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Fonctions scalaires et vectorielles de Leibniz - T S1

I Barycentre

Soient

$(A_{i}\;,\ \alpha_{i})_{1\leq i\leq n}$ ,

$\ n$ points pondérés ;

$\alpha_{i}\in\mathbb{R}\;,\ \ A_{i}\in$ l'espace

$\mathbf{E}.$ On appelle barycentre de

$(A_{i}\;,\ \alpha_{i})$ l'unique point

$G$ vérifiant :

$\alpha_{1}\overrightarrow{GA}_{1}+\alpha_{2}\overrightarrow{GA}_{2}+\ldots+\alpha_{n}\overrightarrow{GA}_{n}=\vec{0}$ avec

$\sum_{i=1}^{n} \alpha_{i} \neq 0$

I.1 Propriétés

$\centerdot\ \$ Propriété caractéristique :

$G$ barycentre de

$(A_{i}\;,\ \alpha_{i})_{1\leq i\leq n}$ , si et seulement si,

$\forall\;M\in\mathbf{E}\;,\ \sum_{i=1}^{n}\alpha_{i}\overrightarrow{MA}_{i}=\left(\sum_{i=1}^{n} \alpha_{i}\right)\overrightarrow{MG}$

$\sum_{i=1}^{n} \alpha_{i} \neq 0$ .

Donc dans le repère orthonormé

$(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$ on a :

$\begin{eqnarray}\sum_{i=1}^{n}\alpha_{i}\overrightarrow{OA}_{i}&=&(\sum_{i=1}^{n} \alpha_{i})\overrightarrow{OG}\nonumber \\ \Rightarrow\ \overrightarrow{OG}&=&\frac{1}{\sum_{i=1}^{n} \alpha_{i}}\left(\alpha_{1}\overrightarrow{OA}_{1}+\alpha_{2}\overrightarrow{OA}_{2}+\ldots+\alpha_{n}\overrightarrow{OA}_{n}\right)\nonumber \end{eqnarray}$

$\Rightarrow G\begin{pmatrix}\dfrac{1}{\sum_{i=1}^{n} \alpha_{i}}(\alpha_{1}x_{1}+\alpha_{2}x_{2}+\ldots+\alpha_{n}x_{n})\\ \\ \dfrac{1}{\sum_{i=1}^{n} \alpha_{i}}(\alpha_{1}y_{1}+\alpha_{2}y_{2}+\ldots+\alpha_{n}y_{n})\end{pmatrix}$

Aussi nous obtenons dans le repère

$(O\;;\ \vec{i}\;,\ \vec{j}\;,\ \vec{k})$ :

$z_{G}=\dfrac{\alpha_{1}z_{A_{1}}+\alpha_{2}z_{A_{2}}+\ldots+\alpha_{n}z_{A_{n}}}{\alpha_{1}+\alpha_{2}+\ldots+\alpha_{n}}$ .

$\centerdot\ \ G$ barycentre de

$(A_{i}\;,\ \alpha_{i})_{1\leq i\leq n}$

$\Leftrightarrow$

$\forall\;k\in \mathbb{R}^{*}\;$ ,

$\ G$ barycentre de

$(A_{i}\;,\ k\alpha_{i})_{1\leq i\leq n}.$ Le barycentre reste inchangé si on multiplie les coefficients par un même réel

$k\neq 0.$

$\centerdot\ \$ Barycentre partiel :

Soit

$G$ barycentre de

$(A_{i}\;,\ \alpha_{i})_{i\in\mathbf{I}}\;, \: \mathbf{I}\subset\mathbb{N}$ .

$G_{1}$ est barycentre de

$(A_{i}\;,\ \alpha_{i})_{i\in\mathbf{I}'}\;, \: \mathbf{I}'\subset\mathbf{I}$ alors

$G$ sera barycentre de

$\left\lbrace\left(G_{1}\;,\ \left(\sum\alpha_{i}\right)_{i\in\mathbf{I'}}\right)\;; \: (A_{i},\ \alpha_{i})_{i\in(\mathbf{I}\setminus\mathbf{I'})}\right\rbrace$

$\centerdot\ \$ Remarques :

Soit

$G$ barycentre de

$(A_{i}\;,\ \alpha_{i})_{i\in\mathbf{I}}\;, \: I\subset\mathbb{N}$ .

