Série d'exercices sur les fonctions polynômes 1eS

Classe: 
Première
 

Exercice 1

1) On considère le polynôme P(x)=(m2m)x3+mx2(m1)x3m2
 
Déterminer m tel que :
 
a) degP=3;b) degP=2;c) degP=1
 
2) Reprendre les questions a), b)  et  c) ci-dessus avec le polynôme Q(x) suivant :
 
Q(x)=(m3m26m)x3(m2+m2)x2+(m1)x+2m1.

Exercice 2

Déterminer, suivant les valeurs de m, le degré du polynôme f(x) dans chacun des cas ci-après :
 
a) f(x)=2x53(m+2)x3+7
 
b) f(x)=(m2+1)x2+mx+m
 
c) f(x)=(m1)x3+(m+1)x25x
 
d) f(x)=(1m2)x3+2(m+1)x2+3xm.

Exercice 3

Dans chacun des cas suivants, montrer que x0 est une racine de P(x) puis factoriser P(x) (en polynômes du premier degré si possible).
 
1) P(x)=x321x+36  et  x0=3
 
2) P(x)=2x3+3x21  et  x0=1
 
3) P(x)=x38x2+23x24  et  x0=3
 
4) P(x)=2x37x25x+4  et  x0=1.
 
5) f(x)=3x42x3+2x3  et  x0=1
 
6) P(x)=3x3+2x2+9x6  et  x0=3
 
7) f(x)=2x4+x36x2+x+2  et  x0=2
 
8) P(x)=x44x2x+2  et  x0=2.

Exercice 4

Calcul de 1+2+3++n
 
1) Déterminer les polynômes f(x) de degré 2 vérifiant la relation P(x)P(x1)=x , quel que soit xR
 
2) En donnant successivement à x les valeurs 1, 2, 3,, n dans la relation ci-dessus et en faisant la somme membre à membre des n relations obtenues, exprimer la somme 1+2+3++n (somme des n premiers entiers naturels non nuls) en fonction de n

Exercice 5

Calcul de 12+22+32++n2
 
1) Démontrer qu'il existe un unique polynôme P de degré 3 qui s'annule en 0 et qui vérifie l'égalité suivante : 
 
P(x)P(x1)=x2 , quel que soit xR
 
2) En donnant successivement à x les valeurs 1, 2, 3,,n dans la relation ci-dessus et en faisant la somme membre à membre des n relations obtenues, exprimer la somme 12+22+32++n2 en fonction de n.

Exercice 6

Calcul de 13+23+33++n3
 
1) Démontrer qu'il existe un unique polynôme P de degré 4 qui s'annule en 0 et qui vérifie l'égalité suivante :
 
P(x)P(x1)=x3, quel que soit xR.
 
(N.B factoriser f(x)
 
2) a) En donnant successivement à x les valeurs 1, 2, 3,, n dans la relation ci-dessus et en faisant la somme membre à membre des n relations obtenues, exprimer la somme 13+23+33++n3 en fonction de n.
 
b) En utilisant la relation 1+2+3++n=n(n+1)2,
 
montrer que :
13+23+33++n3=(1+2+3++n)2

Exercice 7 

Calcul de 13+33+53++(2n1)3
1) Déterminer P(x) polynôme de degré 4, tel que, pour tout réel x,
P(x+1)P(x)=(2x1)3
2) En déduire l'expression en fonction de n de la somme
13+33+53++(2n1)3

Exercice 8

Calcul de 1×2+2×3+3×4++n(n+1)
 
1) Déterminer les polynômes f(x) de degré 2 vérifiant la relation :
 
P(x)P(x1)=x2+x , quel que soit xR.
 
2) En déduire l'expression en fonction de n de la somme
1×2+2×3+3×4++n(n+1)

Exercice 9

Calcul de 1×2×3+2×3×4+3×4×5++n(n+1)(n+2)
 
1) Déterminer les polynômes f(x) de degré 2 vérifiant la relation :
 
P(x+1)P(x)=x(x+1)(x+2), quel que soit xR.
 
