(3uv+12)(u+v)−112 ; X=u+v est une solution de l'équation (E1)
lorsque : u3+v3=112 et u3v3=−64
b) Trouver deux nombres u et v tels que : u3+v3=112 et u3v3=−64
Indication :
Poser u3=U et v3=V
c) Résoudre l'équation (E1)
Indication :
Vérifier que (2+2√2)3=56+40√2.
d) Résoudre l'équation (E).
Note culturelle :
Réduire l'équation générale ax3+bx2+cx+d=0 à la forme X3+pX+q=0 était une méthode connue par Cardan (1501 − 1576), Viete (1540 − 1603) et Descartes (1596 − 1650).
Les mathématiciens italiens de la Renaissance, en particulier Tartaglia (1500 − 1557) savaient résoudre X3+pX+q=0, mais par une autre méthode que celle exposée à la question 2).
Exercice 25
Quel que soit l'entier n≥5, n4−20n2+4 n'est jamais un nombre premier.
Pour établir ce résultat, on propose la méthode suivante :
1) Soit P(x)=x4−20x2+4.
Vérifier que P(x)=(x2−2)2−16x2 et en déduire une factorisation de P sous la forme A(x)B(x) où A et B sont des polynômes de degré 2.
2) Montrer que les équations A(x)=1 et B(x)=1 n'ont pas de solution dans Z.
3) Conclure
Exercice 26
Ce problème propose des calculs classiques sur les différences finies de polynômes.
Pour toute fonction polynôme P, on pose, pour tout réel x
ΔP(x)=P(x+1)−P(x)
1) Calculer ΔP(x) dans les cas suivants :
a) P(x)=x3;b) P(x)=x2−4x+6;c) P(x)=2x+1.
2) Vérifier que si P est un polynôme quelconque et γ un réel quelconque, Δ(γP(x))=γΔP(x)
3) a) Dans cette question, P est le polynôme de degré n, n≥1, défini par P(x)=xn.
Montrer que ΔP est un polynôme de degré n−1, et que le terme de plus haut degré de ΔP est nxn−1.
b) Déduire des questions 2) et 3).a) que si P est un polynôme quelconque de degré n, alors ΔP est un polynôme de degré n−1.
4) On note P0 et P1 les polynômes respectivement définis par : P0(x)=1 et P1(x)=x−1.
a) Vérifier que ΔP1=P0.
b) On se propose alors de trouver un polynôme P2 tel que : P2(1)=0 et ΔP2=P1.
En supposant qu'il existe une telle fonction polynôme, prouver alors que nécessairement P2 est de degré 2.
Calculer ΔP2(1). Montrer alors que P2(2)=0, puis que pour tout réel x, P2(x)=a(x−1)(x−2), avec a réel.
Montrer que s'il existe un polynôme P2 répondant à la question, alors
P2(x)=12(x−1)(x−2)
Réciproquement, pour le polynôme P2 trouvé, calculer ΔP2, puis conclure.
5) On veut trouver un polynôme P3 de degré 3, tel que P3(1)=0 et ΔP3=P2.
En vous inspirant de la démarche suivie à la question 4, montrer qu'il existe un polynôme et un seul qui répond à la question, le polynôme
P3(x)=16(x−1)(x−2)(x−6)
Note : Les polynômes P0, P1, P2, P3,⋯ sont-appelés polynômes de Newton
6) On pose Δ2P(x)=Δ(ΔP)(x)
a) Calculer Δ2P(x), lorsque P(x)=x2.
b) P est le polynôme du second degré défini par :
P(x)=ax2+bx+c
Calculer P(1), ΔP(1), Δ2P(1)
Montrer alors que pour tout réel x
P(x)=P(1)+ΔP(1)(x−1)+Δ2P(1)2(x−1)(x−2)
P(x)=P(1)+ΔP(1)(x−1)+Δ2P(1)2(x−1)(x−2)
c) Utiliser ce qui précède pour trouver un polynôme P de degré 2 tel que :
P(1)=−1,P(2)=9,P(3)=21
Commentaires
Diop (non vérifié)
mar, 09/01/2020 - 16:34
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correction des exercices
Diaby (non vérifié)
lun, 12/07/2020 - 22:28
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Correction de la série d'exercice sur les fonctions polynôme
Afissatou Diop (non vérifié)
jeu, 01/12/2023 - 22:11
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Merci de m'aider
MAMOUR THIAM (non vérifié)
sam, 12/26/2020 - 21:15
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Mathématiques 1s
Médoune Wade (non vérifié)
mer, 12/30/2020 - 17:43
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Reconnaissance
penda (non vérifié)
ven, 01/01/2021 - 09:23
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Exo
penda (non vérifié)
ven, 01/01/2021 - 09:46
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Résolution d'exercice
Konaté (non vérifié)
sam, 04/10/2021 - 02:04
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Salut je voudrais avoir la correction de cet exercice
Anonyme (non vérifié)
ven, 09/17/2021 - 20:49
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Salut! Un grand merci à vous
Mamadou sow (non vérifié)
lun, 11/22/2021 - 18:53
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Correction de l'exo 23
Mamadou sow (non vérifié)
lun, 11/22/2021 - 18:53
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Exo 23
Mamadou sow (non vérifié)
lun, 11/22/2021 - 18:55
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Correction de l'exo 23
Hachim anli (non vérifié)
dim, 07/03/2022 - 07:52
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Avoir plus de connaissance
Anonyme (non vérifié)
dim, 11/05/2023 - 23:12
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correction svp
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