$\forall\;i\;,\ j \quad \alpha_{i}=\alpha_{j}$ , on dira alors que

$G$ est isobarycentre de

$A_{i}\;,\ \: i\in\mathbf{I}$ .

$\centerdot\ \$ L'isobarycentre de deux points est leur milieu.

$\centerdot\ \$ L'isobarycentre de trois points non alignés est le centre de gravité du triangle.

I.2 Produit scalaire

Considérons les vecteurs

$\overrightarrow{AB}$ et

$\overrightarrow{AC}$ . Soient les vecteurs

$\vec{u}$ et

$\vec{v}$ tels que :

$\overrightarrow{AB}=\vec{u}$ et

$\overrightarrow{AC}=\vec{v}$

On a :

$\begin{array}{rdl}\vec{u}\cdot\vec{v}&=&||\vec{u}||\times||\vec{v}||\times cos(\vec{u}\;,\ \vec{v})\\ \\&=&\overline{AB}\times\overline{AH}\\ \\&=&xx'+yy'\end{array}$

où

$H$ est le projeté orthogonal de

$C$ sur

$(AB)$ et

$\vec{u}$ et

$\vec{v}$ de coordonnées respectives

$(x\;,\ y)$ et

$(x'\;,\ y')$ dans le repère orthonormé.

I.2.1 Propriétés

$\centerdot\ \ \vec{u}\cdot\vec{v}=\vec{v}\cdot\vec{u}$

$\centerdot\ \ \vec{u}\cdot(\alpha\vec{v})=(\alpha\vec{u}\cdot\vec{v})=\alpha(\vec{u}\cdot\vec{v})$

$\centerdot\ \ \vec{u}\cdot(\vec{v}+\vec{w})=\vec{v}\cdot\vec{u}=\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{u}\cdot\vec{w}$

$\centerdot\ \ \vec{u}\neq\vec{0}\;, \quad \vec{v}\neq\vec{0}\;, \quad \vec{u}\cdot\vec{v}=0\ \Leftrightarrow\ \vec{u}\perp\vec{v}$

I.2.2 Relation d'Alkashi

Soit

$ABC$ un triangle d'angles

$\widehat{A}\;,\ \widehat{B}$ et

$\widehat{C}$ respectivement opposés aux cotés

$a$ ,

$\ b$ et

$c$ . Nous avons :

$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc.cos\widehat{A}$

$b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac.cos\widehat{B}$

$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab.cos\widehat{C}$

$\dfrac{sin\widehat{A}}{a}=\dfrac{sin\widehat{B}}{b}=\dfrac{sin\widehat{C}}{c}=\dfrac{2\mathcal{S}}{abc}$ où

$\mathcal{S}$ est la surface du triangle

$(ABC)$

I.2.3 Théorème de la médiane

Soient

$I$ milieu du segment

$[AB]$ et

$M$ un point du plan tel que

$MBA$ soit un triangle. Alors on a :

$\begin{array}{rcl}\overrightarrow{MI}&=&\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\right)\\ \\MA^{2}+MB^{2}&=&2MI^{2}+\dfrac{AB^{2}}{2}\end{array}$

Soit

$ABC$ un triangle,

$G$ son centre de gravité et

$I$ milieu du segment

$[BC]$ ;

$\overrightarrow{AG}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AI}$

$\overrightarrow{IG}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{IA}$

II Fonctions vectorielles de leibniz

II.1 Définitions

Soient

$(A_{i})_{1\leq i\leq n}$ des points de

$\mathbf{E}\;,\ (\alpha_{i})_{1\leq i\leq n}\in\mathbb{R}$ . On appelle fonction vectorielle de Leibniz l'application

$\vec{f}$ définie dans

$\vec{E}$ (l'ensemble des vecteurs) par :