2) En déduire l'expression en fonction de n de la somme 1×2×3+2×3×4+3×4×5++n(n+1)(n+2)

Exercice 10

Déterminer un polynôme du second degré divisible par (x2) et par (x+1), et dont le reste de la division par (x1) soit 5.

Exercice 11

Déterminer un polynôme du troisième degré divisible par (x1) et par (x+2), dont les restes respectifs des divisions par (x+1) et (x3) soient 10  et  30.

Exercice 12

Soient A(x) et B(x) polynômes fixés.
 
Déterminer les polynômes Q(x)  et  R(x) tels que :
A(x)=B(x)Q(x)+R(x) avec  degR(x)<degB(x)  ou  R(x)=0
(Autrement dit, effectuer la division euclidienne de A(x) par B(x)).
 
1) A(x)=2x35x26x+1 et B(x)=x23x+1
 
2) A(x)=x53x4+5x3x+9 et B(x)=x3x+2.
 
3) A(x)=2x4+x310x2+6x5 et B(x)=x2+x5

Exercice 13

Simplifier les quotients suivants :
 
A(x)=x310x+3x25x+6;B(x)=x4+4x36x27x10x2+3x10
 
C(x)=2x3+17x2+20x75x3+9x2+15x25;D(x)=x4+x3x1x43x3+4x2+3x5

Exercice 14

Soit P(x)=x(xb)(xc)a(ab)(ac)+x(xc)(xa)b(bc)(ac)+x(xa)(xb)c(ca)(cb)
 
Calculer P(a), P(b), P(c)
 
Simplifier P(x) 

Exercice 15

Soit P(x)=2x4x310x2+3
 
1) Déterminer un polynôme Q(x), et un polynôme R(x) du premier degré, tels que :
P(x)=(x22x1)Q(x)+R(x)
2) En déduire le quotient et le reste de la division de P(x) par (x12)
 
3) Déterminer P(12)

Exercice 16

1) Après avoir déterminé une racine évidente, résoudre dans R l'équation :
x3+2x213x+10=0 
2) Les restes des divisions d'un polynôme P(x) par x1, par x+5, et par x2 sont respectivement 9, 3  et  5.
 
Déterminer le reste de la division de P(x) par (x1)(x+5)(x2) 
 
Sachant que P(x) est du quatrième degré et qu'il est divisible par x29, déterminer P(x) ainsi que son quotient par x3+2x213x+10 

Exercice 17

Vrai / Faux
 
Parmi les 5 affirmations suivantes, dire celles qui sont vraies et celles qui sont fausses.
 
Si elles sont vraies, les démontrer, si elles sont fausses, donner un contrexemple.
 
1) Si une fonction polynôme est de degré 3, alors son carré est de degré 9.
 
2) Une fonction polynôme admet toujours une racine réelle.
 
3) La fonction polynôme P définie par : P(x)=x5+x4+7x+1 n'a pas de racines positives.
 
4) Deux fonctions polynômes qui ont les mêmes racines sont égales.
 
5) Si α est une racine de deux fonctions polynômes R  et  S, alors R(x)S(x) est factorisable par (xα) 

Exercice 18

On considère la fonction polynôme P définie par : P(x)=x35x2+3x+1 
 
On note α, β, γ ses racines (si elles existent)
 
1) Écrire en fonction de α, β et γ la forme totalement factorisée de P(x)
 
2) Déterminer la valeur des expressions suivantes :
α+β+γ, αβ+βγ+γα, αβγ, 1α+1β+1γ, et α2+β2+γ2
3) Sachant que α=25 et β=1, calculer γ.

Exercice 19

Démontrer que (x2)2n+(x1)n1 est divisible par (x1)(x2) 
 
Déterminer le quotient pour n{1, 2, 3} 

Exercice 20

Démontrer que (x+1)2nx2n2x1 est divisible par x(x+1)(2x+1).
 
Déterminer le quotient pour n{2, 3}.

