Devoir n° 14 - 2nd s

Soit $ABC$ un triangle quelconque.

 

1) Construire les points $D$ et $E$ tels que : $ABCD$ soit un parallélogramme et $E$ soit le symétrique de $A$ par rapport à $D.$

 

2) On désigne par $O$ le centre de $ABCD$ et par $I$ le milieu de $[DC]\;;\ (AI)$ coupe $(BD)$ en $J$ et la parallèle à $(BC)$ passant par $J$ coupe $(AB)$ en $K.$ On note $H$ le milieu de $[JK].$

 

a) Que représente $J$ pour le triangle $ADC\;$ ? Justifier la réponse.

 

b) Exprimer $\overrightarrow{AJ}$ en fonction de $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{AD}.$

 

c) Montrer que $\overrightarrow{AK}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}$ (on pourra, en le justifiant, utiliser l'égalité $3\overrightarrow{MJ}=\overrightarrow{MC}\;$, où $M$ désigne le milieu de $[AD]).$

 

d) Des questions précédentes, déduire l'expression de $\overrightarrow{AH}$. Que peut-on en conclure ?

Soit un triangle quelconque $ABC.\ P\;,\ Q$ et $R$ sont les points définis par : $$a\overrightarrow{RA}+(1-a)\overrightarrow{RB}=\vec{0}\;;\quad b\overrightarrow{QA}+(1-b)\overrightarrow{QC}=\vec{0}\;;\quad b(1-a)\overrightarrow{PB}-a(1-b)\overrightarrow{PC}=\vec{0}$$ où $a\;,\ b$ sont des réels distincts de 0 et 1.

 

1) a) Construire les points $P\;,\ Q$ et $R$ dans le cas où $a=\dfrac{1}{2}$ et $b=\dfrac{1}{3}$.

 

b) Sur une autre figure, construire $P\;,\ Q\;,\ R$ dans le cas où $a=\dfrac{3}{4}$ et $b=\dfrac{1}{2}$.

 

c) Qu'observe-t-on dans les deux cas ?

 

2) Dans le cas du 1.a, exprimer en fonction de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ les vecteurs $\overrightarrow{AR}\;,\ \overrightarrow{AP}$ et $\overrightarrow{AQ}.$

 

En déduire $\overrightarrow{RQ}$ et $\overrightarrow{RP}$.

 

Que peut-on en conclure sur les points $P\;,\ Q$ et $R\;$ ?

 

3) a) Dans le cas du 1.a , construire les points $A'\;,\  B'$ et $C'$ tels que $ARA'Q\;,\ QCPC'$ et $RBPB'$ soient

des parallélogrammes.

 

b) Montrer que $\overrightarrow{A'C'}=\overrightarrow{RA}+\overrightarrow{CP}$ et $\overrightarrow{A'B'}=\overrightarrow{QA}+\overrightarrow{BP}.$

 

c) En déduire que : $4\overrightarrow{A'C'}=3\overrightarrow{A'B'}$. Que peut-on en conclure ?

Soit $a$ un réel distinct de $-\sqrt{3}\;,\ 0\;,\ \sqrt{3}$.

 

Simplifier l'expression $A=\left(\dfrac{\sqrt{3}+a}{\sqrt{3}-a}+\dfrac{\sqrt{3}-a}{\sqrt{3}+a}\right)\div\left[1+2\div\left(\dfrac{3}{a^{2}}-1\right)\right]$

Soient $a\;,\ b\;,\ c$ trois réels non nuls et distincts deux à deux tels que $a+b+c=0.$

 

1) Montrer que $\dfrac{a}{b-c}\left(\dfrac{c-a}{b}+\dfrac{a-b}{c}\right)=\dfrac{2a^{2}}{bc}$

 

2) On pose $E=\left(\dfrac{a}{b-c}+\dfrac{b}{c-a}+\dfrac{c}{a-b}\right)\left(\dfrac{b-c}{a}+\dfrac{c-a}{b}+\dfrac{a-b}{c}\right)$.

 

Déduire du 1) que $E=3+2\dfrac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{abc}$

 

3) Mettre sous forme de produit de facteurs l'expression $a^{3}+b^{3}+c^{3}$ (on observera que $a+b+c=0).$

 

4) En utilisant les questions précédentes, montrer que $E=9.$

1) a) Démontrer que pour tous réels $x$ et $y\;$, on a : $x^{2}+y^{2}\geq 2xy$ et $(x+y)^{2}\leq 2(x^{2}+y^{2})$

 

b) On suppose que $x^{2}+y^{2}=1$. Démontrer que $-\dfrac{1}{2}\leq xy\leq\dfrac{1}{2}$

 

2) $x\;,\ y\;,\ z$ sont trios réels quelconques.

 

a) Démontrer que $x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq xy+yz+zx.$

 

b) On suppose que $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1.$ Démontrer que $-\dfrac{1}{2}\leq xy+yz+zx\leq 1.$

 

3) Démontrer que $(x+y+z)^{2}\leq 3(x^{2}+y^{2}+z^{2}).$ Dans quel cas a-t-on l'égalité ?

$a\;,\ b\;,\ c\;,\ d$ sont des réels quelconques. Montrer que $$ab+cd\leq\sqrt{(a^{2}+c^{2})(b^{2}+d^{2})}$$

(On distinguera les cas $ab+cd\geq 0$ et $ab+cd\leq 0).$

 

 

 

$$\text{Durée : 4 h}$$