$\forall\;M\in\mathbf{E} \quad \overrightarrow{f(M)}=\sum_{i=1}^{n} \alpha_{i}\overrightarrow{MA}_{i}=\alpha_{1}\overrightarrow{MA}_{1}+\alpha_{2}\overrightarrow{MA}_{2}+\ldots+\alpha_{n}\overrightarrow{MA}_{n}$

$\centerdot\ \$ Remarque : si

$G$ est barycentre de

$(A_{i}\;,\ \alpha_{i})_{1\leq i\leq n}$ alors

$\overrightarrow{f(G)}=\vec{0}$

II.2 Expression réduite de $\overrightarrow{f(M)}$

$\textbf{1er cas :}$

$\sum\alpha_{i}=0$

$\begin{array}{rcl}\overrightarrow{f(M)}&=&\alpha_{1}\overrightarrow{MA}_{1}+\alpha_{2}\overrightarrow{MA}_{2}+\ldots+\alpha_{n}\overrightarrow{MA}_{n}\\ \\ &=&\alpha_{1}\left(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA}_{1}\right)+\alpha_{2}\left(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA}_{2}\right)+\ldots+\alpha_{n}\left(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA}_{n}\right)\\ \\ &=&\alpha_{1}\overrightarrow{MO}+\alpha_{1}\overrightarrow{OA}_{1}+\alpha_{2}\overrightarrow{MO}+\alpha_{2}\overrightarrow{OA}_{2}+\ldots+\alpha_{n}\overrightarrow{MO}+\alpha_{n}\overrightarrow{OA}_{n}\\ \\ &=&(\alpha_{1}+\alpha_{2}+\ldots+\alpha_{n})\overrightarrow{MO}+\alpha_{1}\overrightarrow{OA}_{1}+\alpha_{2}\overrightarrow{OA}_{2}+\ldots+\alpha_{n}\overrightarrow{OA}_{n}\\ \\ &=&\alpha_{1}\overrightarrow{OA}_{1}+\alpha_{2}\overrightarrow{OA}_{2}+\ldots+\alpha_{n}\overrightarrow{OA}_{n}\\ \\ &=&\overrightarrow{f(O)}\end{array}$

Donc,

$\overrightarrow{f}$ est constante.

$\textbf{2ème cas :}$

$\sum\alpha_{i}\neq 0$ , alors

$(A_{i}\;,\ \alpha_{i})_{1\leq i\leq n}$ admettent un barycentre; soit

$G$ ce barycentre.On a

$\overrightarrow{f(M)}=\sum_{i=1}^{n} \alpha_{i}\overrightarrow{MA}_{i}=\left(\sum_{i=1}^{n} \alpha_{i}\right)\overrightarrow{MG}$

III Fonctions scalaires de Leibniz

III.1 Définitions

Soient

$(A_{i})_{1\leq i\leq n}$

$n$ points,

$(\alpha_{i})_{1\leq i\leq n}\in\mathbb{R}.$ On appelle fonction scalaire de Leibniz l'application définie de

$\mathbf{E}$ vers

$\mathbb{R}$ par :

