Devoir n° 14 - 2nd s

Classe: 
Seconde

Géométrie

Exercice 

Soit ABCABC un triangle quelconque.
 
1) Construire les points DD et EE tels que : ABCDABCD soit un parallélogramme et EE soit le symétrique de AA par rapport à D.D.
 
2) On désigne par OO le centre de ABCDABCD et par II le milieu de [DC]; (AI)[DC]; (AI) coupe (BD)(BD) en JJ et la parallèle à (BC)(BC) passant par JJ coupe (AB)(AB) en K.K. On note HH le milieu de [JK].[JK].
 
a) Que représente JJ pour le triangle ADCADC ? Justifier la réponse.
 
b) Exprimer AJAJ en fonction de ACAC et AD.AD.
 
c) Montrer que AK=13ABAK=13AB (on pourra, en le justifiant, utiliser l'égalité 3MJ=MC3MJ=MC, où MM désigne le milieu de [AD]).[AD]).
 
d) Des questions précédentes, déduire l'expression de AHAH. Que peut-on en conclure ?

Problème 

Soit un triangle quelconque ABC. P, QABC. P, Q et RR sont les points définis par : aRA+(1a)RB=0;bQA+(1b)QC=0;b(1a)PBa(1b)PC=0aRA+(1a)RB=0;bQA+(1b)QC=0;b(1a)PBa(1b)PC=0a, ba, b sont des réels distincts de 0 et 1.
 
1) a) Construire les points P, QP, Q et RR dans le cas où a=12a=12 et b=13b=13.
 
b) Sur une autre figure, construire P, Q, RP, Q, R dans le cas où a=34a=34 et b=12b=12.
 
c) Qu'observe-t-on dans les deux cas ?
 
2) Dans le cas du 1.a, exprimer en fonction de ABAB et ACAC les vecteurs AR, APAR, AP et AQ.AQ.
 
En déduire RQRQ et RPRP.
 
Que peut-on en conclure sur les points P, QP, Q et RR ?
 
3) a) Dans le cas du 1.a , construire les points A, B et C tels que ARAQ, QCPC et RBPB soient
des parallélogrammes.
 
b) Montrer que AC=RA+CP et AB=QA+BP.
 
c) En déduire que : 4AC=3AB. Que peut-on en conclure ?

Algèbre

Exercice 1

Soit a un réel distinct de 3, 0, 3.
 
Simplifier l'expression A=(3+a3a+3a3+a)÷[1+2÷(3a21)]

Exercice 2

Soient a, b, c trois réels non nuls et distincts deux à deux tels que a+b+c=0.
 
1) Montrer que abc(cab+abc)=2a2bc
 
2) On pose E=(abc+bca+cab)(bca+cab+abc).
 
Déduire du 1) que E=3+2a3+b3+c3abc
 
3) Mettre sous forme de produit de facteurs l'expression a3+b3+c3 (on observera que a+b+c=0).
 
4) En utilisant les questions précédentes, montrer que E=9.

Exercice 3

1) a) Démontrer que pour tous réels x et y, on a : x2+y22xy et (x+y)22(x2+y2)
 
b) On suppose que x2+y2=1. Démontrer que 12xy12
 
2) x, y, z sont trios réels quelconques.
 
a) Démontrer que x2+y2+z2xy+yz+zx.
 
b) On suppose que x2+y2+z2=1. Démontrer que 12xy+yz+zx1.
 
3) Démontrer que (x+y+z)23(x2+y2+z2). Dans quel cas a-t-on l'égalité ?

Exercice 4

a, b, c, d sont des réels quelconques. Montrer que ab+cd(a2+c2)(b2+d2)
(On distinguera les cas ab+cd0 et ab+cd0).
 
 
 
Durée : 4 h
 
Auteur: 
Mouhamadou Ka

Commentaires

La correction s'il vous plait

Je pense qu'il y a erreur dans l'exercice 2 la question 1

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