Exercice 21

Les restes respectifs des divisions d'un polynôme P(x) par (x1) par (x1), par (x+5), par (x2), sont 9, 39, 3.
 
Déterminer R(x), polynôme du second degré, tel que :
 
P(x)=(x1)(x+5)(x2)Q(x)+R(x), où Q(x) est un polynôme qu'on ne demande pas de déterminer.

Exercice 22

Soit P(x)=2x4x310x2+3
 
1) Déterminer un polynôme Q(x), et un polynôme R(x) du premier degré, tels que :
P(x)=(x22x1)Q(x)+R(x)
2) En déduire le quotient et le reste de la division de P(x) par (x12) 
 
3) Déterminer P(12)

Exercice 23

Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 1, a1, a2,, an n nombres réels,
b1, b2,bn n autres nombres réels.
 
On se propose de démontrer le résultat suivant :
 
Il existe un unique polynôme P vérifiant les conditions suivantes :
 
a)deg(P)n1;b)P(a1)=b1, P(a2)=b2,P(an)=bn
 
Ce résultat s'appelle théorème de Lagrange().
 
1) On suppose qu'il existe deux polynômes P  et  Q vérifiant les conditions a) et b).
 
En raisonnant sur le degré et les racines du polynôme (PQ), démontrer que : PQ=0 
 
En conclure que, s'il existe un polynome qui satisfait les conditions a) et b), ce polynôme est unique.
 
2) Pour tout entier i tel que 1in, on pose :
Pi(x)=(xa1)(xa2)(xai1)(xai+1)(xan)(aia1)(aia1)(aia2)(aiai1)(aiai+1)(aian)
a) Vérifier que pour tout i tel que 1in1, Pi est un polynôme de degré n1.
 
Les polynômes Pi sont appelés polynômes d'interpolation de Lagrange.
 
b) Vérifier que pour tout i tel que 1in1, on a :
Pi(a1)=Pi(a2)=Pi(ai1)=Pi(ai+1)=Pi(an)=0  et  Pi(ai)=1
c) Démontrer que P=b1P1+b2P2++bnPn est un polynôme qui vérifie les conditions a) et b) du théorème de Lagrange.
 
3) Énoncer une conclusion.

Exercice 24

Résolution d'une équation du troisième degré
 
Le but du problème est la résolution de l'équation :
x3+3x2+15x99=0(E)
1) On se ramène à la résolution d'une équation de la forme :
X3+pX+q=0
a) Trouver trois réels a, p, q, tels que pour tout x
x3+3x2+15x99=(x+a)3+p(x+a)+q 
b) En posant x+a=X, vérifier que X3+12X112=0 
 
2) On résout l'équation X3+12X112=0(E1) 
 
Pour cela, on pose X=u+v 
 
a) Vérifier que (u+v)3=u3+v3+3uv(u+v) 
 
En déduire que :
 
Lorsque X=u+v, alors :
 
X3+12X112=u3+v3+(3uv+12)(u+v)112 ; X=u+v est une solution de l'équation (E1)
 
lorsque : u3+v3=112  et  u3v3=64 
 
b) Trouver deux nombres u  et  v tels que : u3+v3=112  et  u3v3=64 
 
Indication :
 
Poser u3=U  et  v3=V 
 
c) Résoudre l'équation (E1) 
 
Indication :
 
Vérifier que (2+22)3=56+402.
 
d) Résoudre l'équation (E).
 
Note culturelle :
 
Réduire l'équation générale ax3+bx2+cx+d=0 à la forme X3+pX+q=0 était une méthode connue par Cardan (1501  1576), Viete (1540  1603) et Descartes (1596  1650).
 
Les mathématiciens italiens de la Renaissance, en particulier Tartaglia (1500  1557) savaient résoudre X3+pX+q=0, mais par une autre méthode que celle exposée à la question 2).

Exercice 25

Quel que soit l'entier n5, n420n2+4 n'est jamais un nombre premier.
 
Pour établir ce résultat, on propose la méthode suivante :
 
1) Soit P(x)=x420x2+4.
 