$f(M)=\sum_{i=1}^{n} \alpha_{i}MA^{2}_{i}$

III.2 Expression réduite de $f(M)$

$\textbf{1er cas :}$

$\sum\alpha_{i}=0$ ,

$\begin{array}{rcl} f(M)&=&\alpha_{1}\overrightarrow{MA_{1}}^{2}+\alpha_{2}\overrightarrow{MA_{2}}^{2}+\ldots+\alpha_{n}\overrightarrow{MA_{n}}^{2}\\ \\&=& \alpha_{1}\left(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA_{1}}\right)^{2}+\alpha_{2}\left(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA_{2}}\right)^{2}+\ldots+\alpha_{n}\left(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA_{n}}\right)^{2}\\ \\&= &(\alpha_{1}+\alpha_{2}+\ldots+\alpha_{n})\overrightarrow{MO}^{2}+\alpha_{1}\overrightarrow{OA_{1}}^{2}+\alpha_{2}\overrightarrow{OA_{2}}^{2}+\ldots+\alpha_{n}\overrightarrow{OA_{n}}^{2}\\ \\&& +\;2\overrightarrow{MO}\cdot\left(\alpha_{1}\overrightarrow{OA}_{1}+\alpha_{2}\overrightarrow{OA}_{2}+\ldots+\alpha_{n}\overrightarrow{OA}_{n}\right)\\ \\&=& f(O)+2\overrightarrow{MO}\cdot\left(\alpha_{1}\overrightarrow{OA}_{1}+\alpha_{2}\overrightarrow{OA}_{2}+\ldots+\alpha_{n}\overrightarrow{OA}_{n}\right)\end{array}$

Donc,

$f(M)=f(O)+2\overrightarrow{MO}\cdot\left(\alpha_{1}\overrightarrow{OA}_{1}+\alpha_{2}\overrightarrow{OA}_{2}+\ldots+\alpha_{n}\overrightarrow{OA}_{n}\right)$

$\textbf{2ème cas :}$

$\sum\alpha_{i}\neq 0$ , alors

$(A_{i},\ \alpha_{i})_{1\leq i\leq n}$ admettent un barycentre; soit

$G$ ce barycentre.On a :

$\begin{array}{rcl} f(M)&=&\alpha_{1}\left(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA_{1}}\right)^{2}+\alpha_{2}\left(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA_{2}}\right)^{2}+\ldots+\alpha_{n}\left(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA_{n}}\right)^{2}\\ \\&=&\left(\sum_{i=1}^{n} \alpha_{i}\right)\overrightarrow{MG}^{2}+f(G)+2\overrightarrow{MG}\cdot\left(\alpha_{1}\overrightarrow{GA}_{1}+\alpha_{2}\overrightarrow{GA}_{2}+\ldots+\alpha_{n}\overrightarrow{GA}_{n}\right) \end{array}$

Ainsi

$f(M)=\left(\sum_{i=1}^{n} \alpha_{i}\right)\overrightarrow{MG}^{2}+f(G)$

Exercice d'application

Soit

$ABC$ un triangle tel que

$AB=AC=5$ et

$BC=6$ .

1) Calculer

$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$

2) Soit

$G$ barycentre de

$(A\;,\ 2)\;,\ (B\;,\ 3)$ et

$(C\;,\ 3)$

a) Calculer

$AG$

b) Soit

$f(M)$ une fonction scalaire de Leibniz définie par

$f(M)=2\overrightarrow{MB}\cdot\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MA}\cdot(\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MB})$

Montrer que

$f(M)=4MG^{2}+f(G)$

c) Calculer

$f(A)$ et

$f(G)$

d) Déterminer l'ensemble des points

$M$ tels que

$f(M)=f(A)$ .

Résolution

$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=AB\times AC\times\cos\widehat{A}=bc\cos\widehat{A}$ , or d'après Alkashi on a :

$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc.cos\widehat{A}\ \Rightarrow\ \cos\widehat{A}=\dfrac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}$ et donc

$\begin{array}{rcl} \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}&=&bc\dfrac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}\\ \\&=&\dfrac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2}\\ \\&=&\dfrac{25+25-36}{2}\\ \\&=&7\end{array}$

2) a)

$G$ barycentre de

$(A\;,\ 2)\;,\ (B\;,\ 3)$ et

$(C\;,\ 3)$ , alors

$\begin{array}{rcl}\overrightarrow{AG}&=&\dfrac{3\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{AC}}{8}\\ \\ \Rightarrow\ AG^{2}&=&\dfrac{9}{64}(AB^{2}+AC^{2}+2\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC})\\ \\&=&\dfrac{9}{64}(25+25+2\times 7)\\ \\&=&9\end{array}$

