Devoir n° 14 - 2nd s
Classe:
Seconde
Géométrie
Exercice
Soit ABCABC un triangle quelconque.
1) Construire les points DD et EE tels que : ABCDABCD soit un parallélogramme et EE soit le symétrique de AA par rapport à D.D.
2) On désigne par OO le centre de ABCDABCD et par II le milieu de [DC]; (AI)[DC]; (AI) coupe (BD)(BD) en JJ et la parallèle à (BC)(BC) passant par JJ coupe (AB)(AB) en K.K. On note HH le milieu de [JK].[JK].
a) Que représente JJ pour le triangle ADCADC ? Justifier la réponse.
b) Exprimer →AJ−→AJ en fonction de →AC−−→AC et →AD.−−→AD.
c) Montrer que →AK=13→AB−−→AK=13−−→AB (on pourra, en le justifiant, utiliser l'égalité 3→MJ=→MC3−−→MJ=−−→MC, où MM désigne le milieu de [AD]).[AD]).
d) Des questions précédentes, déduire l'expression de →AH−−→AH. Que peut-on en conclure ?
Problème
Soit un triangle quelconque ABC. P, QABC. P, Q et RR sont les points définis par : a→RA+(1−a)→RB=→0;b→QA+(1−b)→QC=→0;b(1−a)→PB−a(1−b)→PC=→0a−−→RA+(1−a)−−→RB=⃗0;b−−→QA+(1−b)−−→QC=⃗0;b(1−a)−−→PB−a(1−b)−−→PC=⃗0 où a, ba, b sont des réels distincts de 0 et 1.
1) a) Construire les points P, QP, Q et RR dans le cas où a=12a=12 et b=13b=13.
b) Sur une autre figure, construire P, Q, RP, Q, R dans le cas où a=34a=34 et b=12b=12.
c) Qu'observe-t-on dans les deux cas ?
2) Dans le cas du 1.a, exprimer en fonction de →AB−−→AB et →AC−−→AC les vecteurs →AR, →AP−−→AR, −−→AP et →AQ.−−→AQ.
En déduire →RQ−−→RQ et →RP−−→RP.
Que peut-on en conclure sur les points P, QP, Q et RR ?
3) a) Dans le cas du 1.a , construire les points A′, B′ et C′ tels que ARA′Q, QCPC′ et RBPB′ soient
des parallélogrammes.
b) Montrer que →A′C′=→RA+→CP et →A′B′=→QA+→BP.
c) En déduire que : 4→A′C′=3→A′B′. Que peut-on en conclure ?
Algèbre
Exercice 1
Soit a un réel distinct de −√3, 0, √3.
Simplifier l'expression A=(√3+a√3−a+√3−a√3+a)÷[1+2÷(3a2−1)]
Exercice 2
Soient a, b, c trois réels non nuls et distincts deux à deux tels que a+b+c=0.
1) Montrer que ab−c(c−ab+a−bc)=2a2bc
2) On pose E=(ab−c+bc−a+ca−b)(b−ca+c−ab+a−bc).
Déduire du 1) que E=3+2a3+b3+c3abc
3) Mettre sous forme de produit de facteurs l'expression a3+b3+c3 (on observera que a+b+c=0).
4) En utilisant les questions précédentes, montrer que E=9.
Exercice 3
1) a) Démontrer que pour tous réels x et y, on a : x2+y2≥2xy et (x+y)2≤2(x2+y2)
b) On suppose que x2+y2=1. Démontrer que −12≤xy≤12
2) x, y, z sont trios réels quelconques.
a) Démontrer que x2+y2+z2≥xy+yz+zx.
b) On suppose que x2+y2+z2=1. Démontrer que −12≤xy+yz+zx≤1.
3) Démontrer que (x+y+z)2≤3(x2+y2+z2). Dans quel cas a-t-on l'égalité ?
Exercice 4
a, b, c, d sont des réels quelconques. Montrer que ab+cd≤√(a2+c2)(b2+d2)
(On distinguera les cas ab+cd≥0 et ab+cd≤0).
Durée : 4 h
Auteur:
Mouhamadou Ka
Commentaires
Moussa Fall (non vérifié)
lun, 12/19/2022 - 23:26
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La correction s'il vous plait
Moussa Fall (non vérifié)
mar, 12/27/2022 - 14:38
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Je pense qu'il y a erreur
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