Vérifier que P(x)=(x22)216x2 et en déduire une factorisation de P sous la forme A(x)B(x)A et B sont des polynômes de degré 2.
 
2) Montrer que les équations A(x)=1  et  B(x)=1 n'ont pas de solution dans Z.
 
3) Conclure 

Exercice 26

Ce problème propose des calculs classiques sur les différences finies  de polynômes.
 
Pour toute fonction polynôme P, on pose, pour tout réel x
ΔP(x)=P(x+1)P(x)
1) Calculer ΔP(x) dans les cas suivants :
 
a) P(x)=x3;b) P(x)=x24x+6;c) P(x)=2x+1.
 
2) Vérifier que si P est un polynôme quelconque et γ un réel quelconque, Δ(γP(x))=γΔP(x)
 
3) a) Dans cette question, P est le polynôme de degré n, n1, défini par P(x)=xn.
 
Montrer que ΔP est un polynôme de degré n1, et que le terme de plus haut degré de ΔP est nxn1.
 
b) Déduire des questions 2) et 3).a) que si P est un polynôme quelconque de degré n, alors ΔP est un polynôme de degré n1.
 
4) On note P0  et  P1 les polynômes respectivement définis par : P0(x)=1  et  P1(x)=x1.
 
a) Vérifier que ΔP1=P0.
 
b) On se propose alors de trouver un polynôme P2 tel que : P2(1)=0  et  ΔP2=P1.
 
En supposant qu'il existe une telle fonction polynôme, prouver alors que nécessairement P2 est de degré 2.
 
Calculer ΔP2(1). Montrer alors que P2(2)=0, puis que pour tout réel x, P2(x)=a(x1)(x2), avec a réel.
 
Montrer que s'il existe un polynôme P2 répondant à la question, alors
P2(x)=12(x1)(x2)
Réciproquement, pour le polynôme P2 trouvé, calculer ΔP2, puis conclure.
 
5) On veut trouver un polynôme P3 de degré 3, tel que P3(1)=0 et ΔP3=P2.
 
En vous inspirant de la démarche suivie à la question 4, montrer qu'il existe un polynôme et un seul qui répond à la question, le polynôme
P3(x)=16(x1)(x2)(x6)
Note : Les polynômes P0, P1, P2, P3, sont-appelés polynômes de Newton 
 
6) On pose Δ2P(x)=Δ(ΔP)(x)
 
a) Calculer Δ2P(x), lorsque P(x)=x2.
 
b) P est le polynôme du second degré défini par :
P(x)=ax2+bx+c
Calculer P(1), ΔP(1), Δ2P(1)
 
Montrer alors que pour tout réel x
P(x)=P(1)+ΔP(1)(x1)+Δ2P(1)2(x1)(x2)
c) Utiliser ce qui précède pour trouver un polynôme P de degré 2 tel que :

Commentaires

Salut,je voudrai avoir la correction des exercices pour vérifier mon travail

Je serai ravi d'avoir la direction de la série d'exercice s'il vous plai

Merci de m'aider

C'est vraiment intéressant. Il faut mettre la correction á la disposition des intéressés

Salam collègue j'espère que vous allez. Moi c'est M Wade prof de maths au lycée technique André Peytavin de Saint-Louis. Vu l'importance de ce site et de ce que vous faites, je voudrais vraiment travailler avec vous. En effet, moi et quelques collègues on gère des groupes WhatsApp intéressants et moi personnellement je travaille sur plusieurs documents qui pourraient être intéressant pour cette plate-forme. Donc je reste à l'écoute. Mon numéro WhatsApp est +221772330506. Cordialement Médoune WADE

En m'aidant à faire des efforts pour des exercices

Svp je peux avoir la solution des exercices

P=(3+2√2)-x² déduire que p= (1+√2-x)(1+√2+x)

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Slt c'est urgent je me suis perdu sur l'exo 23 j'ai besoin d'aide

Exo 23

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Je veux avoir la correction d'exercice 5 s'il vous plaît

correction svp

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