Donc,

$AG=3$

$\begin{array}{rcl} f(M)&=&2\overrightarrow{MB}\cdot\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MA}\cdot(\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MB})\\ \\ &=&2(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB})\cdot(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC})+(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA})\cdot((\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC})+(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB}))\\ \\ &=&4MG^{2}+\overrightarrow{MG}\cdot\underbrace{(2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{MC})}_{\vec{0}}+2\overrightarrow{GB}\cdot\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GA}\cdot(\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GB})\\ \\ &=&4MG^{2}+2\overrightarrow{GB}\cdot\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GA}\cdot(\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GB})\\ \\ &=&4MG^{2}+f(G)\end{array}$

$f(A)=2\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=14$

On a :

$f(M)=4MG^{2}+f(G)$ , alors

$f(G)=f(M)-4MG^{2}$ et donc pour

$M=A$ on trouve

$f(G)=f(A)-4AG^{2}=-22$

$\begin{array}{rcl} f(M)=f(A)&\Leftrightarrow&4MG^{2}+f(G)=f(A)\\ \\ &\Leftrightarrow&4MG^{2}=f(A)-f(G)\\ \\ &\Leftrightarrow&MG^{2}=\dfrac{f(A)-f(G)}{4}\\ \\ &\Leftrightarrow&MG=\sqrt{\dfrac{14+22}{4}}\ =\ 3\end{array}$

Donc, l'ensemble des points $M$ tels que $f(M)=f(A)$ est le cercle de centre $G$ et de rayon 3.

IV Surfaces et lignes de niveau

$E=\left\lbrace M/ \ \vec{u}\cdot\overrightarrow{MA}=k\right\rbrace$ , $\ \vec{u}$ est un vecteur donné, $A$ un point de $E$ et $k\in\mathbb{R}$ .

$\centerdot\ \$ Dans le plan

$E$ est une droite perpendiculaire à la direction de

$\vec{u}$ .

$\centerdot\ \$ Dans l'espace

$E$ est un plan perpendiculaire à la direction de

$\vec{u}$

$E=\left\lbrace M/ \ MA=MB\right\rbrace$

$\centerdot\ \$ Dans le plan

$E$ est la médiatrice de

$[AB]$ .

$\centerdot\ \$ Dans l'espace

$E$ est le plan médiateur du segment

$[AB]$

$E=\left\lbrace M/ \ AM=k>0\right\rbrace$

$\centerdot\ \$ Dans le plan

$E=\mathcal{C}(A,\ k)$ , le cercle de centre

$A$ et de rayon

$k$ .

$\centerdot\ \$ Dans l'espace

$E=\mathcal{S}(A,\ k)$ , la sphère de centre

$A$ et de rayon

$k$

$E=\left\lbrace M/ \ \overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0\right\rbrace$

$\centerdot\ \$ Dans le plan

$E$ est le cercle de diamètre

$[AB]$

$\centerdot\ \$ Dans l'espace

$E$ est la sphère de diamètre

$[AB]$

Auteur:

Seyni Ndiaye & Diny Faye

Commentaires

agnideachabi (non vérifié)

ven, 08/03/2018 - 17:30

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Calcul vectoriel

Très bon cours

Email:

soulahemana@gmail.com

répondre

vianney (non vérifié)

dim, 11/14/2021 - 13:53

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La notion est bien détaillé j

La notion est bien détaillé j'apprécie comment le cours a été fait

Email:

vianneyqnm@gmail.com

répondre

Anonyme (non vérifié)

sam, 09/24/2022 - 23:26

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Z

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I Barycentre

I.1 Propriétés

I.2 Produit scalaire

I.2.1 Propriétés

I.2.2 Relation d'Alkashi

I.2.3 Théorème de la médiane

II Fonctions vectorielles de leibniz

II.1 Définitions

II.2 Expression réduite de →f(M)\overrightarrow{f(M)}

III Fonctions scalaires de Leibniz

III.1 Définitions

III.2 Expression réduite de f(M)f(M)

Exercice d'application

Résolution

IV Surfaces et lignes de niveau

Commentaires

Calcul vectoriel

La notion est bien détaillé j

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II.2 Expression réduite de $\overrightarrow{f(M)}$

III.2 Expression réduite de $f(M)$